應用型人才培養對《高等數學》教學的思考

梁波　張玉麗　汪穎　戴曉鳴

摘 要： 高等數學是大學課程學習專業課的重要工具和基礎，也是鍛煉思維邏輯能力、推理能力的重要訓練手段。掌握基本的微積分思想與知識，是高層次、復合型、應用型人才的基本需求。本文基于應用型人才培養的需要，對該課程的教學計劃、教學目標，以及教學方式改革和創新作以討論和研究。在以微分及積分思想為核心地位不變的前提下，對比中外微積分課程的內容和框架，對國內高等數學教學內容作以研究和探索。

關鍵詞： 高等數學 微積分 應用型人才

1.引言

高等數學或微積分不僅是理工科各專業必修的重要基礎課[1]-[3]，而且是鍛煉學生思維邏輯能力、推理能力的重要訓練手段。國內大部分高校的大學一年級，均開設高等數學課，該門課程掌握程度，對學生后期學習其他基礎課及專業課有本質影響。在高校擴招后，高等教育由精英化教育向大眾化教育轉型，高等數學教學改革一方面要滿足各個專業（尤其是理工科專業）對數學的要求，另一方面要適應大眾化教育的現狀。為應用型人才培養需要，高等數學的教學改革勢在必行[1]-[2]，下面就該門課程的現狀，國內外該門課程的對比，與應用型人才培養的聯系，課程的教學計劃、教學目標，以及教學方式改革和創新等方面作以討論和研究。

2.《高等數學》國內外教學現狀

2.1教學內容、教材及學時分配。國內大部分高校均采用同濟大學編寫的《高等數學》[3]（目前已出版至第六版）作為高等數學課教材，此書是此門課程的經典教材，內容關聯度高，連續性及條理性強，非常適合理工科學生作為微積分課程教材。

依據專業不同以及對東北10所高校的調研，總結出各學校學時分配大體如下表：

在教學內容上，高等數學上冊主要針對一元微積分學，主要介紹一元函數的極限和連續性；一元函數的導數，包括導數的概念、復合函數、隱函數的導數及函數的微分；微分中值定理及導數的應用包括羅必達法則、函數的單調性和凸凹性、函數的極值與最值等；介紹不定積分和定積分及其應用，包括（不）定積分的概念、（不）定積分的計算方法：換元法和分部積分法；介紹利用定積分求面積、體積；介紹常微分方程的概念及解法，包括可分離變量的微分方程、齊次方程、一階線性微分方程、可降階的微分方程和二階常系數微分方程等。

高等數學下冊重點在多元微積分學，主要介紹空間解析幾何的基本內容，利用向量研究平面、直線、空間曲線及空間曲面方程等；并利用偏導數求空間曲線的切線和法平面、空間曲面的切平面和法線、方向導數和梯度，以及函數的極值等應用問題。介紹二元函數的偏導數，全微分。介紹多元函數的重積分，包括二重積分、三重積分、曲線積分（第一類）、曲面積分（第一類）等。介紹利用格林公式、高斯公式等求解曲線積分和曲面積分，等等；介紹無窮級數的斂散性，包括正項級數、交錯級數和任意項級數斂散性的判別法，求冪級數的和函數及將函數展成冪級數。

2.2教學方法、方式及存在的問題。國內各高校高等數學教學通常有如下教學方式、方法。①傳統的“教師講授，學生聽講”的模式，學生需跟從教師的邏輯、思路，理解和解讀各個定義、定理、命題等之間的聯系和區別。這是中國大學教育的傳統授課方式，優點是授課信息量大，利于基礎較好，跟得上教師節奏的學生，但對于基礎薄弱，或慢熱型的學生而言，會感到“跟不上，很吃力，或消化不良”。②用多媒體教學或傳統方式結合多媒體。這種模式更新穎，視覺感覺比較好，對于一些不容易用粉筆實現的圖形、圖像及一些動畫演示，如做功問題、定積分定義等，采用多媒體會比較直觀、美觀。③拋棄黑板，純多媒體教學。隨著計算機、網絡的發展，多媒體已不再是傳統意義下的“幻燈片”教學，視頻技術更多應用到教學中，部分軟硬件較好的高校，甚至用多媒體展示平臺代替了黑板，教師教學上也不再是傳統意義下的“我講你聽”的模式，學生吸取信息的渠道轉移到“視頻，網絡，計算機”等。后兩種模式的最大缺點莫過于學生與教師之間缺少溝通，教師不宜以個人對學術的理解影響學生，從而教會學生學習數學的思路和方法。

