伸縮梯度投影法在天文圖像復原中的應用

邵云龍

（桂林電子科技大學，廣西 桂林 541004）

伸縮梯度投影法在天文圖像復原中的應用

邵云龍

（桂林電子科技大學，廣西 桂林 541004）

在地基天文觀測中，由于大氣湍流的干擾，使得觀測結果降質，嚴重影響高分辨率天文圖像的獲取，因此需要對天文圖像進行復原。基于伸縮梯度投影（SGP）的圖像反卷積算法精度高、收斂快，但需要較為精確的點擴散函數（PSF）估計作為前提。對此，聯合基于稀疏測度的PSF估計算法提出改進的ESGP算法。仿真結果表明，經改進的算法能夠較好的復原天文圖像。

天文圖像；大氣湍流；SGP；PSF估計

1 引言

地基光學望遠鏡對天文目標成像時，由于大氣湍流引起的波前畸變，所獲取的圖像產生嚴重的降質，很難獲得高分辨率的天文圖像[1]，需要對天文圖像進行復原。

天文圖像的高清晰復原方法，主要分為兩類：一類是針對成像環節，利用自適應光學（adaptive optics,AO）系統實時補償大氣湍流造成的影響，實現波前像差糾正[2]。但自適應光學儀器制造極其復雜，改進成本高；受硬件條件的限制，不可避免的存在誤差。第二類方法是針對觀測結果，通過圖像復原技術來復原高分辨率圖像。這類方法簡單、易于實現且代價低，同時也可作為第一類方法的有效補充。因此，無論采取哪種方法，相應的圖像復原后處理技術都是必不可少的[3]。

圖像復原算法研究作為天文圖像處理的一個重要方向，已取得了大量成果。在斑點成像技術方面，最早的有A.Labeyrie提出的斑點干涉測量算法[4]。之后，W.H.Richarson和L.B.Lucy分別相互獨立的提出了基于Bayes原理的R-L算法[5]，R-L算法收斂速度較慢且需要知道點擴散函數為前提。Ayers和Dainty提出了迭代盲解卷積（Itertive Blind Deconvolution,IBD）算法[6]，其基本思想就是在空間域和Fourier域交替施加約束條件，最終得到理想目標圖像的估計。但算法受樣本初始值的影響大，缺乏可靠性，解的唯一性和收斂性不能得到有效保證。Deepa Kundar提出了基于非負性和有限支持域的遞歸迭代逆濾波算法（NAS-RIF)[7]。算法結構簡單，且算法在凸集上進行迭代，解的唯一性和算法的收斂性都可以得到保證，取得了很好的效果。但由于算法構建的逆濾波器具有高通的性質，會導致高頻噪聲放大。Bonettini等利用高效的伸縮策略和步長更新規則提出了伸縮梯度投影算法[8]，該算法具有精度高，魯棒性好的特點，同時由于利用了高效的伸縮策略和步長更新策略，相比常規梯度投影類迭代算法，其收斂速率大大提高。

SGP算法假定點擴散函數（PSF）是已知的，但實際情況下，PSF通常是未知的，這限制了SGP算法的應用。本文在伸縮梯度投影算法（SGP）基礎之上，針對其需要較為精確的PSF估計為前提，聯合基于稀疏測度的PSF估計算法提出改進的ESGP算法。首先，通過基于稀疏測度的PSF估計算法[10]估計出較為精確的PSF；然后，利用估計出來的PSF通過SGP算法對圖像進行反卷積得到復原圖像。

2 伸縮梯度投影算法（SGP）概述

其中，A是一個N×N的矩陣，指成像過程對清晰圖像的物理影響，這里可理解為PSF。X是需要被復原的清晰圖像，η指的是圖像獲取過程中的加性噪聲，b指的是實際觀測圖像。圖像盲復原問題即在除觀測圖像以外無任何先驗知識的前提下，從觀測圖像b中得到清晰圖像的近似x的過程，這是一個病態的問題。這類問題根據非負性和通量守恒的約束可以轉化為極小值問題：

在SGP算法中，J(x)表示為Ax與b之間的K-L距離：

梯度類投影算法中，關鍵的一步就是投影的計算。投影算子的定義為：

在SGP算法中，每次迭代中需要計算：

也就是說，必須解決如下的約束凸二次規劃問題：

其中，

根據約束集的特殊結構，問題（2-6）可以表示為一維的尋根問題。

對于這種含非等式約束的情形，首先構造拉格朗日罰函數：

列出其KKT條件：

由上述KKT條件可得：

對于（2-11）這種分段線性單調非遞增的求根問題，采用文獻[11]中基于切割的方法可以高效的解決。

同比常規梯度投影類算法，SGP算法通過使用有效的步長和伸縮矩陣的更新策略使得收斂速率大大提高。同L-R算法相比，SGP算法在圖像去模糊問題中得到與L-R算法相同復原精度的同時，所需的時間大大減少。

