《直線的方程》教學(xué)設(shè)計

徐振宇，鄭南南，閆雨飛

（1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；2.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)）

【教材】

北師大版高中數(shù)學(xué)必修2第二章2.1.2節(jié)。

【課時安排】

第1課時。

【教學(xué)目標(biāo)】

（一）知識與技能

1.掌握由已知直線上一點和斜率導(dǎo)出直線方程的方法。

2.掌握直線方程的點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式，并掌握它們各自的適用范圍，能熟練地進(jìn)行各種方程形式之間的互化。

3.能根據(jù)已知條件熟練求出各種形式的直線方程。

（二）過程與方法

1.通過建立各種形式的直線方程，進(jìn)一步熟悉和鞏固直線代數(shù)化的具體方法。

2.由“直線的點斜式方程”推導(dǎo)程序來類比學(xué)習(xí)其他形式直線方程建立方法，掌握類比的學(xué)習(xí)方法。

……

（三）情感、態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識到同一個對象可用不同方法來研究的認(rèn)識觀；同時知道直線方程的五種形式是一個統(tǒng)一的相互轉(zhuǎn)化思想……

【教學(xué)重點和難點】

教學(xué)重點：直線的點斜式方程、直線的一般方程。

教學(xué)難點：直線方程的應(yīng)用。

【教學(xué)方法和手段】

教學(xué)方法：以問題引導(dǎo)的研究性學(xué)習(xí)。

教學(xué)手段：恰當(dāng)使用多媒體展示學(xué)習(xí)內(nèi)容。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師活動1：提出問題：（1）確定一條直線所需要的幾何要素是什么？（2）一條直線與其斜率的對應(yīng)關(guān)系是什么？

學(xué)生活動1：思考問題，回顧舊知，回答問題。

教師活動2：根據(jù)學(xué)生回答，用PPT呈現(xiàn)確定一條直線所需要的幾何要素和一條直線與其斜率的對應(yīng)關(guān)系。

1.確定一條直線所需要的幾何要素

（1）已知兩點P1（x1，y2），P2（x2，y2）可確定一條直線。

（2）已知P0（x0，y0）和傾斜角（斜率k）可確定一條直線。

2.一條直線與其斜率的對應(yīng)關(guān)系

（1）對于任意一條直線l，它的傾斜角α唯一。

（2）當(dāng) α=90°時，斜率 k 不存在，當(dāng) α≠90°時，斜率 k 存在且唯一。

學(xué)生活動2：學(xué)生觀看PPT，溫顧舊知。

設(shè)計意圖：通過老師提問，一是集中學(xué)生注意力；二是讓學(xué)生回顧所學(xué)知識，為新知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

二、提出問題，探索新知

教師活動3：提出新的思考問題：給定直線l經(jīng)過P0（x0，y0），且斜率為k，如何求直線l的方程？

學(xué)生活動3：進(jìn)入思考狀態(tài)。

教師活動4：給予學(xué)生適當(dāng)引導(dǎo)：設(shè)點P（x，y）是直線l上不同于點P0的任意一點，因為直線l的斜率為k，由斜率公式得：

圖1

學(xué)生活動4：學(xué)生思考并理解剛才的推導(dǎo)過程。

設(shè)計意圖：通過問題驅(qū)動學(xué)生思考，并調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的熱情。

1.小組討論，引導(dǎo)探究

教師活動5：同學(xué)們分小組討論如下兩個小問題：

（1）經(jīng)過點P0（x0，y0），斜率為k的直線l上的點，其坐標(biāo)都滿足方程（1）嗎？

（2）坐標(biāo)滿足方程（1）的點都在經(jīng)過點P0（x0，y0），斜率為k的直線上嗎？

學(xué)生活動6：小組討論，并回顧方程（1）的推導(dǎo)過程，得出結(jié)論：上述的兩個小問題都是對的。

教師活動6：讓學(xué)生回答小組討論的結(jié)果并總結(jié)：方程（1）就是直線方程的點斜式。

設(shè)計意圖：通過小組討論，讓學(xué)生在與他人交流的過程中分享自己的收獲并讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂。

2.類比遷移，自主探究

教師活動7：繼續(xù)分小組討論，設(shè)計新的探究任務(wù)：若已知直線l的斜率為k，與y軸的交點為P（0，b），結(jié)合直線方程的點斜式，直線的l方程又如何？

