淺析解析幾何中的參變量范圍問題

韋玉球　李春梅　劉立明　任北上

摘要：求解析幾何中的參變量范圍問題的題型是高考中的熱門題型。解析幾何中求參變量范圍問題往往將幾何、代數、三角知識交叉滲透，具有頗大的挑戰性。參變量范圍問題能夠很好地考查學習者的綜合數學解題能力。這種問題涉及知識點多，而且含參變量的不等式關系經常比較隱蔽難以找出，給解題帶來諸多困難。本文主要就解析幾何中的參變量范圍問題，結合實例淺析解析幾何中求解參變量范圍問題的策略。

關鍵詞：解析幾何；參變量范圍；策略

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）13-0180-03

解析幾何是中學教學中不可缺少的內容，在考查數學綜合能力方面起著不可替代的作用。代數幾何系統的應用研究，解析幾何的知識和方法，使數形結合的思想和方法取得了前所未有的進展。而解析幾何中經常用參變量作為命題的內容，近年來，在高考試題及高考模擬題中求參變量范圍的問題屢見不鮮。高考中解析幾何試題的命制往往以求參變量的取值范圍問題為思路設計，涉及學科知識廣，使得各知識點交匯于一處，形成了知識網絡。因為這些問題大部分是高難度的，而且發現含參變量的不等關系也是存在一定的難度的，所以給問題的解決帶來了很多困難。通過對此課題的深入研究將總結與歸納出更完善、更全面的解決解析幾何中的參變量范圍問題的策略，使學習者掌握解決這類問題的思考途徑，不斷提升數學思維品質。

一、解析幾何中的參變量范圍問題

解析幾何中的參變量范圍問題涉及廣泛的學科知識，例如解析幾何、函數、不等式、向量、平面幾何等等。參變量就是一個變量，在不同情況下數值不同的量，在指定情況下是一個常數值，也被稱為“參變數”、“參量”、“參數”。中學所涉及到的幾何中的參變量范圍問題，就是確定某一個變量的取值范圍（例如截距、點的坐標、離心率、斜率等等），能夠使得問題中出現的幾何圖形或者具有某一種幾何特點，或者與數量存在某種關系，或者存在某種位置關系。

二、解析幾何中的參變量范圍問題的求解策略

參變量范圍問題是一類綜合的、應用性強而且情景新穎，涉及廣泛學科知識的問題。通常運用函數思想、方程思想、數形結合思想等，將問題轉化為求函數的值域或最值等來求解。

1.利用圖形直觀性尋找不等式關系求參變量取值范圍。如果題目涉及“點點距”（即圓錐曲線上的點與焦點的距離）與“點線距”（即圓錐曲線上的點與準線的距離）之間的關系，常常利用圓錐曲線的統一定義將它們與離心率聯系起來，并借助于圖形的直觀性來挖掘隱含的不等關系。

例1 已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的左、右焦點F 、F ，右準線l，M是雙曲線右半支上一點，并且有MF 是M到l的距離d與MF 的比例中項，求雙曲線離心率e的取值范圍。

分析：如圖1，容易發現在ΔMF F 中，顯然隱含著不等關系MF +MF ≥2c.憑借這一關系建立含有離心率e的不等式，問題將很容易被攻破。

解：∵MF =d·MF ，

∴ = =e.∴MF =eMF ？搖 ①？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

由雙曲線定義，有MF -MF =2a ②

聯立①、②，解得，MF = ，MF = .

在ΔMF F中，有MF +MF ≥2c，？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

∴ + ≥2c.即 ≥e，又∵e>1，∴1

（1）容易發現在ΔMF F 中，MF +MF ≥F F ，如果等號成立，那么此三角形將變成一條線段，若雙曲線右頂點與點M重合，那么點M在線段F F 上，由此可得∠MF F =∠MF F =0° ，∠F MF =180° ，MF +MF =F F .這由初中的三角形基礎知識可以推出；（2）此例題的解答過程，既運用了雙曲線的第一定義又運用了其第二定義。