3 改進的圖像盲復原算法ESGP

SGP算法在處理圖像去模糊問題時是有非常有效的，但需要一個較為精確的PSF估計為前提。實際問題中，PSF往往是未知的，因此需要在僅已知觀測圖像的情況下估計出較為精確的PSF。

目前已有很多PSF的估計算法，總體上分為兩類：第一類是利用圖像的邊緣估計模糊核[12,13,14]，這類算法估計圖像的邊緣并用模擬的塊替換掉模糊圖像的邊緣，由此估計出模糊核。由于現實模糊圖像中，需要被替換掉的復雜的紋理信息往往遭到嚴重的破壞，此類算法不穩定，甚至產生錯誤的模糊核。第二類算法充分利用了自然圖像統計信息的先驗知識，即它們的分布導數和模糊核是稀疏的、連續的。利用這些信息，此類算法通過最大后驗概率的方法[15,16]或者簡單的代價函數[10,17]來估計模糊核。其中，文獻[10]中的基于稀疏測度的PSF估計算法相對簡單，且復原效果好，適用于天文圖像的復原。

圖像復原問題是個病態問題，即在圖像復原過程中由于噪聲的存在導致復原的結果與真實圖像相差甚遠，解決圖像復原病態問題的基本做法就是對解進行正則化約束[18-19]，來減少數據波動對解的影響，從而保證解的穩定性。

l1范數相對 l0范數具有更好的優化求解特性而廣泛應用于表達信號的稀疏性，但是由于它的尺度可變性，簡單的減小信號就會使l1范數變小。圖像處理中，l1范數作用于高頻部分，當圖像中噪聲增加時，相應的 l1范數會增大，因此減小l1范數可以有效地抑制噪聲。而當圖像的模糊度增加時，相應的l1范數會減小。因此，在圖像去模糊中，簡單的使用l1范數約束會產生模糊的圖像。l1范數和 l2范數的比例 l1/l2是 l1范數的歸一化，當它作用于圖像高頻部分時，圖像模糊度的增加會導致兩個范數同時減小，但 l2范數減小的更快，因此它們的比例會增大，這樣l1/l2可作為圖像模糊度的有效約束。

其中，x是未知的在高頻空間的清晰圖像，k是未知的模糊核，?是二維卷積算子。代價函數包含三個部分，第一部分是模型(3-1)的似然項。第二部分是一個 l1/l2正則項，它是l1的歸一化版本，具有尺度不變性。第三部分，是對模糊核的k的l1范數的懲罰，以減少模糊核中的噪聲。

式(3-3)是非凸的，解決方法是給x和k一個初始值，然后交替進行x和k的更新：

x更新的子問題可表示為：

k更新的子問題可表示為：

該問題可通過迭代重加權最小二乘算法[21]高效解決，其中k到約束集的投影即設定非零元素為0，并重新歸一化。

仿真結果表明，該算法結構簡單、效率高且能夠較為精確的估計出PSF。

4 仿真結果與分析

為客觀驗證算法的恢復質量，本文采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)、結構相似度(structural similarity)2個指標對復原結果進行比較。峰值信噪比主要用于來評價圖像復原方法對噪聲的影響，其值越大，說明圖像受噪聲影響越小。其定義為：

上述指標從統計意義上對圖像進行分析，并不涉及信號自身的內容，沒有考慮到像素之間的相關性。因此評價結果與人的主觀感知不能取得完全一致。結構相似法 SSIM（structural similarity）是一種基于結構信息衡量原始信號與處理后信號之間相似程度的方法，與主觀質量評價關聯性較強，其值在0到1之間，越接近1說明與原始清晰圖像越相似。

下面給出不同PSF估計對SGP算法的影響的仿真，將第一類算法中文獻[13]中的算法和第二類算法中文獻[15]中的算法仿真比較，結果如圖1所示：

圖1　不同PSF估計對SGP影響

表1　不同PSF估計下SGP復原指標

從復原圖直觀的可看出，文獻[11]中的算法取得了更佳的效果，PSNR和SSIM指標也印證了這一點。

5 結束語

本文給出一種基于SGP算法改進的圖像盲復原算法，鑒于SGP算法需要較為精確的PSF估計為前提，采用了基于稀疏測度的 PSF估計算法，該 PSF估計算法能較好的估計出PSF。仿真結果顯示改進的算法能獲得較好的恢復效果，具有很好的收斂性。

[1] Sheppard D G,Hunt B R,Marcellin M W.Iterative multiframe superresolution algorithms for atmospheric-turbunceegraded imagery[J].JOSA A,1998,15(4):978- 992.

