對條件概率、獨立性、數學期望教學的思考

姜云波

【摘 要】條件概率和獨立性這是概率論中的兩個重要概念，也是兩個有著聯系的概念；數學期望是一個很重要的數字特征，是概率論內容的一個重要部分。本文主要分析了關于條件概率和獨立性教學的一些思考及對數學期望教學中涉及隨機變量的絕對值的數學期望這一問題的思考。

【關鍵詞】條件概率 獨立性 數學期望 教學

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）05-0064-02

條件概率和獨立性是概率論中的兩個基礎概念，也是比較抽象的兩個概念，筆者認為，從例子出發，能幫助學生理解這兩個概念。數學期望是隨機變量的一個數字特征，也是方差定義的基礎，數學期望的計算方式方法也較多。一般情況下，涉及隨機變量的絕對值的數學期望的計算不容易，特別是在連續型隨機變量的情況下，要涉及將絕對值符號去掉后的被積函數的表達式、積分范圍的確定及廣義積分的計算。

在參考文獻[1]中有這樣一個例題：

例1：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現正反面的情況。設事件A為“至少有一次為H”，事件B為“兩次擲出同一面”。現在來求已知事件A已經發生的條件下事件B發生的概率。

對于上述例1，參考文獻[1]中給出了結果：P（B|A）=

，還給出了P（B）= ≠P（B|A）。

上述例1從獨立性的角度看，意味著事件A與事件B不是相互獨立的。從直觀的理解看，也能看出事件A與事件B不是相互獨立的，事件A的發生對于事件B的發生是有影響的。

將上述例1中的事件A變為“第一次擲出正面”，這時

可以計算得出P（B|A）= =P（B），從直觀的理解看，也

能看出事件A與事件B是相互獨立的，事件A的發生對于事件B的發生是沒有影響的。

將上述例子進一步修改為下例：

例2：將一枚硬幣和骰子同時拋擲，共拋擲兩次，觀察硬幣出現正反面和骰子出現點數的情況。設事件A為“至少有一次硬幣為正面，同時骰子出現點數為3”，事件B為“硬幣兩次擲出同一面”。（1）求已知事件A已經發生的條件下事件B發生的概率。（2）事件A變為“第一次硬幣擲出正面，同時骰子出現點數為3”，再求已知事件A已經發生的條件下事件B發生的概率。

（1）求解過程：為求此試驗的樣本空間，首先根據硬幣出現正反面的情況分成四類：正正、正反、反正、反反。在每一類中根據骰子的點數可以表示成集合的形式：{（i，j）|i∈N+，j∈N+，1≤i≤6，1≤j≤6}，有36個元素，故此試驗的樣本空間共有4×36=144個樣本點。在事件A已經發生的條件下，此時可能的結果在正正、正反、反正這三類中出現。在正正這一類中，出現了11次；在正反這一類中，出現了6次；在反正這一類中，出現了6次。則事件A中共有23個元素，在事件A已經發生的條件下，只有正正這一類中出現的11個元素屬于B，故P（B|A）= ，而

從直觀的理解看，（1）中容易看出事件“至少有一次硬幣為正面，同時骰子出現點數為3”對于事件“硬幣兩次擲出同一面”的發生是有影響的，所以最后的結果中P（B）≠P（B|A）；而（2）中容易看出“第一次硬幣擲出正面，同時骰子出現點數為3”對于第二次硬幣的正反是沒有影響的，故對事件“硬幣兩次擲出同一面”的發生是沒有影響的，故最后的結果中P（B|A）=P（B）。

在參考文獻[1]中條件概率這一節中還有后驗概率這個與條件概率有關的概念。參考文獻[1]中第19頁的例7的問題已給出結果，若將此例的問改為求已知某日早上第一件產品是不合格品時，機器調整的良好的概率，則所求概率

為 ，容易求得結果約為0.46。

從直觀的理解看，對于要考察的對象，如果延續好的狀態，那么一般將提高評價，如果出現壞的狀態，那么一般將降低評價，但若沒有經過大量數據的檢驗，僅憑一次的考察就得出評價一般會有一定的波動性。從上述的結果看，若某日早上第一件產品是合格品時，后驗概率提高，若某日早上第一件產品是不合格品時，后驗概率降低，但這只是憑某日早上第一件產品是否合格得出的結論，從此例的結果看，后驗概率從0.97到0.46，變動幅度較大。

有這樣的題目：設隨機變量X～N（μ，σ2），Y～N（μ，1），且X和Y是相互獨立的，求E（|X-Y|）。

關于其計算的過程和結果已有結論，簡述如下：由于X-Y～N（0，σ2+1），在計算E（|X-Y|）時，可通過參考文獻[1]中有關一個隨機變量的函數的數學期望的相關結

論來計算，其結果為E（|X-Y|）= 。

對于E（|X-Y|）的計算，涉及兩個隨機變量的函數。作者在教學中，有學生問：能否通過兩個隨機變量的函數的數學期望的相關結論來計算，以對上述計算結果提供印證呢？作者在思考后，進行了計算，得到了如后的過程。

令f（x，y）= ，參考文獻[1]中有關兩個

隨機變量的函數的數學期望的相關結論，則有：

令u=x-y，交換積分次序，則有：

將 代入，再配方，進一步計算可得：

可以看出，計算結果與之前的計算結果相同。

通過上面相關的實際例子及對于上述相關內容的講解，有利于學生們加深對于條件概率和獨立性這兩個概念及它們之間關系的理解，提高學生們對于后驗概率、條件概率的理解及學習興趣。涉及隨機變量的絕對值的數學期望時，其計算往往比較難，但方法也并不一定就是唯一的，通過多種方法進行計算，可以熟悉相關知識，進一步體會數學的嚴密性。以上內容希望能對相關內容的教學有所幫助。

參考文獻

[1]盛驟、謝式千、潘承毅編.概率論與數理統計（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008

〔責任編輯：林勁〕