發揮策略在應用性問題建模教學中的作用

◆江蘇省揚州市東關小學 韋波富

發揮策略在應用性問題建模教學中的作用

◆江蘇省揚州市東關小學 韋波富

解決應用性問題的過程是建模的過程，其中數量關系的分析是核心。解決問題的策略在建模的不同階段發揮著不同的作用。借助相應的策略可以理順對應信息、引領建模方向、發現數量關系、同化認知結構和求解數學模型。

建模教學；應用性問題；策略

應用性問題教學的本質是建模。建模一般經過以下幾個步驟（如圖）：對實際問題進行觀察、分析；將實際問題抽象、簡化為數學問題；在數量之間建立某種關系，即建模；求解該數學問題；驗證結果是否正確，正確則建模完成，否則從頭開始。新版蘇教版教材解決問題策略單元的展開的順序與建模過程大體相同，即在呈現一個實際問題后，先弄清題意，明確已知條件和所求問題；再分析數量關系，確定先算什么再算什么；算出答案后還應做到檢驗和反思。其中，數量關系反映的是條件之間、條件與問題之間關聯性的結構表達式，是解決這一問題的數學模型。而在建構數量關系模型的過程中，解決問題的策略和方法起著推波助瀾的重要作用。

一、借助策略理順對應信息

傳統應用題呈現的是完備的結構，數量關系很快就能找到。但現實生活中，信息的出現可能是雜亂無章的，或是隱蔽的，可能會充斥著很多無關的信息。因此，在解決問題時，學生要學會借助策略對信息進行整理和篩選，從紛繁復雜的情境里提取有用的信息，將現實問題轉換成數學問題。

建模就是要發現信息間的某種規律，從而構建起一個關系式。理順信息的對應關系是建模初始階段的關鍵工作。這種對應關系主要是指它們之間的某種關聯性，包括條件與條件之間的對應關系、條件與問題之間的對應關系。

列表或摘錄是梳理信息的有效策略。它適用于信息比較復雜、關系比較模糊的問題。它的最大特點就是通過整理使得兩個相關的不同數量之間、或幾個相同數量之間、條件與問題之間的對應關系比較清晰，比如時間和路程的對應關系、時間與時間的對應關系、時間路程與速度的對應關系等。條件與相應問題的對應關系有時通過從條件想起建立；有時通過從問題想起策略有選擇的獲取，避免多余信息的干擾，發現缺少的信息。信息的這種對應方式體現了高度的有序性，便于比較，利于發現數量之間的關系。

理順信息的對應關系所采取的策略不是唯一的。有時需要借助畫圖的策略，畫圖能直觀地顯示題意，有條理地表示數量；有時還需要借助表演或畫示意圖加以厘清，如相遇問題，運動的物體從一個變為兩個，情境中的信息量大，對應關系復雜，表演或畫示意圖再現問題中的情景是一個很好的選擇。

二、借助策略引領建模方向

解決問題都有一定的思路，思路體現學生的思維過程。“從條件想起”與“從問題想起”是解決問題的兩種思路，也是解決問題的基本策略。

“從條件想起”就是通過條件之間的組合，步步逼近所要解決的問題，即從已知推出未知。蘇教版三年級（上）“小猴幫媽媽摘桃，第一天摘了30個，以后每天都比前一天多摘5個。小猴第三天摘了多少個？”解決這類問題學生可以從條件想起：根據“第一天摘了30個”和“以后每天都比前一天多摘5個”可以求出第二天摘的個數；再根據“第二天摘的個數”與“以后每天都比前一天多摘5個”可以求出第三天摘的個數。由此可見，在策略指引下的建模是有根據的、有序的。教材中還安排了根據已知條件提出問題的訓練，如“買了3盒鋼筆，每盒10支，買的圓珠筆比鋼筆多18支”，學生可以根據前兩個條件提出“一共買了多少支鋼筆？”這一問題，再根據鋼筆的支數和第三個條件進而提出“一共買了多少支圓珠筆？”這一問題。這種接力式的建模方向直指所要提出或解決的問題。

“從問題想起”則是通過對問題的分析，尋找解決問題所需要的條件，它與“從條件想起”的策略相比則是反方向的。蘇教版三年級（下）（如下圖）如果從條件想起會走很多彎路或者不必要走的路，根據問題則會很快找到所需要的條件，策略的價值凸顯無疑。學生根據問題首先建立一個主干模型：帶來的錢-用去的錢=剩下的錢；然后再根據問題中剩下的錢“最多”這一要求，找到相應的條件求出用去的錢。教材中安排了根據問題尋找、補充條件的訓練，目的就是理解、掌握建模的思路。教學中還可以將一些例題或習題改編成一個條件不完備的開放性問題，引導學生自覺運用“從問題想起”的策略發現問題和解決問題。

兩種策略都指向于數量關系模型的建構，每種策略都有適用解決的問題。但在使用的過程中不是孤立的，往往是兩種策略綜合起來使用。有些問題既可以從條件想起，也可以從問題想起。從條件想起時要瞄準所要解決的問題，從問題想起還要聯系、照顧情境中的條件，這樣才能快捷、準確建模。教學時要引導學生學會表述解決問題的建模思路，促使學生的思維從直觀感知上升到數學理解。

