恒定總流連續性方程推導的對比分析式教學改革探索

吳磊+馬孝義

摘要：水力學是一門技術基礎課，它是應用力學的一個分支。連續性方程是流體動力學的三大基本方程之一，是質量守恒原理的流體力學表達式，在水力學課程教學和工程應用中具有重要地位。因此，為了讓學生更好地掌握和應用連續性方程，我們采用對比分析式教學模式，從不同角度剖析連續方程的推導過程及物理意義，加深學生對該方程的理解，推進水力學重難點的教學改革與創新，提高水力學教學質量。

關鍵詞：水力學；連續性方程；對比分析；教學改革

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）51-0086-02

水力學是建立在流體力學基礎之上的一門既有較強理論性又有較強工程實際意義的技術基礎課程，廣泛應用于水利、土木建筑、給排水、水文環境、地質勘探等專業。水力學課程的主要任務是研究水的平衡和機械運動規律及其工程應用，它具有理論性強、經驗公式多，概念抽象，推導復雜，易混淆、理論緊密聯系工程實際等特點。水力學與其他各門力學課程一樣，一直以來都是學生認為最為難學的課程之一，它對高等數學、大學物理、工程力學以及綜合分析問題的能力要求較高。作為水利等工科專業的技術基礎課，水力學是學生專業能力形成與未來職業發展必不可少的依托，它不僅是后續專業課學習的理論基礎，而且也是解決工程實例的技術依據。連續性方程是水力學三大基本方程之一，它總結和反映了水流運動過程中水流的過水斷面面積與斷面平均流速沿流程的變化規律，是解決水力學問題的重要公式。本文從質量守恒定律出發，針對流體的連續介質特性，分別從“微元體”與“元流”兩個切入點推導連續性方程，并進行對比分析，為連續性方程的專題性教學改革探索提供參考。

一、連續性方程的“微元體”推導過程

連續性方程的“微元體”思想是依據連續介質假設把物質質量守恒定律用微分方程的形式表述的方程式。

1.連續性微分方程。在流場中取微小直角六面體空間為控制體，正交的三個邊長dx、dy、dz，分別平行于x、y、z坐標軸（圖1）。

2.連續性微分方程對總流的積分。設恒定總流，以過流斷面及側壁面圍成的固定空間為控制體，體積為V（圖2）。

式中A為體積V的封閉表面，上式u1的方向與dA外法線方向相反，取負號。由此得到：v1A1=v2A2上式即為總流的連續性基本方程，式中v1、v2為總流的斷面平均流速。

二、連續性方程的“元流”推導過程

1.微小流束（元流）的連續性方程。在采用“元流”思想推導連續性方程的過程中，取上游過流斷面A1和下游過流斷面A2之間的總流管作為控制體（圖3），在恒定流、無流體流入或流出、連續介質等假定條件下，根據質量守恒定律，得“元流”連續性方程ρ1u1dA1=ρ2u2dA2；對不可壓縮流體的定常流動，有ρ1=ρ2=ρ，得不可壓縮流體“元流”連續性方程u1dA1=u2dA2。

2.總流的連續性方程。將微小流束（元流）連續性方程對過水斷面A1及A2進行積分得：ρ1v1A1=ρ2v2A2上式表明可壓縮流體做定常流動時，在單位時間內通過A1流入控制體的流體質量等于通過A2流出控制體的流體質量。對不可壓縮流體，ρ為常數，則v1A1=v2A2。

三、討論與分析

無論采用“微元體”思想還是“元流”思想推導連續性方程，都以質量守恒定律為基礎。根據連續性方程的適用范圍，推論如下：

1.有“固定邊界域”的總流連續性方程：適用范圍：恒定流、非恒定流、可壓縮、不可壓縮流體、理想流體、實際流體。

2.恒定總流連續性方程：適用范圍：恒定流、可壓縮、不可壓縮流體、理想流體、實際流體。對于不可壓縮流體，有v1A1=v2A2。

3.分叉不可壓縮流體恒定總流連續性方程：v1A1=v2A2+v3A3。

針對連續性方程的不同推導過程，結合《水力學》課程教學目標和課程特點，制定的教改思路如下：（1）水力學教學宜采用由一元、二元到三元，由可壓縮到不可壓縮，由理想到粘性的系統化理論教學體系；（2）注重實踐性教學改革探索；（3）吸取國內外水力學教材精華，拓寬學生的思維結構與知識體系；（4）在課堂上善于舉實例說明問題；（5）正確處理好教學與科研的關系。

四、結論

本文就《水力學》中連續方程的推導進行了對比分析式教學改革探索，結論如下：

1.采用對比分析方法推導水力學基本方程式，可以達到授課的系統性和關聯性，幫助學生真正理解、掌握和應用方程。

2.采用“微元體”或“元流”對比分析式的教學模式推導基本方程能開拓學生的學習思路，實現水力學教學方式創新性改革的目標。

參考文獻：

[1]呂宏興，裴國霞，楊玲霞.水力學[M].第二版.北京：中國農業出版社，2011.

[2]張志昌.水力學（上冊）[M].北京：中國水利水電出版社，2011.

[3]余周武.《水力學》課程的特點及教學改革的思考[J].水利天地，2010，（2）.

[4]李家星，趙振興.水力學（上冊）（第1版）[M].南京河海大學出版社，2001endprint