微分方程通解法：構造輔助函數之新方法

鄧美玲

摘 要：應 用Rolle中值定理證明時，通常需要構造輔助函數，本文提出在其他文獻中還未出現過的微分方程通解法，此法解決題設只有一個函數的情況時更清楚簡捷有效.

關鍵詞： 微分方程通解法 輔助函數 Rolle中值定理

引言

微分中值定理是微分學的基本理論，解題時構造輔助函數的解法有原函數法、參數變異法、常數K值法、泰勒公式法、微分方程法、利用函數增量構造輔助函數、湊導法、乘積因子法、觀察法、不定積分法、插值法.實際上在應用Rolle中值定理解題時構造輔助函數的方法有很多本質是一致的，例如原函數法、常數K值法、微分方程法、湊導法、乘積因子法等構造輔助函數的方法都是可以通過在求微分方程的通解的過程中得到輔助函數，并且這種方法思路清晰，步驟明確，大大提高了解題速度.下面就文[1][4]曾出現過的微分方程法加以改進，加大剖析的力度，得到更實用且更簡便的推廣的新方法——微分方程通解法.

1. 知識準備

結語

上述例題采用的構造輔助函數的方法均取決于微分方程的通解，故命名為微分方程通解法.此方法使得如何構造輔助函數更清晰.

一般說來，題設中出現一個函數，則用羅爾定理或拉格朗日定理，出現兩個函數用柯西定理.但對于給了兩個函數的題，可以通過構造輔助函數的方法，用羅爾定理或拉格朗日定理解題.為突出本文的重點，僅給出題設為一個函數情況時采用羅爾定理證明，構造輔助函數的一個新方法，根據以上討論，對于某些類型的微分中值定理證明題，可以參考以上典型模式.從而可以像套用公式一樣的套用構造輔助函數的模式，使靈活多變的輔助函數構造有章可循.

當然，在利用羅爾中值定理證明時，給出的條件不同，需要證明的結論不同，構造輔助函數的方法及技巧可能會有差距，本文的解法比較適用于問題給的是一到兩個點的信息，若給出三個點的信息，則往往可以考慮拉格朗日插值法等其他方法；若是高階微分方程，則可以仿照例3的思路處理，或者用常數K值法或者用泰勒公式法，等等，本文不再贅述.

參考文獻：

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[5]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1991.

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[7]李君士.兩個微分中值定理證明中輔助函數的多種作法[J]. 數學的實踐與認識，2004.10.

[8]Simmons，George Finlay.Differential equations：theory，echnique，and practice[M].清華大學出版社，2009.

此項工作得到國家自然科學基金（項目批準號： 11301207，11171081），江蘇省自然科學基金（項目批準號： BK20130411），江蘇省高校自然科學基金（項目批準號： 13KJB110002） 資助.