如何讓學生明白“先乘、除，后加、減”的道理

夏旭鳴

數學中有很多“序”，如：整數加減法、乘法一般從個位算起，而除法則從高位開始;四則混合運算要“先乘、除，后加、減”，等等。這些“序”，都有其內在的“理”，如“理”不明，則“序”無根，故守“序”，當以明“理”為先。

以“先乘再加（減）”為例，這是數學運算中的一項規定，但這種規定是有道理的，如何通過數學活動讓學生明白其中的道理，是本節課的關鍵。

環節一：用式子記錄過程——讓“序”有數學的“理”

活動1：數點子

教師出示“點子圖1”：18個點子，見圖1。

師：想知道圖中一共有多少個點子，可以怎樣數？

生：2個2個數、3個3個數、5個5個數……

師：誰來2個2個數一數？

生（邊圈邊數）：2、4、6、…18。

師：告訴大家，你圈了幾次？

生：圈了9次。

師：誰來5個5個數一數？

生（邊圈邊數）：5、10、15、18。（如圖2）

師：他圈了幾次？

（學生猶豫了，思考后慢慢舉起手）

生：圈了3次，還多3個。

生：也可以圈4次，第4次只有3個。

生：第4次少2個。（如圖3）

（設計意圖：數點子是低段學生很熟悉的一種數學活動，所選取的兩種數法代表了學生在數數過程中會遇到的兩種情況：剛好數完與有剩余。前者是學生非常熟悉的，后者則與學生原有的認知產生了沖突，經過思辨后形成兩種意見：一種是“5個5個地數，數3次，還多3個”，即“有余”（如圖2）;另一種是“5個5個地數，數4次，少2個”，即“不足”（如圖3）。這兩種認知方式，恰與“乘、加”和“乘、減”相對應，而且不論是“有余”還是“不足”，其數的過程，都與“先乘再加（減）”的運算順序是一致的，這就使后面學習運算順序有了直觀而又可靠的認知基礎。）

活動2：寫式子

師：你能用式子表示第一種數法嗎？

生：2×9、9×2、2+2+2+2+2+2+2+2+2。

師：第二種數法呢？請你寫一寫。（學生寫好后交流）

生1： 5×3=15，15+3=18。

生2：5+5+5+3。

生3：5×3+3。

生4：5×4-2。

……

師：這些式子都能記錄數點子的過程嗎？ （討論后交流）

師：5×3+3這個式子既有乘法，又有加法，你覺得應該先算什么？為什么？

生：先算5×3，表示5個5個數，數了3次，再加3，表示加剩下的3個。

師：看來計算的順序和我們數的過程是一致的。誰來讀一讀這個式子，讓人一聽就知道先算5×3的。

生：5乘3，再加3;5乘3的積加3。

……

（設計意圖：式子是對數點子過程的一種記錄，第一種數法的式子是對乘法的復習;第二種數法的式子是本課要學習的新知。從數點子到列式子，是學生思維從形象到抽象的過程，而數點子的過程也會潛移默化地對式子的順序產生影響，讓學生先思考“式子能否記錄數點子的過程”，再研究“式子中既有乘法，又有加法（減法），應該先算什么”時，用數點子的過程來思考運算順序也就自然而然了。而后，再讓學生讀一讀，一方面是學習讀法，另一方面也起到熟悉運算順序的作用。）

學生反饋：在記錄第二種數法時，最初用生3與生4的式子（即乘、加與乘、減）較少，但在理解了式子的意思后，他們紛紛表示更喜歡這兩種記錄方式，因為式子清楚地記錄了數的過程，意思表達明白準確，而且非常簡潔。

環節二：用圖形解釋式子——讓“序”有思維的“理”

