對2015年高三模擬題中探究題型的幾點探究

◆江西省九江外國語學校 袁江毅

對2015年高三模擬題中探究題型的幾點探究

◆江西省九江外國語學校 袁江毅

探究性問題在近幾年的高考真題和模擬題中出現頻率非常高，命制此類問題主要以能力立意為指導思想，考查學生對知識的綜合把握并融會貫通各種數學解題技巧及數學思想方法的運用，將知識、能力與綜合素質融為一體，倍受青睞而且成為壓軸題的首選。通過研究2015年各地高考真題以及模擬試題，總結該類問題常見的幾種情況及解決此類問題的基本思路，本文以2015年高三模擬題中探究題型為例，總結出該類題型常見的幾種情況。

探究題型；函數；數學思想

近幾年，探究性問題在高考真題和模擬題中出現頻率非常高。命制此類問題主要以能力立意為指導思想，考查學生對知識的綜合把握并融會貫通各種數學解題技巧及數學思想方法的運用，將知識、能力與綜合素質融為一體。通過研究2015年各地高考真題以及模擬試題，總結該類問題常見的幾種情況及解決此類問題的基本思路，以便更好地把握高考發展的動向，讓學生能夠更輕松地面對復雜的高考復習。

一、以熟知的函數性質或函數問題為架構，對參數的取值進行探究

樣題1：已知函數f（x）=x2-（a+2）x+a In x，其中常數a＞0，設定義在D上的函數y=h（x）在點處的切線方程為l：y=g（x），若在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”。當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”。若存在，請至少求出一個 “類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由。

思路點擊：本題不論是從函數類型還是涉及的函數內容角度欣賞都非常像高考題，探究型問題使題目頗顯時尚和有檔次，不過越是華麗的題目，解法往往越平易近人。所以，對待此類題型，在平日的復習中還是要多從基本的技巧和基本的思想方法下功夫。

解析：當a=4時， f（x）=x2-6x+4In x，則得函數在點處的切線方程6x0+4In x0。

若函數f（x）=x2-6x-4In x存在“類對稱點”P（x0，f（x0）），則等價于當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x）恒成立；當x＞x0時，f（x）＞g（x）恒成立。

①當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x）恒成立，

等價于當0＜x＜x0時（x-x0）+x02-6x0+4In x0恒成立。即當0＜x＜x0時，x0x2-（2x02+4）x+4x0·In x+x03+4x0-4x0·In x＜0恒成立，令φ（x）=x0x2-（2x02+4）x+4x0·Inx+x03+4x0-4x0· In x，則φ（x0）=0，要使φ（x）＜0在0＜x＜x0時恒成立，只要φ（x）在（0，x0）上單調遞增即可。

②同理，當x＞x0時，f（x）＞g（x）恒成立，解得存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標是

評析：導數的加盟，大大拓展了命制函數類探究題的空間。從例題中看出，函數類的探究題的解決離不開函數中的主體知識，因此夯實函數“三基”就能以不變應萬變。注意“構造思想”“分類討論思想”等技巧的應用。

二、從等差、等比數列常規問題入口，命制開放型與存在型試題

樣題2：已知數列{an}，{bn}中，對任何正整數n都有：

（1）若數列{an}是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列{bn}是等比數列；

（2）若數列{an}是等差數列，數列{bn}是首項為2的等比數列，設{bn}的前n項和為Sn，是否存實數λ，使得λan≤Sn對一切n∈N+都成立？若存在，請求出λ的取值范圍，若不存在，請說明理由。

思路點擊：數列型的探究題型都以數列的主干知識為依托，用求解數列類問題的常規思路探尋解題途徑。由于數列本質就是一種特殊的函數，所以在探究題型中常與含參數的函數恒成立問題聯系起來，綜合分類討論、數形結合、轉化與化歸思想，問題新穎靈活，從數學能力方面立意，難度中等偏上，是較有區分度的綜合性問題。

