小學生幾何直觀能力發展的四個階段

宋健泳

《義務教育數學課程標準（2011年版）》首次提出了“幾何直觀”這一核心概念，并指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”這里的解釋并非嚴格的概念界定，但我們也可以從中把握幾個關鍵特征：其一，幾何直觀是一種描述和解決數學問題的方法，它與“直觀幾何”的區別在于，后者是指幾何學中的一個研究領域，主要研究包括認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉換等內容。其二，“幾何”可以理解為研究工具，即“幾何直觀”是借助幾何圖形的形象關系來研究問題的，這就體現了與實物直觀（以實物為直觀工具，如小棒等）的差異。需要特別指出的是，幾何直觀研究的對象并不局限于幾何學范圍，更多的是研究數量之間的關系。其三，“直觀”是指研究問題的方式和手段，是指對事物進行的不經過邏輯分析的直接判斷。這里包含了兩層意思：一是通過對事物的直接接觸而獲得的感性認識;二是通過直觀感知而對事物本質的直接洞察和直接把握。有了以上認識，我們可以進一步分析“幾何直觀”的能力結構，如下圖：

其中，空間想象能力和數形轉換能力是“幾何直觀”的基礎層面。“幾何直觀”以幾何圖形為研究問題的工具，這就需要對幾何圖形的特點有準確的認識，并具有較強的空間想象能力。此外，數形轉換能力也是幾何直觀的重要內容，即在符號語言（數）與圖式語言（形）之間建立聯系，能熟練地進行互譯。讀圖分析能力和畫圖思考能力是幾何直觀的表現形式。前者主要體現了借助圖形描述數學問題，后前則是借助圖形分析和思考數學問題。因而，小學生的幾何直觀能力必然有一個發生發展的過程。筆者將其大致分為四個階段：孕育階段→過渡階段→萌發階段→生長階段，各個階段培養的側重點應有所不同。本文試就此問題結合教學實踐作一些探討。

一、孕育階段——關注直觀載體的逐步抽象

“幾何直觀”能力發展的孕育階段主要是指小學一、二年級時期。這個階段的學生以動作思維、形象思維為主，數學學習很大程度上依賴直觀教學。但這里的直觀教學主要借助實物、圖片、符號等直觀載體，從嚴格意義講還不能稱之為幾何直觀（以幾何圖形的形象關系為直觀載體）。因而適當進行抽象和提煉，由實物、符號直觀逐步向圖形直觀過渡是很有必要的。如人教版一下“100以內數的認識”教學中，教材上借助回形針、小棒、第納斯木塊等實物幫助學生認識數的組成、理解計數單位（圖1）。

圖1

這是以實物為直觀載體來認識數學對象，我們可以稱之為實物直觀。從幾何直觀的角度看，這三種實物中哪一種最具價值？我們不妨做一個比較：用回形針計數，“10個回形針一小堆”“100個回形針一大堆”分別對應計數單位“十”和“百”;用小棒計數，則是“10根一小捆” “100根一大捆”;用第納斯木塊計數， 1個小木塊對應“一”，10個小方塊排成一行對應“十”，而10行拼成一片對應“百”。如果僅從促進本課時知識內容的理解來看，三者差異并不大，但是從后續發展來看顯然第納斯木塊更有價值。因為盡管在這里小木塊只是作為實物呈現，但它的構建方式具備了“點—線—面”的幾何圖形特征，并為進一步認識“千”（體）積累了直觀經驗（如圖2）。這樣的構造系列更有利于幫助學生建立計數單位與幾何模型之間的關聯，從而促進學生幾何直觀能力的發展。

圖2

二、過渡階段——關注幾何活動經驗的積累

直觀是對事物的直接判斷，是屬于經驗層面的。從某種意義上說，“幾何直觀”就是數學活動經驗不斷積累所形成的數學素養。數學基本活動經驗主要包括兩個方面，即實踐的經驗和思維的經驗，兩者均有賴于學生參與數學活動，獲得切身的過程性體驗。小學階段的幾何課程以直觀幾何、實驗幾何為主，包括通過直觀感知認識各種圖形的特征，進行立體圖形與平面圖形的轉換等。其中，平面圖形的認識大部分編排在三、四年級，如線段、直線、射線、角、多邊形（正方形、長方形、平行四邊形、梯形、三角形等），我們將這一階段稱之為幾何直觀能力發展的過渡階段。教學中，一方面要重視開展“看一看、做一做、拼一拼、搭一搭、折一折、畫一畫”等實踐活動，積累實踐經驗，另一方面更要重視反思和提煉，逐步將實踐經驗上升為思維經驗。以“三角形的內角和”教學為例：