[2] Jolissaint L,Carfantan H, Anterrieu E.Exploring the impact of PSF reconstruction errors on the reduction of astronomical adaptive optics based data[C]//SPIE Astronomical Telescopes+ Instrumentation.International Society for Optics and Photonics,2008.

[3] Schulz T J.Multiframe blind deconvolution of astronomical images[J].JOSA A,1993,10(5):1064-1073.

[4] Labeyrie A. Attainment of diffraction limited restoration in large telescopes by Fourier analyzing speckle patterns in star images[J]. Astron.&Astrophys,1970,(6):85-87.

[5] Lucy L B.An iterative technique for the rectification of observed distributions[J].The astronomical journal,1974, (79):745.

[6] Ayers G R,Dainty J C.Iterative blind deconvolution method and its applications[J].Optics letters,1988,13(7):547-549.

[7] Kundur D,Hatzinakos D.A novel blind deconvolution scheme for image restoration using recursive filtering[J]. Signal Processing,IEEE Transactions on,1998,46(2):375-390.

[8] Bonettini S,Zanella R,Zanni L. A scaled gradient projection method for constrained image deblurring[J].Inverse Problems,2009,25(1):125-130.

[9] Dabov K, Foi A,Katkovnik V,et al.Image Denoising by Sparse 3-D Transform-Domain Collaborative Filtering[J]. Image Processing,IEEE Transactions on,2007,(16):080-095.

[10] Krishnan D,Tay T,Fergus R.Blind deconvolution using a normalized sparsity measure[C].Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR),2011 IEEE Conference on. IEEE,2011:233-240.

[11] Dai Y H, Fletcher R.New algorithms for singly linearly constrained quadratic programs subject to lower and upper bounds[J].Mathematical Programming,2006,106(3):403-421.

[12] Sun L,Cho S,Wang J,et al.Edge-based blur kernel estimation using patch priors[C]//Computational Photography (ICCP), 2013 IEEE International Conference on.IEEE, 2013:1-8.

[13] Cho T S, Paris S,Horn B K P,et al.Blur kernel estimation using the radon transform[C]//Computer Vision and Pattern Recognition(CVPR),2011 IEEE Conference on.IEEE,2011: 241-248.

[14] Joshi N, Szeliski R,Kriegman D.PSF estimation using sharp edgeprediction[C]//ComputerVisionandPattern Recognition,2008.CVPR 2008.IEEE Conference on.IEEE, 2008:1-8.

[15] Levin A,Weiss Y,Durand F,et al. Efficient marginal likelihood optimization in blind deconvolution[C]// Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR),2011 IEEE Conference on.IEEE,2011:2657-2664.

[16] Levin A,Weiss Y,Durand F,et al.Understanding and evaluating blind deconvolution algorithms[C]//Computer Vision and Pattern Recognition, 2009.CVPR 2009.IEEE Conference on.IEEE,2009:1964-1971.

[17] Shan Q,Jia J,Agarwala A.High-quality motion deblurring from a single image[C]//ACM Transactions on Graphics (TOG).ACM,2008,27(3):73.

[18] Karayiannis N B,Venetsanopoulos A N.Regularization Theory in Image:the Regularizing Operator Approach[J]. Optical Engineering,1989,28(7):761-780.

[19] Karayiannis N B. Regularization Theory in Image Restoration-the Stablizing Functional Approach [J]. IEEE Trans on Acoustics,Speech and Signal Processing, 1990, 38(7):1155-1179.

[20] Beck A,Teboulle M.A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse problems[J].SIAM Journal on Imaging Sciences,2009, 2(1):183-202.

[21] Levin A, Fergus R, Durand F, et al. Image and depth from a conventional camera with a coded aperture[C]//ACM Transactions on Graphics (TOG).ACM, 2007,26(3):70.

[22] Buades A, Coll B, and Morel J M. A non-local algorithm for image denoising[J].Proceedings of the IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, San-Diego,2005,(2):60-65.

Application Of Scaled Gradient Projection Method In Telescopic Astronomical Image Restoration

In ground-based astronomy observations, due to the interference of atmospheric turbulence, the observed images are degraded, making it difficult to obtain high-resolution astronomical images, so astronomical image restoration is needed. The image deconvolution algorithm based on scaled gradient projection is highly effective with a high precision and a fast convergence, but requires an accurate point spread function (PSF) estimation as a prerequisite. Based on SGP, an enhanced SGP (ESGP) is proposed connected with the PSF estimation algorithm based on sparsity measure. Simulation results show that the improved algorithm gets brilliant performance on astronomical image restoration.

Astronomical image; atmospheric turbulence; SGP; PSF estimation

P11

A

1008-1151(2015)04-0008-03

2015-03-08

邵云龍（1988-），男，桂林電子科技大學在讀生，研究方向為適用于天文觀測的天文圖像復原算法研究。