解析：（1）依題意，得數列{an}的通項公式是an=n，故已知等式即為

同時有，bn-1+2bn-2+3bn-3+……+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2）

兩式相減，可得bn+bn-1+……+b2+b1=2n-1，

可得數列{bn}的通項公式是bn=2n-1，知數列{bn}是首項1，公比為2的等比數列。

（2）設等比數列{bn}的公比為q，則bn=2qn-1，從而有

由于{an}是等比數列，則an-1-an是常數，故q=2，所以等差數列{an}的首項為公差為從而假設存在實數λ，使得λan≤Sn對一切n∈N+都成立，即（2n-1）對一切n∈N+都成立，即對一切n∈N+都成立，得N+），即λ≤4。所以存在λ≤4，使得λan≤Sn對一切n∈N+都成立。

評析：本題從學生熟悉的等差、等比數列的常規問題入手，考查由數列和到通項的過程以及數列求和的常規方法，探究題型還是以函數恒成立問題為主，區分度較明顯，由淺入深，重在數列知識的細節問題處，難易得當。

三、以新增知識為媒介，命制結論開放的探究型新題

樣題3：已知

甲同學利用Tn設計了一個程序框圖，如圖所示，但乙同學認為這個程序如果被執行將會是一個“死循環”（即程序會永遠執行下去，而不會結束），你是否同意乙同學的觀點？請說明理由。

思路點擊：框圖是新課改后的新增知識，難度不大，只要能夠讀懂程序框圖的邏輯順序即可，學生的重視程度不大，但近期對于框圖的研究也有了新的亮點，抓住框圖的邏輯性的特點，以及它與函數、數列等知識的綜合，新題也層出不窮，綜合性題型更是體現無遺。

評析：框圖題型作為新課改后出現的新增知識，這幾年各地高考的必考題，此類知識一直都是學生的得分點，同時也是比較容易出錯的地方，框圖題型的特點，決定它較強的綜合性，探究性的問題是一個值得學生應該重視的題型，問題新穎獨特，重在考查學生的綜合能力和對新知的接受與變通的能力。

四、以圓錐曲線為舞臺，命制異彩紛呈的結論開放性的探索型題

（1）求橢圓的方程；

思路點擊：充分應用圓錐曲線的性質，以及利用傳統解析幾何的解題思路，首先，用特例猜測可能的定點，然后，通過一般情況證明定點的正確性，從而找到問題的結論。

解析：（1）∵△F1F2M為等腰直角三角形，橢圓的方程為又∵橢圓經過點代入可得故所求的橢圓方程為

當l與x軸垂直時，易知A，B是橢圓的短軸的兩端點，∴以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1，由解得即兩圓相切于點（0，1），因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）。事實上，點T（0，1）就是所求的點。

證明如下：當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1），當直線l不垂直于x軸時，可設直線的方程為由消去y，得（18k2+9）x2-12kx-16=0，設點A（x1，y1），B（x2，y2），則又即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1），∴在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件。

評析：解析幾何是探究型、開放性問題的大戶室，五彩繽紛的概念和性質給命制開放性問題提供了廣闊的舞臺，然而，這類題型的探索思路是一成不變的：用代數方法（方程組）研究幾何問題（曲線間的位置關系）。

總之，探究型試題難度較大，對學生的能力要求較高且區分度較強，只要我們能夠了解該類問題解決的常規方法，靈活運用數學常見的解題技巧，就可以深刻地感受到此類問題無處不在地體現出分類討論、數形結合、函數與方程、轉化與化歸的思想。學生通過對此類問題的訓練一定會在數學能力和數學素養上有質的飛躍。

（編輯：胡 璐）

袁江毅，江西省九江外國語學校中教一級教師，多次參加市里的各項教師技能大賽并獲得一等獎，曾發表多篇論文，并榮獲省市一等獎，曾多次參與課外權威參考書的編寫。

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