一般來說，探究三角形內角和的方法有以下幾種：

（1）度量三個內角的度數，求和;

（2）把三個內角撕下來再拼成一個平角（圖3）;

（3）通過折紙，把三個內角向內折疊拼成一個平角（圖4）;

圖3

圖4

顯然，這三種探索的方法都是基于實踐操作的，探究過程遠不如幾何推理那么嚴密（存在操作的誤差性）。但就小學階段而言，筆者認為還是應該強調動手實踐。它的價值不在于結果，而在于過程，在于實踐活動中所積累的活動經驗和獲得的直觀體驗。在此基礎上，我們可以進一步對這三種方法的思維方式進行溝通，即想方設法將三個內角拼起來，體現出“求和”的思想。這樣，實踐的經驗上升為思維的經驗，為初中階段的演繹幾何（圖5）奠定基礎。

圖5

三、萌發階段——關注幾何直觀意識的培養

一般來說進入第二學段——小學四年級，小學生的幾何直觀能力進入了萌發階段。這是因為一方面學生開始具備一定的幾何知識基礎;另一方面數學學習內容的抽象程度逐步提升，越來越需要借助直觀形象的手段來提供支撐。由于簡潔表達的需要，這時的直觀載體逐步由實物變為圖形，初步呈現出幾何直觀的特點。這個階段尤其要注重培養學生幾何直觀的意識，也就是說要促使學生在理解數學知識和解決數學問題時主動地與幾何圖形建立聯系。意識的培養取決于價值的認同。教學中教師可以積極引導，讓學生不斷體驗幾何直觀的價值和作用。

如“異分母分數加、減法”教學中，計算“+”，一般會出現以下情況：

（1）+=;（2）+=+=;（3）+=0.5+0.4=0.9。

在這里，理解為什么必須先通分才能相加是教學的關鍵，直指分數加、減法也是“相同計數單位累加”的數學本質。我們可以借助“分數墻”（圖6）這一幾何模型進行解釋。

從圖中我們可以很明顯地看出，由于每一份大小不同，不同的分數單位是不能直接累加的。進一步引導學生從圖上尋找與和相等的分數（等價類分數），發現1個相當于5個，2個相當于4個，由于每一份的大小相同，相同的分數單位可以進行累加，得到9個。而轉化為小數進行計算，其原理是與通分一致的。

圖6

四、生長階段——關注數形之間的轉換訓練

五、六年級學生幾何直觀能力的發展進入了生長期。幾何直觀能力的發展要求學生具備較強的數形轉換能力。數形轉換，也就是數與形之間的互譯，即能從數（式）想到圖式，能從圖式想到數（式）。教學中一方面教師可以針對具體的教學內容加強圖式表征的訓練，如“看圖寫數（式）”“看數（式）畫圖”等;另一方面也可以開展綜合實踐活動，培養學生數形轉換的能力，感悟數與形的互助性。如“正方形數”的認識：

呈現圖7，首先引導學生觀察并思考：這些點子圖分別表示哪些數？點子圖的排列有什么特征？通過討論和交流，揭示像這樣的數叫“正方形數”。進一步，通過圖形操作（分一分、連一連）尋找“正方形數”的數學模型，如表示為“完全平方數n2”;可以表示為從1開始的連續奇數之和：1+3+5+……+n;也可以“回”形構造：例如4+3+3+2+2+1+1;甚至可以表示為兩個“三角形數”之和：1+2+3+……+n +……+3+2+1（圖8）。

圖7

圖8

像“三角形數”“正方形數”等都是比較特殊的數，具有明顯的圖形特征。運用這樣的教學素材引導學生感悟數的幾何特征，反復進行數（式）與形（構造方式）之間的轉換訓練，對于發展學生的幾何直覺、感悟數形之間的密切關聯都是很有價值的。

必須指出，就整體而言，小學生幾何直觀能力的發展是不平衡的，甚至表現出很大的差異性;就個體而言，其發展過程也不是直線型的。因此，很難作嚴格意義上的劃分。本文所闡述的四個不同的發展階段也是相對的，沒有一個絕對意義上的時間分割點。但是其發生發展的一般規律性還是存在的，針對不同階段的特點采取相應的培養策略才能事半功倍，這正是本文的用意所在。事實上，基于小學階段學生的年齡特點和教學內容的局限，幾何直觀能力在小學階段還不能完全顯現（特別是直觀洞察性），但幾何基礎知識的掌握、幾何活動經驗的積累、幾何直觀意識的培養必然能為幾何直觀水平的發展奠定良好的基礎。

（浙江省湖州市鳳凰小學 ? 313000）