局部探究——定格數(shù)學課堂瞬間精彩

黃曉勇

[摘 要]

數(shù)學課堂離不開學生的探究，在課堂教學關鍵環(huán)節(jié)進行局部探究活動，可以讓學生更清楚了解到知識的來龍去脈，理解相關知識的本質。設置生活化的問題情境、環(huán)環(huán)相扣的問題串、借助現(xiàn)代教育技術直觀演示、預設合理化實際問題等都是實施局部探究行之有效的策略。

[關鍵詞]

局部探究；數(shù)學；課堂；向量

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的重要橋梁。通過向量的學習可以發(fā)展學生的數(shù)學觀念，提升學生的運算能力和解決實際問題的能力。但實際教學中，受諸多因素的影響，仍有不少教師重運用定理解題、輕概念定理認知，人為地造成向量概念、定理與解題脫節(jié)的現(xiàn)象，導致學生對向量定理模糊不清，對向量的運算性質一知半解，嚴重影響了后續(xù)學習。

在日常的數(shù)學教學中，由于課堂的時間有限，如能根據(jù)本節(jié)課的特點，圍繞某個問題，用5分鐘左右的時間，在教師的組織、引導下，讓學生通過個人、小組、集體等多種方式進行解難釋疑的嘗試活動，可以使學生更清楚了解到知識的來龍去脈，理解相關知識的本質。筆者結合《向量的加法》新授課，談談如何進行局部探究教學。

一、設置生活化的問題情境，通過局部探究理解向量加法的定義

向量的加法是學習向量線性運算的起始內容，“為什么引入向量加法”，“如何建立向量加法法則”以及“向量加法法則建立后有何作用”，是學習向量加法必須弄清楚的問題。考慮到向量有極其豐富的實際背景，如能恰當?shù)亟o學生創(chuàng)設生活化的問題情境，通過對問題的探究、分析，可以讓學生歸納和抽象出概念的本質特征，這樣形成的新概念更容易被學生理解和接受，也能激發(fā)學生更好地參與向量的后繼學習。此前，學生已經(jīng)接觸了物理中和位移的求法，可以從這個點切入，設計如下問題情境：

教師：“大家有沒有遇到過上午的最后一節(jié)課是體育課的情形？”學生回答：“遇到過。”教師：“上完體育課后，有的同學直接從體育館去食堂；有的同學先回教室拿飯卡，再去食堂用餐。請大家觀察這兩組位移“體育館——教室——食堂”“體育館——食堂”，利用向量的表示，這三個向量之間的等量關系式是什么？”很自然，學生會說出答案，此時教師順勢導出向量加法的定義，很輕松地就為引出向量的加法的三角形法則做了很好的鋪墊，緊接著，教師提問：“對于任意兩個不共線的向量，我們該如何求解它們的和呢？”向量加法的三角形法則躍然而出！顯然，通過生活化的情境引入數(shù)學概念，在問題的探究過程中，不僅解了學生的“惑”，這種引入比較生動，有趣，自然，能激起學生學習、探討的興趣，輕松地將學生由“好奇”帶入“困惑”的狀態(tài)，在解惑的過程中，學生不僅能快速根據(jù)關鍵特征感知、記憶概念，而且能更加深刻地從多個角度理解這個概念，并為后續(xù)學習做了一定鋪墊。

當然，向量加法的引入方式還可采取：通過學生已有的知識和經(jīng)驗引入概念，動手操作引入數(shù)學概念，通過實際問題引入數(shù)學概念等。但不管何種引入方式，都要側重引起學生的注意，激發(fā)學生的興趣。剖析過程要體現(xiàn)概念的本質，蘊含概念發(fā)生的思維方法，給學生提供廣闊的思維空間，讓他們逐漸養(yǎng)成主動探究的習慣。

二、設置環(huán)環(huán)相扣的問題串，探究向量運算法則

數(shù)學知識是在人類的思維活動中產(chǎn)生的，而思維活動總是在提出問題和解決問題的過程中進行的，因此發(fā)現(xiàn)問題就成為解決問題的起點。遵循這一規(guī)律，在數(shù)學知識的教學中，創(chuàng)設問題情境，精心設計出系列問題，巧設懸念，層層深入，以此來誘發(fā)學生強烈的求知欲望，讓學生在困惑、緊張、興奮的情境中不僅了解學習的知識“是什么”，更要知道“為什么”“怎么想到的”等一系列問題。

理解向量加法的定義后，自然就要探究三角形法則，可以設計以下探究環(huán)節(jié)：

先介紹首尾相連的兩向量的求和方法，設置問題情境，對于不共線的兩向量，如何求其和向量？學生馬上說出平移，利用三角形法則作圖。此時教師不失時機地提出以下問題：

思考1：向量[a]平移前后相等嗎？為什么？

思考2：平移的目的是什么？

思考3：和向量的起點與終點是如何確定的？

思考4：能否只平移其中的一個向量？若能，怎樣平移？

簡單的4個問題，就把向量加法的三角形法則的作圖要點“首尾相連，連首尾”解釋得清清楚楚。這樣推導，不僅自然流暢，直觀嚴謹，而且能讓學生進一步明白向量加法的實質（起點可以自由選擇），符合學生的認知發(fā)展規(guī)律。學生在經(jīng)歷向量加法法則的探究和應用過程，不僅能體會數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法，還會進一步培養(yǎng)學生歸納、類比、遷移能力，增強學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識。

