解析法——解決數形結合型幾何問題的有效策略

2016-01-06 10:04:14余獻虎,邵婉

中學教研(數學) 2015年10期

●余獻虎邵婉(衢州市實驗學校浙江衢州324000)

1637年，法國數學家笛卡爾把“算術、代數、幾何統一起來，把任何數學問題化為一個代數問題，再把代數問題歸結到解一個方程式”.這樣不僅把幾何問題通過代數方法解決，還能把變量、函數及數和形等重要概念密切聯系起來，實現“數學中有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了”.因此，在解決某些數形結合的幾何問題時，不妨試試解析法，也許能得到更簡捷的方法，讓問題的解決絕處逢生.

1求面積

分析如圖1，當m=2時，AF⊥DE，AF=DE.依據△APE∽△ABF求得AP，PE后，利用等積變形求AE上的高，從而求出△ABP的面積；當m≠2時，AF與DE不垂直，從特殊走向一般的問題解決策略宣告失敗，問題解決變得困難.

圖1 圖2

其實點P的坐標聯系著點P到正方形ABCD各邊的距離，若求得點P的坐標，則可以更簡捷地求其他部分圖形的面積.當m確定時，求線段PB的長，還是直接的.

類比例1，可作如下變式：

變式如圖3，在菱形ABCD中，對角線AC=8，BD=4，將其繞對角線的交點O順時針旋轉90°，得到菱形A′B′C′D′，求2個菱形重疊部分的面積.

分析本問題解決策略是多樣的，其中S八邊形DFB′EBHD′G=4S四邊形OB′FD=8S△OB′F.

解法1聯結OF，作FM⊥OA于點M，設{B′M=}x，則

AM=2FM=4x，AB′=3x=2，

圖3 圖4

上述幾何問題，通過建立直角坐標系，讓已知條件兌現充分，省去了輔助線的描述，所求點的縱坐標即為高，給求面積帶來了直接的便利.

2求長度

例2如圖5，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，{AC=}BC=6，BD=2CD，CE⊥AD，垂足為E，聯結OE，求OE的長.

問題解決歷經了“九曲十八彎”.

解法2作OF⊥OE交AD于點F，則△AOF≌△COE，△COE繞點O逆時針旋轉90°后與△AOF重合，于是△EOF是等腰直角三角形，AF=CE，得

方法巧妙，卻是那個誘人但跳一跳也很難觸及的“桃子”.

圖5 圖6

本題還可以AC，BC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，解析法指向明確，直截了當，不用拐彎抹角.

(2015年浙江省衢州市初中數學調研卷第16題)

分析從筆者所任教學校考生的統計數據看，第1個空格得分率為93%，說明考生在尋找直觀背景下的關系不差;第2個空格得分率僅為21%，說明考生還是難以在適當背景下把已知與所求聯系充分，包括添加適當的輔助線幫助解決問題，不善于用解析法.

圖7 圖8

通過建立平面直角坐標系，充分聯系已知與所求的關系，借助解析法找到BG關于所設變量的函數關系，利用二次函數的性質求得線段BG的最小值，此法簡捷、有效.

3探究點線關系

1)求tanA的值.

2)設點P的運動時間為t，正方形PQEF的面積為S，請探究S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

3)當t為何值時，正方形PQEF的某個頂點(點Q除外)落在正方形QCGH的邊上，請直接寫出t的值．

(2015年浙江省衢州市數學中考試題第24題)

分析在筆者所任教學校考生估分環節的隨機調查中發現:第1)和第2)小題完成情況尚好，此處筆者不作分析.對于第3)小題,有些考生主動選擇放棄，煩惱有：①“一個正方形的頂點落在另一個正方形的邊上”的內涵是什么不理解，感覺情況多而亂了方寸，感到這不是自己能完成的；②當點P，Q在運動時，作不出相應符合要求的位置圖形(嘗試但畫不成功)，失去了圖形的直觀性之后喪失了繼續探究的信心；③沒有明確的數量關系，如點E在CG上，該用怎樣的等量關系闡述，不清楚.

用解析法可以少去這些煩惱.