2.運用題設中的不等關系，建立含參變量的不等式求參變量取值范圍。如果知道題目條件中存在不等關系，那么可以直接轉化為關于求含參變量的不等關系；如果題設中存在不止一個變量，而且它們之間存在某種關系，那么已知的變量通常要用所求的參變量來表示，或者構造恰當的不等式，然后通過求解不等式來求出參變量的取值范圍。

例2 雙曲線 - =1（a>1，b>0）的焦距為2c，直線l過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線l的距離之和h≥ c，求雙曲線的離心率e的取值范圍。

分析：用含a、b、c的式子表示h，并利用已知“h≥ c”來求解。

解：由題意可設直線的方程為 + =1，即bx+ay-ab=0.依據點到直線的距離公式，且a>1，可得點（1，0）到直線l的距離h = ；同理得點（-1，0）到直線l的距離h = .于是h=h +h = =

？搖由5a ≥2c ，于是5 ≥2e ，即4e -25e +25≤0，解得 ≤e ≤5.又由于e>1，所以e的取值范圍是 ， 。注意對隱含條件“雙曲線的離心率大于1”。

3.利用幾何不等式或代數基本不等式構造不等式求參變量范圍。

ab≤ ≤ 是最基礎的代數基本不等式。當遇到某些與參變量范圍有關的題目時，若解題過程中需探討形如“a+b”、“ab”、“b +a ”等的式子之間的關系時，可以嘗試利用基本不等式和幾何量之間固有的大小關系來建立符合題意的含參變量的不等關系。

例3 設橢圓 + =1（a>b>0）的左、右焦點分別為F ，F ，若橢圓上存在一點Q，使得∠F QF =90°，求此橢圓離心率e的取值范圍。

解析：由∠F QF =90°，可知在△QF F 中，有

QF +QF =F F ①

由橢圓定義，有2a=QF +QF

對該式兩邊平方，得4a =QF +QF +2QF ·QF ②

由基本不等式，知2QF ·QF ≤QF +QF ？搖 ③

當且僅當QF =QF ，即b=c= a時取等號。

由①②③得4a ≤2（QF +QF ）=2F F =8c ，于是 ≥ ，即e ≥ ，又0

本題還可以利用圖形的幾何特性來求解。

4.挖掘曲線自身的幾何性質，尋找隱含不等式求參變量范圍。解析幾何中的圓錐曲線自身都包含了一些不等關系。常見的含不等關系的性質有：拋物線離心率等于1，橢圓的離心率大于0而小于1，雙曲線的離心率大于1。而且圓錐曲線上的點的橫坐標與縱坐標都是有一定的取值范圍的。所以可以利用它們的取值范圍建立不等關系。當然有的不等關系比較隱蔽，因此要用心地分析題中給出的條件及結論。

（1）利用點與圓錐曲線的位置關系構造不等式求參變量范圍。

點Q（x ，y ）與圓錐曲線方程f（x，y）=0存在三種關系：若Q在圓錐曲線上，則f（x ，y ）=0；若Q在圓錐曲線內，則f（x ，y ）<0；若Q在圓錐曲線外，則f（x ，y ）>0.由此可見，平面內曲線與點都滿足一定的關系。因此可以用這些關系來構造不等式解題。

例4 若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓 + =1總有公共點，則求x的取值范圍。

解析： + =1y=kx+1消去y，

得（m+5k ）x +10kx+5-5m=0

又因為m+5k ≠0，因此直線與橢圓有公共點必須滿足

Δ=（10k） -4（m+5k ）（5-5m）≥0對一切實數k恒成立，化簡25mk +5m -5m≥0

又因為m>0，得m≥1-5k 對一切實數恒成立，因此有m≥1.又橢圓的焦點在x軸上，因此5>m，因此m的取值范圍是[1，5）.

