光學(xué)教學(xué)中楊氏雙縫衍射的數(shù)值模擬

劉永欣

摘要：考慮到楊氏雙縫實驗中狹縫寬度的影響，采用惠更斯-菲涅爾衍射積分公式對高斯激光光束經(jīng)過楊氏雙縫后在觀察屏上的光強分布進(jìn)行了計算模擬，本文詳細(xì)分析了雙縫距離、狹縫縫寬、光束束腰寬度等對衍射圖樣的影響。

關(guān)鍵詞：光學(xué);楊氏雙縫;衍射;數(shù)值模擬

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）23-0174-02

一、引言

楊氏雙縫干涉是光學(xué)中最重要的內(nèi)容之一。通常情況下，為了計算方便，幾乎所有的教材都對兩狹縫作了理想化的處理，即假定兩狹縫縫寬非常狹窄，近似為零，在此假設(shè)下，兩束光束發(fā)生相干疊加（即干涉），其條紋必定是等間隔均勻分布的[1]。針對此簡化模型的數(shù)值模擬已有人做了一些研究[2，3]。然而，實際中的狹縫都有一定寬度，所以都不可避免的存在多光束干涉的現(xiàn)象。此時用分波陣面法計算光程差只能粗略描述接收屏上的光強分布，不夠精確。因此，將縫寬因素考慮進(jìn)去的楊氏雙縫實驗的數(shù)值分析將更具實際意義。另外，為了降低測量誤差，減少視覺疲勞，不少院校已經(jīng)將鈉燈光源改進(jìn)為激光光源[4]。本文將利用惠更斯-菲涅爾衍射積分公式對激光高斯光束經(jīng)過楊氏雙縫后在接收屏上的光強分布進(jìn)行計算模擬，詳細(xì)分析雙縫距離、縫寬、束腰寬度等對衍射圖樣的影響。該結(jié)果可對實際實驗中如何選取合適的參數(shù)提供理論指導(dǎo)和幫助，也有助于進(jìn)一步加深學(xué)生對楊氏雙縫實驗的理解，提高教學(xué)質(zhì)量。

二、理論推導(dǎo)與數(shù)值模擬

假設(shè)如圖1所示雙縫位于z=0平面，雙縫的透過率函數(shù)可表示為：

其他，（1）

式中，2a為雙縫的距離，b為狹縫的寬度。采用入射激光束為高斯光束，其在z=0平面的場分布為：

式中，w ?為高斯光束束腰寬度。利用惠更斯—菲涅爾衍射積分公式，可得z=z平面的場分布為：

進(jìn)而可得任意z平面的光強分布I（x，y，z）=|E（x，y，z）|2。利用mathcad對上式進(jìn)行數(shù)值模擬，可得光強分布結(jié)果，其中所使用參數(shù)若無特別說明分別是：波長λ為633nm，束腰寬度w ?為1.5mm，z為0.8m。橫坐標(biāo)x軸的范圍均為（-2mm，+2mm），縱坐標(biāo)y軸的范圍均為（-2mm，+2mm）。

圖1（見上頁）是縫距2a為1.6mm時不同的狹縫寬度b情況下高斯光束經(jīng)過雙縫的衍射圖樣，其中（a）b=0.003mm，（b）b=0.1mm，（c）b=0.3mm。由圖可知，高斯光束經(jīng)過雙縫后呈現(xiàn)出等間距的明暗條紋的分布。但隨著狹縫寬度的變大，菲涅爾衍射的影響也增大，使得明暗相間的條紋變得較模糊，可參見圖1（c）。另外由圖1（a）、（b）可知，當(dāng)狹縫縫寬b=0.003mm，0.1mm時，其z平面的光強分布差別不大。因此，在實驗中我們可以使用0.1mm的狹縫寬度去模擬狹縫極小情況下的楊氏雙縫干涉的實驗。但縫寬大于0.1mm時，其實驗效果將較不理想。其中縫距2a=1.6mm（a）b=0.003mm，（b）b=0.1mm，（c）b=0.3mm.

圖2是狹縫寬度b為0.1mm時，縫距2a不同的情況下高斯光束經(jīng)過雙縫后的衍射圖樣，其中（a）2a=1.2mm，（b）2a=0.8mm.由圖1（b）與圖2（a）、（b）比較可見，隨著縫距的變小，條紋變粗，并且相鄰明（暗）紋的間距也變大，這與楊氏雙縫的干涉結(jié)果也是相一致的。其中b=0.1mm（a）2a=1.2mm，（b）2a=0.8mm.

在實驗操作時，會根據(jù)實驗需要對激光光束進(jìn)行擴(kuò)束，擴(kuò)束后的光斑尺寸的大小也會影響光束經(jīng)過雙縫后的光強分布。圖3給出了不同束腰寬度的高斯光束經(jīng)過雙縫后的衍射圖樣，其中（a）w ?=2.5mm，（b）w ?=0.5mm。由圖1（b）與圖3（a）、（b）比較可知，隨著光束束腰寬度的變小，光束經(jīng)過雙縫后的條紋變得也越短，但相鄰明（暗）紋的間距基本不變。因此可通過擴(kuò)束改變?nèi)肷涔獍叩某叽邕M(jìn)而改變衍射條紋的長短。其中b=0.1mm，2a=1.6mm（a）w ?=2.5mm，（b）w ?=0.5mm.

三、結(jié)論

本文利用惠更斯-菲涅爾衍射積分公式對激光高斯光束經(jīng)過楊氏雙縫后在接收屏上的光強分布進(jìn)行了計算模擬，詳細(xì)分析了雙縫距離、縫寬、束腰寬度等對衍射圖樣的影響。通過比較發(fā)現(xiàn)，在文中給定參數(shù)前提下，使用0.1mm的狹縫寬度即可較好模擬狹縫極小情況下的楊氏雙縫干涉實驗。其所得結(jié)果對實際實驗中如何選取合適的參數(shù)提供理論指導(dǎo)和幫助，也有助于進(jìn)一步加深學(xué)生對楊氏雙縫實驗的理解，提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬文蔚，等.物理學(xué)[M].第五版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]譚毅.楊氏雙縫干涉實驗的仿真研究[J].實驗技術(shù)與管理，2012，（3）：91-93.

[3]梁齊，許曉琳，王明虎.光干涉實驗的計算機模擬[J].大學(xué)物理實驗，2003，（3）：61-63.

[4]彭小蘭，王紅成，劉敏霞.楊氏雙縫干涉實驗的改進(jìn)[J].廣東技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)），2012，（2）：6-9.endprint