淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的函數(shù)思想和方程思想

一、引言

百年大計(jì)，教育為本。隨著我國(guó)教育事業(yè)的發(fā)展，初中數(shù)學(xué)教育越來越重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教育之中有著重要的地位，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂所在，關(guān)系著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率及學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問題的解答質(zhì)量。初中生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)旨在幫助學(xué)生更好地理解初中數(shù)學(xué)中的概念及重點(diǎn)。初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中涉及的數(shù)學(xué)思想主要有：函數(shù)思想、方程思想、建模思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想等。其中，函數(shù)與方程思想是初中數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)培養(yǎng)思想。本文通過分析二者概念的定義，并結(jié)合具體的應(yīng)用實(shí)例，旨在幫助中學(xué)生更好地理解函數(shù)思想及方程的本質(zhì)，提高學(xué)生在面對(duì)具體數(shù)學(xué)問題時(shí)的應(yīng)用能力。

二、相關(guān)概念

（一）函數(shù)思想

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先引出的是函數(shù)的概念。函數(shù)描述的是自然界中數(shù)量之間存在的關(guān)系。函數(shù)思想主要是通過具體問題的數(shù)學(xué)特征，分析具體數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行問題的深入研究。初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想主要體現(xiàn)在學(xué)生“聯(lián)系和變化”的能力。在具體解題中，首先應(yīng)該根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)y，然后再利用函數(shù)的增減性、最大值和最小值、圖像變換等對(duì)問題進(jìn)行具體的分析。初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)模型主要有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)等幾類，大部分的數(shù)學(xué)函數(shù)題也是圍繞這幾類函數(shù)模型的。

函數(shù)思想并不只是針對(duì)函數(shù)類數(shù)學(xué)題而存在的。函數(shù)思想雖然基于學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念及性質(zhì)的掌握，但是在各類數(shù)學(xué)題中都能得到體現(xiàn)。這就要求在具體的解題中，應(yīng)該善于挖掘題中的隱含條件，進(jìn)而構(gòu)造出函數(shù)模型。初中生在解數(shù)學(xué)題過程中應(yīng)該鍛煉自己的審題能力，能夠?qū)︻}目進(jìn)行充分、全面的解讀，這是培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思想的重要前提。

（二）方程思想

初中數(shù)學(xué)教材中涉及的方程思想主要立足于具體數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系，然后通過學(xué)生正確理解，將問題中所給的語言文字轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為既定的數(shù)學(xué)模型。這里提到的數(shù)學(xué)模型包括方程、不等式、混合式（方程與不等式共存），然后通過計(jì)算獲得方程或者不等式的解，從而使得數(shù)學(xué)問題得到解決。值得強(qiáng)調(diào)的是，與函數(shù)思想一樣，方程思想的適用范圍很廣，它并不只針對(duì)方程問題存在。就像前面提到過的不等式中同樣用到了方程思想。隨著對(duì)初中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，我們能夠體會(huì)到方程思想的用處很廣，它會(huì)潛移默化地影響學(xué)生的解題思路，幫助學(xué)生提高解題能力。

笛卡爾將方程思想進(jìn)行了具體的概括，他認(rèn)為的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，幾乎到處都有等式與不等式存在。初中數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)教育，大部分內(nèi)容都是建立在等式與不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具體應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)中，設(shè)未知數(shù)、列方程、研究方程、解方程都是學(xué)生應(yīng)用方程思想的重要體現(xiàn)。

三、應(yīng)用案例

（一）函數(shù)思想的應(yīng)用

我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)中所遇到的數(shù)量關(guān)系有時(shí)沒有那么直觀，如果利用函數(shù)思想建立數(shù)學(xué)量之間的函數(shù)關(guān)系模型就能夠有效解決這一問題。通過構(gòu)建具體的函數(shù)模型研究初中數(shù)學(xué)問題，可以使很多東西簡(jiǎn)單化。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想有助于其學(xué)習(xí)能力的提高、學(xué)習(xí)成績(jī)的進(jìn)步。

例如：據(jù)報(bào)載，我省人均耕地已從1951年的2.93畝減少到1999年的1.02畝，平均每年減少0.04畝。若不采取措施，繼續(xù)按此速度減下去，若干年后我省將無地可耕，無地可耕的情況最早會(huì)發(fā)生在（ " "）。

