勾股定理史話

張偉俊

有人說(shuō)，但凡偉大的發(fā)現(xiàn)背后都有一個(gè)美麗的傳說(shuō).像勾股定理這樣一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，又有什么傳說(shuō)呢？

在我國(guó)，勾股定理又被稱為商高定理.據(jù)西漢古算書(shū)《周髀算經(jīng)》記載：周公問(wèn)商高：“天不可階而升，地不可得盡寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”意思是說(shuō)：天的高度和地面的一些測(cè)量的數(shù)字是怎樣得到的呢？商高說(shuō)：“數(shù)之法出于圓方.圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五.既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤(pán)，得成三、四、五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩.故禹之所以治下者，此數(shù)之所生也.”即我們常說(shuō)的勾三股四弦五.什么是“勾、股”呢？在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.由此我國(guó)古代學(xué)者就把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.商高的意思是：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（弦）則為5.以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”.這是最早對(duì)于勾股定理的記載，但當(dāng)時(shí)并未給予勾股定理的一般形式和證明.由于勾股定理的內(nèi)容最早見(jiàn)于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫做“商高定理”.直到公元3世紀(jì)，我國(guó)漢代的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，利用拼圖的方法對(duì)勾股定理進(jìn)行了證明，其證明用的拼圖，被后人稱為“趙爽弦圖”. 2002年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國(guó)北京舉行，“趙爽弦圖”被采納為大會(huì)的會(huì)標(biāo)（如圖1），這是對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)輝煌成就的充分肯定.

在國(guó)外，對(duì)于勾股定理較普遍的稱法是畢達(dá)哥拉斯定理.相傳，在公元前5世紀(jì)，古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯到朋友家作客，受朋友家地板圖案的啟發(fā)發(fā)現(xiàn)并證明了“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”.當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯從平淡無(wú)奇的方形地磚密鋪的地板發(fā)現(xiàn)了“等腰直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”的奧秘，繼而思考一般的直角三角形是否也具有類似的性質(zhì).通過(guò)探究，畢達(dá)哥拉斯想出了一種非常簡(jiǎn)潔的證明方法：如圖2，小直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，拼成的兩個(gè)大正方形面積相等，各去掉四個(gè)全等的直角三角形，剩余部分的面積相等，即可得到直角三角形的直角邊長(zhǎng)a、b和斜邊長(zhǎng)c滿足a2+b2=c2，也就是“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”.這種證明方法在數(shù)學(xué)上還稱之為“無(wú)字證明”呢！

據(jù)說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯在完成這一定理的證明之后欣喜若狂，殺牛百頭以示慶賀.因此這一定理還獲得了一個(gè)帶有神秘色彩的稱號(hào)——百牛定理.后來(lái)，古希臘的另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid）在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)的，因而稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”.為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票（如圖3），圖案由三個(gè)棋盤(pán)排列而成，顯示的正是勾股定理的信息.

事實(shí)上，在很多國(guó)家都有關(guān)于勾股定理內(nèi)容的記載.據(jù)了解，在現(xiàn)有的記載中，我國(guó)的記載是世界上最早的.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚，曾經(jīng)提出這樣一個(gè)想法：凡是有文明存在的地方，都應(yīng)該會(huì)發(fā)現(xiàn)勾股定理.于是，他建議將反映勾股定理的圖形（勾三股四弦五）發(fā)送到太空去，尋找是否有外星人的存在.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）