學(xué)生活動7：學(xué)生分組討論，動手實踐，相互交流，嘗試給出結(jié)果。

預(yù)計學(xué)生能給出直線l的方程：

教師活動8：用幾何畫板演示直線方程的斜截式的發(fā)現(xiàn)過程，并動態(tài)演示截距b的變化過程；而方程（2）仍成立，讓學(xué)生體會直線方程的斜截式b的任意性。

學(xué)生活動8：學(xué)生觀看演示，形成完整的認(rèn)知。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生類比直線方程的點斜式探索過程，以自主探究與團(tuán)隊協(xié)作相結(jié)合的形式探究新知，充分調(diào)動學(xué)生參與知識建構(gòu)的積極性、主動性。

教師活動9：教師引導(dǎo)學(xué)生提煉發(fā)現(xiàn)過程，得出直線方程的斜截式。

學(xué)生活動9：學(xué)生領(lǐng)悟發(fā)現(xiàn)過程。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生感悟由直線方程的點斜式到直線方程的斜截式的探索過程，并體會其中蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法，感受其中包含的數(shù)學(xué)之趣。

3.拓展延伸，升華能力

教師活動10：同學(xué)們想一想方程的斜截式：y=kx+b與我們學(xué)過的一次函數(shù)表達(dá)式之間有什么關(guān)系呢？

學(xué)生活動10：同學(xué)們思考。

預(yù)計有些學(xué)生會忽略一次函數(shù)中k不能為0。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時并回顧以前所學(xué)的知識，形成一個完整的知識系統(tǒng)。

教師活動11：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)了直線方程的點斜式與斜截式。現(xiàn)在我們來完成以下知識清單來加強對知識點的掌握。

知識清單

學(xué)生活動11：填表，鞏固所學(xué)知識。

設(shè)計意圖：通過填寫表格，整體理解直線方程點斜式與斜截式的結(jié)構(gòu)特征，領(lǐng)悟本節(jié)課的實質(zhì)——將平面上點、線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為其代數(shù)關(guān)系（直線的方程）。

三、例題講解，學(xué)以致用

教師活動12：用PPT呈現(xiàn)例題，要求學(xué)生獨立求解。

例1：直線l經(jīng)過點P0（2，3），且傾斜角為α=45°，求直線l的點斜式方程。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生練習(xí)，及時提供反饋，讓學(xué)生感受合理選擇和應(yīng)用公式的意義。

例 2：已知直線 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，試討論：（1）l1∥l2的條件是什么？（2）l1⊥l2的條件是什么？

學(xué)生活動12：學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上解決問題。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生回憶前面用斜率判斷兩直線平行、垂直的結(jié)論，加深對直線斜率與傾斜角的理解。

四、學(xué)生總結(jié)，老師提煉

教師活動13：同學(xué)們，回憶本節(jié)課的教學(xué)，鼓勵學(xué)生進(jìn)行總結(jié)。

學(xué)生活動13：學(xué)生嘗試給出總結(jié)。

本環(huán)節(jié)側(cè)重三點：（1）斜率式是點斜式的一種特殊形式；（3）說明本節(jié)課蘊涵著數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法；（3）鼓勵學(xué)生反思，大膽質(zhì)疑。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，回顧探索歷程，體悟其中的數(shù)學(xué)思想與方法；認(rèn)識到本節(jié)課的實質(zhì)是將平面上的點、線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為其代數(shù)關(guān)系（直線的方程），再結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的直線傾斜角和斜率等知識，推導(dǎo)出直線的方程。

五、布置作業(yè)，拓展延伸

1.常規(guī)作業(yè)：P65頁練習(xí)1

2.拓展作業(yè)

當(dāng) α 為何值時，直線 l1：y=-x+2a與直線 l2：y=（a2-2）x+2 平行？

設(shè)計意圖：這是一道開放性題目，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，鞏固新知識。

（選做題）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，預(yù)習(xí)直線方程的兩點式和一般式。

設(shè)計意圖：這是為學(xué)有余力的學(xué)生安排的，將課堂的數(shù)學(xué)探究活動延伸到課外。作業(yè)的分層布置，體現(xiàn)分層教學(xué)，使不同層次的學(xué)生都有所收獲。

劉影.數(shù)學(xué)教學(xué)實踐［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2010.