三、借助策略發現數量關系

在解決問題時，分析數量關系是從“數學問題”到“用數學方法解決”的橋梁，對于比較復雜或不夠明朗的數量關系，教師要引導學生利用畫圖等表征方式進行分析和發現。如蘇教版二年級（上）P8例4：小英做了11朵花，小華比小英多做3朵，小華做了多少朵？教學時可以畫示意圖發現數量關系。用圓圈代替花，先表示出小英做的朵數，再表示出小華做的朵數。在畫的過程中領悟到這樣的關系：小英做的朵數+3=小華做的朵數。蘇教版三年級（上）P73第3題：18個小朋友站成一排，從左往右數，芳芳排在第8，從右往左數，兵兵排在第4，芳芳和兵兵之間有多少人？從字面表達上學生很難發現其中的數量關系，老師可以引導學生用△或○表示18個人，在圖中找出芳芳和兵兵的位置，這時其中的數量關系顯現無疑。

畫線段圖是解決問題的常用策略。新版蘇教版教材非常重視線段圖教學，從早期直條圖的孕伏滲透到實際的線段圖的操作運用，學生逐步了解線段圖這一幾何形式對解決問題的直觀幫助。蘇教版三年級（下）有這樣一個問題：一條褲子28元，一件襯衫的價錢是一條褲子的3倍。買一套衣服一共要用多少錢？學生可以從條件想起或問題想起運用已有的經驗解決問題：28×3=84（元），28+84=112（元）。在此基礎上指導學生畫線段圖表示褲子、村衫的價錢，從而發現數量之間新的關系：1+3=4，28×4=112（元）。

列表整理也是發現數量關系的重要策略，通過對列表整理后的條件和問題信息進行比較，能發現信息之間的內在聯系，有利于構建數量關系模型。有時候，數量信息是以圖畫形式呈現的，排列很有條理，這時可以引導學生對圖中的信息進行分析比較，尋找到解決問題的突破口。蘇教版三年級（上）解決問題策略單元P77有這樣一道思考題（如下圖），從條件怎樣想？學生無從下手。這時可以引導學生對題中的兩個條件進行比較，從比較中發現數量之間的關系：73元和49元里面巧克力的數量是相同的，相差的錢就是相差的兩盒餅干的錢。

四、借助策略同化認知結構

原有的應用問題的結構、解決方法對學生解決新問題有著重要基礎作用和經驗參考。將新問題轉化為熟悉的問題，或將原有的經驗應用于新問題的解決，需要借助策略的支撐。

轉化是把一個數學問題變更為一類已經解決或比較容易解決的問題，從而使原問題得以解決的策略。替換與轉化有著同樣的功能，它適用于條件關系復雜，沒有直接的方法可解的問題。蘇教版六年級（上）P68（如下）通過分析學生可以建立這樣的數量關系模型：6個小杯的容量+ 1個大杯的容量=720毫升，小杯的容量=大杯的怎樣求出1個大杯的容量和一個小杯的容量呢，可以將大杯替換成小杯，或將小杯全部替換成大杯，替換后都變成小杯或者都變成大杯，把兩種量與總量之間的復雜數量關系轉化為一種量與總量之間的簡單數量關系。

數學課程標準指出，要處理好面向全體與關注個體差異的關系，鼓勵和提倡解決問題策略的多樣化。一方面培養學生的應用意識和能力，另一方面打通各種策略之間的聯系，實現互聯互通。如上面問題的教學時讓學生獨立思考，調動已有的經驗通過自主建模解決問題。學生提出各自的策略，可以通過畫圖解決，也可以列方程解決，還可以運用替換的策略解決。這樣的教材編排打通了各種策略之間的關系，讓學生體會到策略運用的靈活性。通過解決問題的過程，學生的認知結構會得到調整和重組，使新問題的解決策略納入到原有的認知結構中。

行程應用題是從一個物體的單向運動到兩個物體的同時相向運動，其數量關系是不變的，都是用速度×時間=路程，不同的是相向運動時數量關系變為：速度和×相遇時間=總路程。教學時要通過分析理解這一數量關系，再通過比較將這一關系與單向運動的情形進行貫通，實現認知結構的同化。

五、借助策略求解問題模型

數學課程標準（2011版）在課程設計思路中指出，要“使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、建構數學模型、尋求結果、解決問題的過程”。可見，求解模型是感悟模型思想的一個方面。算式、方程及其他數學表達式都是解決問題的模型，表現形式不同，尋求結果的策略也會有差異。算式的結果可以通過四則運算的規則進行計算得到。方程背后的核心思想，一是建模——布列方程；二是化歸——解方程，解方程就是運用等式的性質將多元方程變為一元方程，將復雜的一元方程變為簡單的一元方程。有些解決實際問題的模型實質上是一個不定方程，如蘇教版五年級（上）P94問題：王大叔用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？解決這個問題第一步要做的事就是建模，即（長+寬）×2=22米，而求解這一模型的策略就是列舉。

策略的教學和應用貫穿于解決應用問題的全過程。列表、畫圖等策略在建模的初始階段可以幫助整理信息、明晰關系；從條件想起、從問題想起等策略可以引領建模的方向；替換、轉化等策略可以將復雜的問題化歸為簡單的問題或者基本的模型；列舉等策略可以在求解復雜數學模型的時候發揮特有的作用。同一個策略往往在解決問題的不同階段發揮著不同的作用。同時，策略的教學和應用還貫穿于學生不同的學段，從低年級開始滲透，逐步積累運用策略幫助建模的經驗。

（編輯：胡 璐）

本文為江蘇省“十二五”規劃課題（重點自籌 批準號B-b/2013/02/281）“用建模思想指導小學數學應用性問題教學的實踐研究”研究成果。

韋波富，中學高級教師，江蘇省特級教師，江蘇省數學學會常務理事，揚州大學教育碩士兼職導師。

G623.5

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1671-0568（2015）34-0020-04