基于嫦娥三號軟著陸目標區域選取的研究*

李峻山，趙婉茹，許夢宇，朱家明

（安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030）

基于嫦娥三號軟著陸目標區域選取的研究*

李峻山，趙婉茹，許夢宇，朱家明

（安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030）

針對嫦娥三號探月衛星運行過程，主要探究嫦娥三號軟著陸過程中著陸目標區域的選取。根據不同地域所拍攝照片像素點數值大小不同的特性，通過構造、計算平坦系數并建立合適的空間直角坐標系，從而找出相對平坦區域，根據路徑最小原則，選取嫦娥三號的最佳著陸地點，并給出相應的軌跡方程。

嫦娥三號；軟著陸；灰度圖像矩陣；MatlabR2010b；平坦系數

發射人造地球衛星、載人航天和深空探測是人類航天活動的三大領域。重返月球、開發月球資源、建立月球基地已成為世界航天活動的必然趨勢和競爭熱點。開展月球探測工作是我國邁出航天深空探測第一步的重大舉措。實現月球探測將是我國航天深空探測零的突破。月球已成為未來航天大國爭奪戰略資源的焦點。本文以2014年全國大學生數學建模競賽A題[1]為例，以嫦娥三號探月衛星為研究對象，通過Matlab編程，來研究嫦娥三號軟著陸過程中的粗避障、精避障階段的著陸目標選取。

1 研究準備

1）對新名詞的解釋：平坦系數(d)：利用平面灰度圖像矩陣(Gmn)計算出的用以描述平面平整度的系數，數值越小表示平面越平坦。其具體計算公式如下：

Amn表示平面灰度圖像矩陣

2）坐標系的建立：以飛船所拍攝照片的中心（月球的19.51W，44.12N）為坐標原點，豎直向上為z軸，x,y軸分別建立在數字高程圖中所顯示的水平面上并與圖片邊緣平行，坐標系建立結果如圖1所示。

圖1 坐標系的建立

2 粗避障階段的分析與求解

2.1 粗避障階段的分析

在粗避障階段要求我們避開較大的隕石坑，也就是說我們應該把飛船引導向盡量平坦的地區降落，我們通過2 400 m高度拍攝的灰度圖像尋找平坦區域，根據灰度圖像矩陣數值大小可以反映地理相對高度大小的特性，我們對灰度圖像矩陣進行分塊[2]，計算每一個分塊矩陣的平坦系數，這樣我們只要把飛船引導向平坦系數最小的區域即可。距月面2 400 m處的數字高程照片如圖2所示。

圖2 距月面2 400 m（左）和100 m（右）處的數字高程圖

2.2 挑選粗避障的著陸目標區域

選取合適的分塊矩陣大小：

在粗避障階段拍出的數字高程圖的水平分辨率是1 m/像素，其數值的單位是1 m,矩陣大小是2 300×2 300；而在距月面100 m拍出的數字高程圖的水平分辨率為0.1 m/像素，數值單位是0.1 m，大小是1 000×1 000；為了與精避障階段的研究聯系起來，在現階段我們選擇100×100作為一個單位分塊矩陣大小。

計算平坦系數秩序矩陣：

第一步：用Matlab將（距2 400 m處的數字高程圖）圖像讀入[3]后得矩陣：

第二步：挑取出矩陣A中的每一個100×100矩陣：

對D排序得秩序矩陣D'[4]，那么合適的降落區域也必定在平坦系數秩序矩陣中排名靠前的平坦系數所對應的區域中產生，由于隕石坑都呈現倒錐狀，所以不可能出現區域位于坑底或坑頂而平坦系數計算值較小的情況。

按照以上算法利用Matlab求解出2 400 m處數字高程圖的平坦系數如表1所示。

表1 2 400 m處數字高程圖的平坦系數

關于表1中數據的意義，我們做以下說明：

（1）位置：表示該平坦系數對應的子矩陣所在灰度圖像矩陣中的行列位置，比如(213∶312，1 878∶1 977)指平坦系數為6 473的那個100×100子矩陣在原矩陣中的第213至312行，1 878至1 977列。

（2）區域中心坐標：表示該平坦系數對應的子矩陣所表達的子灰度圖像投影在三維坐標系的x，y坐標平面上的中心坐標。

2.3 求解最佳著陸點

根據上述解法，在秩序平坦系數矩陣中排在第一位的平坦系數所對應的區域就是降落目標區域，但是考慮到飛船自帶的燃料有限，在避障階段消耗的燃料越多飛船的著陸失敗風險就越大，根據坐標圖和實際經驗容易知道飛船選取的著陸目標偏離空間坐標系軸越遠，其所行走的路程就消耗越多燃料，所以在降落區域的選取上，我們可以在可行的降落區中選擇區域中心與原點的歐式距離最小的降落去作為最佳降落區。

