勾股定理史話

張偉俊

有人說，但凡偉大的發現背后都有一個美麗的傳說.像勾股定理這樣一個偉大的發現，又有什么傳說呢？

在我國，勾股定理又被稱為商高定理.據西漢古算書《周髀算經》記載：周公問商高：“天不可階而升，地不可得盡寸而度，請問數安從出？”意思是說：天的高度和地面的一些測量的數字是怎樣得到的呢？商高說：“數之法出于圓方.圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五.既方其外，半之一矩，環而共盤，得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩.故禹之所以治下者，此數之所生也.”即我們常說的勾三股四弦五.什么是“勾、股”呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.由此我國古代學者就把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.商高的意思是：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（弦）則為5.以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”.這是最早對于勾股定理的記載，但當時并未給予勾股定理的一般形式和證明.由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫做“商高定理”.直到公元3世紀，我國漢代的數學家趙爽在注解《周髀算經》時，利用拼圖的方法對勾股定理進行了證明，其證明用的拼圖，被后人稱為“趙爽弦圖”. 2002年，國際數學家大會在我國北京舉行，“趙爽弦圖”被采納為大會的會標（如圖1），這是對我國古代數學輝煌成就的充分肯定.

在國外，對于勾股定理較普遍的稱法是畢達哥拉斯定理.相傳，在公元前5世紀，古希臘著名數學家畢達哥拉斯到朋友家作客，受朋友家地板圖案的啟發發現并證明了“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”.當時畢達哥拉斯從平淡無奇的方形地磚密鋪的地板發現了“等腰直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”的奧秘，繼而思考一般的直角三角形是否也具有類似的性質.通過探究，畢達哥拉斯想出了一種非常簡潔的證明方法：如圖2，小直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，拼成的兩個大正方形面積相等，各去掉四個全等的直角三角形，剩余部分的面積相等，即可得到直角三角形的直角邊長a、b和斜邊長c滿足a2+b2=c2，也就是“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”.這種證明方法在數學上還稱之為“無字證明”呢！

據說，畢達哥拉斯在完成這一定理的證明之后欣喜若狂，殺牛百頭以示慶賀.因此這一定理還獲得了一個帶有神秘色彩的稱號——百牛定理.后來，古希臘的另一位數學家歐幾里德（Euclid）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥拉斯最早發現的，因而稱之為“畢達哥拉斯定理”.為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年希臘曾經發行了一枚紀念郵票（如圖3），圖案由三個棋盤排列而成，顯示的正是勾股定理的信息.

事實上，在很多國家都有關于勾股定理內容的記載.據了解，在現有的記載中，我國的記載是世界上最早的.我國著名數學家華羅庚，曾經提出這樣一個想法：凡是有文明存在的地方，都應該會發現勾股定理.于是，他建議將反映勾股定理的圖形（勾三股四弦五）發送到太空去，尋找是否有外星人的存在.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）