活動3：找圖形

教師出示“點子圖2”：23個點子，見圖4。

師：你能像剛才一樣圈一圈、數一數，再列式子表示嗎？（生練習）

教師課件出示各種數法圖（見圖5、圖6、圖7、圖8），學生板書式子。

師：我們選一個式子：5×4+3，你能根據式子找到他的數法圖嗎？

生1：是第2幅圖（如圖6），因為他4個4個數，數了5次，還多3個。

生2：也可能是第3幅圖（如圖7），因為他5個5個數，數了4次，還多3個。

師：6×4-1呢？

生3：可能是第2幅圖（如圖6），因為他4個4個數，數6次，就少1個。也可能是第4幅圖（如圖8），因為他是6個6個數，數4次，就少1個。

師：如果這兩個式子表示的是同一種數法呢？

生：是第2幅圖（如圖6）。

師：請同學們判斷其他幾組式子分別表示哪種數法，再與同學交流。

……

（設計意圖：點子圖2之所以選擇23個點子，是希望學生只能列乘、加或乘、減的式子，因為學生需要通過練習來鞏固新知。反饋時，沒有采用常規講評方式，而采用逆向思考的方式——根據式子找數法，一方面是避免機械重復，提高挑戰難度，從而使學生有新鮮感;另一方面是希望通過順向、逆向兩種不同思維方向的學習，加深對“先乘再加（減）”的理解和鞏固。）

學生反饋：第一次為式子“5×4+3”找數法圖時，學生有些拿不定主意，舉手的人不多。第一個發言的學生之所以這樣說，是因為他自己圈的就是第2幅圖（如圖6），所列的式子就是“5×4+3”，他其實是在闡述自己的數法和式子，語氣也是不肯定的。但正因為他的描述，讓大家明白根據式子找數法，其實就是理解式子的意思，即式子所記錄的數的過程，從而找到數法。接下來再為“6×4-1”找圖形就自信多了，有的學生還能說出兩種不同的數法。

環節三：用故事豐滿式子——讓“序”有生活的“理”

活動4：說故事

教師課件演示：點子圖變成氣球圖。

師：點子變成了什么？你能說說氣球圖的故事嗎？

生： “六一”兒童節，小朋友們扎氣球，每5個扎一束，扎了4束，還多3個，一共有多少個氣球？

師： 用哪個算式表示？

生： 5×4+3，5×5-2。

師： 先算什么？為什么？

生： 先算5×4，表示扎了的4束有多少個氣球，再加上剩下的3個，就是一共有多少個氣球。

師：這些點子還可能變成什么？又會有怎樣的故事呢？

（課件演示：點子圖變成其他情境圖）

……

（回到氣球圖）

師：有個小朋友看著氣球圖列了這樣一個式子：23-5×4，他想說一個什么樣的故事呢？

（思考一段時間后，開始有學生舉手要求發言）

生：“六一”兒童節，小朋友們有23個氣球，每5個扎一束，扎了4束，還剩多少個氣球？

師： 先算什么？為什么？

生： 先算5×4，表示扎了多少個氣球，再用23減去扎了的氣球，就是剩下多少個氣球。

（設計意圖：點子是一個符號，它可以表示任何東西，本環節讓學生展開想象，賦予簡潔的點子以豐富的外殼，既加強了數學與生活的聯系，又使運算順序具有現實的“理”。學生對于這些變化非常感興趣，從點子到各種圖形表示的情境，再到展開想象，他們樂在其中。在這些變化過程中，他們慢慢體驗到變化之中的不變：式子不變，理不變，序不變。）

設計“23-5×4”這個式子，是考慮到前面所有的式子都是“乘在前，加（減）在后”的，學生很容易遷移加、減混合運算的順序——“從左往右”，這對形成正確的運算順序是不利的。這樣安排，可以讓學生已有的知識結構產生沖突，從而更好地理解“先乘再加（減）”。對此，部分學生理解還是有些困難，本課也只是作為延伸與孕伏。

“先乘再加（減）”是一種“序”，本課主要通過“數點子、寫式子、找圖形、說故事”這四次活動，讓學生感悟其中的“理”。

活動的材料主要集中在點子圖，是考慮到低段學生注意力比較容易分散，豐富多彩的材料固然會暫時提高他們的學習興趣，但也會極大削弱知識本身的魅力。雖然安排簡單的點子圖，但使用時賦予它各種變化，會更好地吸引孩子關注數學本身。

這四次活動一脈相承，又層層遞進，始終圍繞著“圖—言—式”展開，既有“圖—言—式”的順向明“理”，又有“式—言—圖”的逆向辨“理”，并與生活實際溝通。這樣，“序”就能以“理”為根，深植于學生的知識結構中了。

（浙江省金華市環城小學 ? 321000）