各種教學方法及方式均有其存在的特色和優點，不能武斷地否定或拋棄任何一種模式，如何更好地結合各種教學模式和方法是值得進一步研討的問題。對于目前的數學課教學而言，最大的問題莫過于如何吸引學生，讓學生感覺到“《高等數學》可真正應用于所學專業”，真正體會到數學的用處才是關鍵，這也是本文所述的核心問題。

2.3國內外微積分課程教學及內容對比。通過作者調研美國阿肯色州立大學、國內的大連交通大學、大連海洋大學、長春大學等高校，以及國內外經典微積分教材的對比，國內外微積分授課內容及教學具有如下不同之處：①教材內容上，美國教材講究由淺入深[4]-[5]，容易理解，國內教材理論嚴謹，論證豐滿。例如，美國微積分教材例子詳盡，頁碼多，即使是再小的例子，通常也配有圖像或圖表加以分析理解。國內教材更注重嚴謹性，注重定理命題公式的嚴謹證明及正確性，對于學生而言，國外教材更容易形象地理解其內容，而國內教材更抽象，需要經過深思熟慮之后，才有更好的學習心得。對于諸如近似計算、數值模擬等應用內容，國內通常放棄此部分內容。美國則通常放棄諸如無窮小代換、泰勒中值定理等過于抽象的內容。②教學計劃及教學進度上，國內高等數學課教學計劃通常十分整齊統一，一般按計劃完成學期所教授內容，美國微積分課程進行較自由，注重對當前所涉及知識點的深入理解，并不急于進行下一步的教學內容，往往根據學生實際接受情況，進行教學內容的安排講授，教學進度相對緩慢，但學生容易理解講授內容。學時對比上，國內學時更緊張，內容也更繁雜。③作業、習題及其他方面，美國學生作業量巨大，需要課后完成較多的習題，每兩周左右通常進行一次小測驗或考試，成績給出以測驗、作業及期末考試為主要依據，期末考試所占比例百分之五十左右。國內則主要時間均用在講授上，期末考試在總評成績中占有七成或八層的比重。這方面產生的直接結果是，國外學生動手能力強，對概念的形象掌握好，國內學生則理論證明方面更具優勢，但往往忽略問題本身的本質理解。

3.應用型人才培養對高等數學教學的啟示

隨著經濟發展，社會對專業化、應用型人才的需求的增大，各個高校針對不同學科屬性，如理科、工科、文科等專業進行不同層次和類型的《高等數學》教學分層，從而達到專業與數學更好地融合，但是也需要看到，這并未完全達到應用型人才對微積分真正的需要。就這一問題，下面分兩個層面討論。

3.1《高等數學》課內容選擇需細化到專業。對各個專業所必需和急需的數學課內容進行教學內容分配更具有合理性和科學性，社會對該專業人才的需求是未來在該專業上奉獻其最大能量，所以把學生都培養成具有較高數學修養和高深數學理論的能力并不是目標，也不是應用型人才培養的目的，觀念上應該轉換為數學基礎課為專業課服務，作為一門工具，應用到其所學主專業上。例如，計算機專業對離散數學、計算數學方面的需求比較高，這樣在《高等數學》課程中，應該保留或主講相應的包含牛頓迭代、近似計算方面的內容，而目前大部分高校是刪除這部分內容的。同樣，對于外語、管理類的文科專業而言，應該以數學普及為目的，以一元微積分為核心內容，讓學生對微積分思想有形象的認識即可。