三、借助現(xiàn)代教育技術直觀演示，輕松探究和向量模的范圍

數(shù)學學科高度抽象的特點，更需要學習者的感受、體驗和思考過程，因此，“做數(shù)學”是學好數(shù)學的利器！用計算機軟件或簡單模型，設計妙趣橫生、新穎獨特的實踐操作活動，可以提供給學生學習提供直接數(shù)學活動經(jīng)驗。在實踐操作過程中，操作者能直觀地感覺數(shù)學知識，有利于加強知識的理解和記憶。而且不同層次的學生在共同動手實踐中能起到相互促進的作用，從而提高學生合作解決實際數(shù)學問題的能力及科學表達自己觀點的能力。

向量的和、差的模的取值范圍是一個很容易讓學生糾結不清的內容，學生已經(jīng)通過學習，掌握了向量的概念、幾何表示。筆者設計了以下探究片段：

如圖，給出非零向量[a]，[b]，令向量[OA=a]，[AB=b]，則[a+b=OA+AB=OB]，借助幾何畫板給出如圖動態(tài)的示意圖，轉動點B，觀察向量[OB]的模的變化情況。

[[OA]和[AB]不共線 [OA]和[AB]同向 [OA]和[AB]異向]

問題1：在旋轉過程中，向量[OB]的模經(jīng)歷了怎樣的變化過程？

問題2：向量[OB]的模何時最大？它的取值與[a]，[b]有何聯(lián)系？

問題3：向量[OB]的模何時最小？它的取值與[a]，[b]有何聯(lián)系？

問題4：你能用三角形的相關知識證明[a-b]≤[a+b≤a+b]嗎？怎樣證明？

經(jīng)過學生自主探究后，教師與學生一起分析這兩組結論的共同點與相異點，問題迎刃而解。這種探究實質上是運用數(shù)學模型去解決問題，突出了數(shù)學知識的來龍去脈，有助于學生理解數(shù)學的本質，形成對數(shù)學的完整的認識。同時，從事物之間的聯(lián)系的矛盾上來理解事物的本質，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學的內容，促進學生學習的主動性、培養(yǎng)其創(chuàng)新精神和思維的深刻性。

四、預設合理化實際問題，探究向量加法知識的應用

向量是現(xiàn)實世界的重要數(shù)學模型，學習數(shù)學模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學建模過程。我們可以按照“建構模型——研究模型——應用模型”的順序展開探究。“站得高才能看的遠”，選擇應用題時應放眼全局，從知識系統(tǒng)的維度選擇相應的應用題。教材中的例2的設計，主要是想訓練學生對平行四邊形法則分解向量的運用，但起始難度較大，筆者經(jīng)過仔細考慮后，采用了下列設計方案：

例題：長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以[23]km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h。

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；

（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與水流方向的夾角來表示）。

變式：在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h。渡船要垂直地渡過長江，其航向應如何確定？

教師講解例題，總結出解答應用題的關鍵是提取有效信息，然后聯(lián)想相應的數(shù)學模型，如本題聯(lián)想兩向量的和的模型。接著讓學生根據(jù)題意準確畫出變式題的圖形，針對學生可能出現(xiàn)的“航向是北偏東30°”的錯誤進行及時糾錯，并指出在巡視的過程中，發(fā)現(xiàn)幾個學生求出原因是受初中的結論（若直角三角形的一條直角邊是斜邊邊長一半，則其對應的角度為30度）的影響，形成了錯誤的思維定勢。

改變問題的結構、條件或設問方式等，變換的是問題的形式，但不改變問題的本質，使學生學習時甄別知識之間的細微差別，不只是停留于事物的表象，而能自覺地從本質看問題，這種設計能鞏固平行四邊形法則的運用，進一步培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生科學的人生觀和鍥而不舍的精神。

不管是進行何種方式的探究，最終目的都是為了深化對問題的理解，優(yōu)化思維過程，揭示問題本質，溝通知識間的相互聯(lián)系，促進知識的同化和遷移。在實際操作中，要結合特定的教學目標，思考是否采用探究教學，選用何種探究方式，具體怎樣操作實施，能不能與其他教學形式進行有機整合、相互配合使用。當然，在實際教學中，探究還要時時注重對知識點蘊含的數(shù)學思想、關鍵因素等進行概括、總結，讓數(shù)學思想“像一條河流，流淌在學生的心田”。

[參 考 文 獻]

[1]王華民，鄭寶生.對數(shù)學概念形成過程實施局部探究的實踐與思考[J].數(shù)學通報，2011（7）.

[2]韓國梁.讓數(shù)學課堂活起來——數(shù)學課堂局部探究的嘗試[J].中學數(shù)學教學參考（上旬），2012（5）.

（責任編輯：張華偉）