直線與公共點的問題通常都可以轉化為方程根的討論。

（2）利用曲線方程中變量的范圍建立不等式求參變量范圍。

圓錐曲線上的坐標是有界的，例如橢圓 + =1上的點Q（x，y）滿足-a≤x≤a，-b≤y≤b.于是可以利用有界性構造不等式求解。

例5 設點Q（x ，0）是橢圓 + =1上任意兩點連線的垂直平分線與x軸的交點，求x 的取值范圍。

分析：要求x 的取值范圍，必須從題目條件中找出含x 的不等關系，然而題目條件中給出了橢圓上的任意兩點，根據橢圓的性質可以知道橢圓上的點的橫坐標必須滿足-4≤x≤4，可以通過利用這兩點的橫坐標與x 之間的關系來求解。

利用這種方法求參變量范圍的關鍵是尋找參變量與長軸長、短軸長、離心率等之間的關系（如題中尋找x +x 與x 之間關系）。

5.運用函數與方程思想，問題轉化為求函數的值域或最值求參變量范圍。利用函數與方程思想，將問題轉化為求函數的值域或最值，對解決解析幾何中的參變量范圍問題起著至關重要的作用。運用函數與方程思想，運用判別式（或區間根原理）建立不等式求參變量范圍，用“方程”來表示“曲線”是解析幾何的一大特點，適當地運用方程的思想和方程有實數解的條件，就可以找出一個與討論對象有關的不等關系了。從直線與圓錐曲線的位置關系出發，當題設中給出的直線與圓錐曲線有交點或無交點時，可以將直線方程與圓錐曲線方程聯結起來，消除其中的一個未知數，從而化簡得出只含有一個未知數的一元二次方程，就可以運用判別式Δ≥0或Δ<0（或者區間根原理）構造出含欲求參變量的不等式，解出參變量范圍。

例6 過雙曲線 - =1（a>0，b>0）的右焦點F作雙曲線斜率大于零的漸近線的垂線l垂足為Q，設l與C的左、右兩支交于A、B兩點，求雙曲線C的離心率e的取值范圍。

分析：由于直線與雙曲線C的左、右兩支交于A、B兩點，因此可以聯立直線l與雙曲線C的方程，消除y后，得到關于x的一元二次方程，且此方程有兩個不同符號的實根，由此可以建立起與離心率e有關的含參數a、b、c所滿足的不等式。

利用三角函數的有界性構造不等式求參變量范圍。當遇到與三角函數有關的問題時，可以考慮從三角函數的有界性出發構造不等式來求解。圓錐曲線的參數方程既表明了曲線上點的坐標與第三變量之間存在的關系，使得點的坐標表示以及之間的關聯簡潔明了，又為某些問題的解決提供了不同的選擇。當三角函數應用到直線、圓和圓錐曲線的參數方程時，可以利用其三角函數來化簡式子，并利用其有界性建立不等式。

例7 雙曲線 - =1（a>0，b>0）的兩個焦點為F 、F ，若Q為雙曲線上一點，且QF =2QF ，求雙曲線離心率e的取值范圍。

分析：此例題要考查的內容是與雙曲線有關的性質，離心率的求解方法及焦半徑問題。利用余弦定理建立起兩個焦距與焦半徑之間的關系，然后依據三角函數的取值范圍來構造不等式來求解。

解：設QF =m，∠F QF =θ（0<θ≤π），若Q在右頂點處，那么θ=π，

e= = = ，

∵-1

本例題也可以運用三角形的兩邊之和大于第三邊，及兩邊之差小于第三邊的關系來求解。但必須注意的是前面的解法可以取到等號，因為三點可以在同一直線上，也可以運用焦半徑公式確定a與c的關系。

利用函數的值域和最值求參變量范圍。有關參變量取值范圍問題，可以通過恰當引入變量（例如點的坐標，角，斜率等），構造參變量與相關量的函數關系，然后根據解析式的特征，通過變形和轉換，運用配方法、單調性、導數、均值不等式等知識求出函數的最值和值域，從而確定參變量范圍。

三、結束語

求解解析幾何中的參變量范圍問題往往運用轉化和化歸思想，將問題轉化為求解參數的方程。在某給定范圍內有解的問題或尋找題設的約束條件，把問題轉變成與參變量存在一定關系的問題，再綜合運用方程、不等式以及函數基礎知識求解參變量的范圍問題。注意題中的已知條件，利用題設條件使欲求參變量與圓錐曲線上的坐標或者圓錐曲線的特征參數建立起聯系。還需注意平面上的二次曲線自身的范圍以及已知變量的范圍，二次方程有解的條件。

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