3.2提高數學在實際中的實踐環節。數學專業課中，通常《數學模型》和《數學實驗》是本科階段最直接地與實際生活接觸緊密的兩門課，國內外都有各個級別的數學建模競賽，如果把數學建模與高等數學課的聯系再緊一些，不僅利于學生在數學建模上取得好成績，更重要的是利于其掌握微積分基本內容，讓其明白學有所用。例如，在講述定積分定義時，可以強化曲線與坐標軸圍城的面積就等于“定積分”這個常數，如果劃分足夠細致，則精確度越高，可以做個實驗，讓學生真正地計算一次下面這些矩形的面積之和是多少（圖1），再對比定積分的實際計算值，從而更好地理解定積分在幾何上的一個應用。

4.以應用型人才培養為目標，進行《高等數學》教學改革

通過上面的分析，需要清楚以應用型人才培養為目標下，有針對性地進行高等數學改革勢在必行。下面就教學改革方向及內容作討論。

4.1教學計劃需增加實踐及應用內容的百分比。數學學科其本身特點具有很強的邏輯性、理論性，適度增加結合數學模型及數學軟件的實踐更利于學生對微積分的理解和應用。對于對數學某些方向有明顯依賴的專業，可加強與其專業相關的基本內容。例如，針對經濟專業，可增加導數、函數單調性、凸凹性等在經濟學中的應用，把函數增長遞減等性質與某企業總收入聯系起來等，再結合Matlab等數學軟件獲得圖像或數值模擬。這樣的思路利于應用型人才的培養。

4.2采用傳統授課方式與現代技術相結合的教學方式。根據國內外的經驗來看，為培養應用型人才的需要，傳統的授課方式還是具有其不可替代的優點，教師可直接分享給學生自己的經驗。傳統授課模式結合現代教學手段，比如計算機、多媒體、視頻技術的應用等，可形象地把抽象的數學內容直觀地展示或模擬出來，適當增加數學軟件的學時利于學生對微積分內容的把握。如定積分定義的講述，可利用實物或多媒體演示積分定義的過程。

4.3國際化視野下進行高等數學教學，發揮交叉學科作用，提高學生動手能力。現代社會的發展模式重視國內外的交流、學科之間的交叉、團隊協作等作用。所以，一方面增加與國外尤其是向發達國家的微積分教學學習經驗，引入其經典教材，為國內高等數學教學服務。可借鑒西方教學中應用性好、容易理解的特點，為我們的教學服務。另一方面，交叉學科的作用也是不可忽視的，比如材料學與幾何學的結合，經濟學與微分積分的結合，計算機與迭代技術等的結合，等等。通過學生對本專業進行實踐的同時，不妨考慮把數學方法應用到其學科內容中，這才是真正做到培養應用型人才。

通過本論文的討論研究，真正做到把高等數學作為專業課的重要工具和基礎，應用于其所學專業，才達到培養應用型人才的目的，也是培養高層次、復合型、應用型人才的基本需求。研究和建設為應用型人才服務的教學計劃、教學目標及教學方式。以現有的授課方式及經驗為基礎，適度增加實踐學時、學術報告及網絡教學勢在必行。

參考文獻：

[1]李秋紅.應用型人才培養中提高高等數學應用能力的策略[J].課程教育研究，2013，8：133-134.

[2]朱婉珍，嚴永仙.應用型高校高等數學分層教學體系構建與實踐[J].江西教育學院學報，2007，28（6）：10-12.

[3]同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]安頓，比文斯，戴維斯（郭境明改編）.微積分（Calculus）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5]吳志堅，肖瀅，吳興玲.中美微積分教材比較研究[J].高等數學研究，2010，3：43-47.

基金項目：本論文由大連交通大學2013年教學改革項目“基于應用型人才培養的高等數學教學內容改革的研究與實踐”（編號：DJDJG201358）及“高等數學A微課”項目資助。