假設飛船的自控范圍為平坦系數＜H且H= 6 635，根據平坦系數秩序矩陣挑選出的可降落區為，每個可行降落區的的中心坐標為，那么每個可行降落區的中心與原點的歐氏距離[5]為：

由表1數據計算得出降落區域的平坦系數與歐氏距離如表2，歐式距離折線如圖3所示。

表2 降落區域的平坦系數與歐氏距離

圖3 歐式距離折線圖

2.4 確定避障飛行軌跡

利用上一個模型中確定的合適降落區域為S,可以確定其對應矩陣在原灰度圖像矩陣中是在第g至 g+99行，第h至h+99列即，從而可以確定該區域的中心坐標為，在其100 m正上方的對應坐標為，再有飛船在2 400 m高空時的坐標為（0，0，2 400）,可以根據這2個點確定一條直線，可計算其軌跡方程[6]為：

這也就是飛船在粗避障階段的飛行軌跡。

根據歐式距離最小原則可以看出選取排序為3平坦系數為6 514的區域為著陸點最合適，那么在其上方100 m處對應坐標為(-888.5,-777.5,100)，根據公式（1），求得粗避障階段的飛行軌跡方程為：

嫦娥三號應該通過控制自身發動機沿著該直線飛行，飛行軌跡如圖4所示。

圖4 嫦娥三號的粗避障階段飛行軌跡

3 精避障階段的分析與求解

精避障階段要求精細避開月面障礙物，也就是要求在可視范圍內選擇最平坦的區域作為飛船的著陸點，所以這里可以利用和粗避障階段相同的模型，通過計算平坦系數來量化選擇最佳著陸點。在此階段我們選取40×40為一個分塊矩陣大小。主要是基于以下原因：嫦娥三號降落區域面積不到16 m2（嫦娥三號著陸器的底面是長寬不到4 m的近似長方形），當嫦娥三號懸停在100 m高空時拍攝的圖像是0.1 m/像素，那么反映在圖像矩陣中一個40×40的像素點陣表示的實際月面面積就是16 m2，故而我們選取40×40為一個分塊矩陣大小。

求得100 m精避障階段的相應數據如表3、表4和圖5所示。

表3 位于100 m處平坦系數

表4 降落區域的平坦系數與歐氏距離

圖5 歐式距離折線圖

根據歐式距離最小原則可以看出選取排序為3平坦系數為809的區域為著陸點最合適，那么在其上方100 m處對應坐標為(-844,-337)，根據公式（1），求得精避障階段的飛行軌跡方程為：

飛船應該通過控制自身發動機沿著該直線飛行，那么嫦娥三號登月飛船在粗避障和精避障階段的運行軌跡如圖6所示。

圖6 嫦娥三號精避障階段運行軌跡

4 結語

本文所介紹的嫦娥三號著陸目標區域選取方法利用了現代計算機快速精確計算優點，并且創造性地提出了平坦系數這一衡量平面平坦程度的概念。在模型中我們考慮到了所有的可能備降區域，給出一個精確的量化選擇著陸區的方法。這種方法不僅適用于嫦娥三號的著陸，對現實中其他的航空航天器在未知區域安全降落同樣具有重要意義。

注釋及參考文獻：

[1]2014全國大學生數學建模競賽A題[EB/oL]．http://www．mcm．edu．cn/．

[2]王萼芳,石生明．高等代數[M]．北京:高等教育出版社，2012:181-186．

[3]張巖．Matlab圖像處理超級學習手冊[M]．北京:人民郵電出版社,2014:80-93．

[4]吳禮斌,閆云俠．經濟數學實驗與建模[M]．天津:天津大學出版社．2009:27-44．

[5]吳成東,賈子熙,張云州,等．基于歐氏距離的分布式網格定位估計方法[J]．東北大學學報,2013,30(3):1-3．

[6]呂林根,許子道．解析幾何[M]．北京:高等教育出版社,2012．5:112-119．

The Landing Target Region Selection Based on the Chang'e No.3

LI Jun-shan，ZHAO Wan-ru，XU Meng-yu，ZHU Jia-ming
(School of Statistics and Applied Math，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu,Anhui 233030)

Aim ming at the process of the Chang'e 3 lunar exploration project,this paper,mainly studies to select the object region in the process of Chang'e 3 soft landing.According to characteristics that pictures photoed in different areas have different sizes of the numerical pixel,it will be established a suitable space rectangular coordinate system and find out a relatively flat areas by construting and calculating flat coefficient.and select the best landing point of Chang'e,and conclude a corresponding trajectory equation under the principle of the minimum path.

Chang'e 3;soft landing;gray scale image matrix;matlab R2010b;flat coefficient

V525

A

1673-1891（2015）04-0022-03

2015-10-14

安徽財經大學教研項目（acjyzd201429）。

李峻山（1993-），男，安徽淮南人，研究方向：信息與計算科學。