A.2022年？搖？搖B.2023年？搖？搖C.2024年？搖？搖D.2025年

解：設(shè)x年后我省可耕地為y畝，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2.93-0.04x。

令y=0得x=73.25。

考慮實(shí)際情況x應(yīng)取74，無地可耕的情況最早會(huì)發(fā)生在1951+74=2025，所以應(yīng)該選D。

上述例題的解答問題就體現(xiàn)了函數(shù)思想。通過建立時(shí)間與耕地面積的函數(shù)關(guān)系使題目簡(jiǎn)單化。倘若直接計(jì)算，也能得到正確答案，只是解答過程會(huì)相對(duì)繁瑣并且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。其實(shí)，利用函數(shù)思想解決初中數(shù)學(xué)問題的中心思想很簡(jiǎn)單，就是構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式。但具體應(yīng)用起來并非易事。學(xué)生要綜合考慮函數(shù)的性質(zhì)、圖形及實(shí)際情況解答問題，并不是單純地列出函數(shù)式就可以了。教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的相關(guān)練習(xí)。

（二）方程思想的應(yīng)用

1.方程的思想在代數(shù)中的應(yīng)用：對(duì)于一些概念性的問題可以用方程的思想解決。

例如：1）■+1與■互為相反數(shù)，求m的值;

2）p（x，x+y）與q（y+5，x-7）關(guān)于x軸對(duì)稱，求p、q的坐標(biāo)。

解題思路就是根據(jù)給出的語言描述，利用相反數(shù)的概念及關(guān)于x軸對(duì)稱的性質(zhì)列出相應(yīng)的方程式，然后對(duì)方程式進(jìn)行求解。

2.方程的思想在幾何中的應(yīng)用：最典型的就是給出邊（角、對(duì)角線、圓的半徑）的比，求有關(guān)的問題。

例如：若三角形三個(gè)內(nèi)角之比是1∶1∶2，判斷這個(gè)三角形的形狀。

解題思路為：設(shè)每一份為x，三個(gè)角分別就是x，x，2x，

則x+x+2x=180，解方程得x=45，所以該三角形為等腰直角三角形。

從上面的例子可以看出，方程思想在具體應(yīng)用中就是利用方程觀點(diǎn)，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再對(duì)方程進(jìn)行求解。教師應(yīng)該加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題意列方程的能力，這是利用方程思想解題的關(guān)鍵所在。

四、結(jié)語

函數(shù)思想與方程思想作為重要的數(shù)學(xué)思想，都能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)。這兩種數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)中屬于最基本的解題思想。對(duì)于初中學(xué)生而言，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想的訓(xùn)練能夠不斷增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)而提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

函數(shù)思想的運(yùn)用主要是把具體數(shù)學(xué)問題中的量分為變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，用函數(shù)式的形式表現(xiàn)出來，然后再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題;而方程思想對(duì)具體數(shù)學(xué)量的劃分包括已知量和未知量，然后分析它們之間的關(guān)系列出方程式（或者不等式），再通過解方程、分析方程等方法解決問題。換句話說，函數(shù)與方程的思想就是通過分析數(shù)學(xué)量的關(guān)系，將其與函數(shù)或方程聯(lián)系起來，從而解決問題。但是值得注意的是，數(shù)學(xué)思想作為解數(shù)學(xué)題的指導(dǎo)思想，并不是相對(duì)獨(dú)立的，利用方程思想解決函數(shù)問題或者利用函數(shù)思想解決方程問題的情況也時(shí)有發(fā)生。這與數(shù)學(xué)自身的學(xué)科特點(diǎn)也有一定的聯(lián)系。在初中數(shù)學(xué)中，同一內(nèi)容可以表現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)方法，同一數(shù)學(xué)方法也可能分布在不同的知識(shí)點(diǎn)中，所以在課堂教學(xué)中應(yīng)該幫助學(xué)生不斷概括、整理數(shù)學(xué)方法，使學(xué)生在應(yīng)用的同時(shí)更好地掌握多種數(shù)學(xué)思想。