高師數學專業《常微分方程》課程教學模式改革的探索

羅振國+羅李平+王艷群+曾云輝

摘要：常微分方程是高等師范院校數學與應用數學專業的主要課程之一。文章針對常微分方程教學中存在的問題和矛盾，結合其特點，提出了教學內容與教學方法改革的一些建議，探討常微分方程課程教學改革之路，培養當代大學生的獨立思考能力和創新能力，提高課堂教學質量。

關鍵詞：高等師范院校；課程教學；培養

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）02-0088-02

一、引言

常微分方程是高等師范院校數學與應用數學專業的主要基礎課程。一方面，它是數學分析、高等代數等課程的延續和補充，另一方面，它是微分方程定性理論、偏微分方程等課程的前提和基礎。常微分方程是自然科學、社會科學中精確描述各種基本定律和相關問題的重要工具和手段。只要根據問題的前提條件和應用背景建立微分方程模型，利用相應的微分方程的求解方法計算出該微分模型的精確解或數值解，從而人們就可以利用其結果預見事情的發展趨勢，比如2003年爆發的非典，根據非典的特點和發展趨勢，數學家和醫學專家建立相應的微分方程模型，并找到控制疾病的方法、研發有效的藥物。由此可見，常微分方程變成人們發現、認識、適應、改造自然和世界的有力工具，也是將數學等理論應用實際的主要途徑。因此，常微分方程對高等師范院校數學與應用專業學生應用能力的培養是至關重要的。

二、常微分方程課程教學模式改革的必要性

目前衡陽師范學院等高等師范院校在“常微分方程”課程教學中，存在一些問題和矛盾，結合以前學習常微分方程及現在擔任常微分方程教學任務的親身體會，筆者認為主要有以下幾點：

第一，講解應用實際問題例題方面不夠。眾所周知，在眾多抽象的數學專業課程中，常微分方程是一門與自然世界聯系非常密切的數學課程，可是，擔任這門課程的任課教師在教學過程中，經常忽略這一特點，比如在教學內容的處理方面，根據教材，只注重講授微分方程的基本定義、解的存在唯一性等基本理論和一階或高階微分模型的基本解法，很少補充講授常見的微分方程模型的背景知識、如何分析模型、求解模型及模型的應用價值。事實上，許多的常微分方程模型在量子力學、社會關系學、醫學中傳染病、分子化學、金融經濟學及氣象學中應用非常廣泛。分析和講解這些實際問題的理論背景對于激發和培養學生學習常微分方程的興趣是至關重要的，使他們深刻意識到常微分方程模型在求解具體實際問題發揮非常重要的應用價值，從而培育學生的發現、分析和解決實際問題的能力，進一步激發他們的創造性。

第二，處理教材的教學內容方面不太合理。許多重要的定理（例如一階微分方程解的存在唯一性定理），任課教師在課堂上只簡復述一下定理的主要內容，然后簡單板書一下定理證明的五個步驟，沒有闡述清楚為什么要分五步來證明，也沒有著重強調它與微分方程組或高階微分方程解存在唯一性的相互關系；還有一些重要的基礎內容（例如，質點振動、第二宇宙速度計算等），許多任課教師一筆帶過或略講，這些內容恰恰體現常微分方程在物理學中的應用，學生可以用常微分方程相關知識來求解中學時學過的物理知識，簡單明了，從而激發學生學習常微分方程的興趣；此外，有些知識點（例如奇解、數值解等）雖然課程設置不作要求，不在常微分方程考試范圍內，任課老師就只字不提，然而這些知識點在研究生課程——《微分方程定性理論》及《微分方程數值解》中占有十分重要的位置。

第三，調動學生學習積極性方面不夠。當前在中國，大學生學習專業知識積極性不高是一種非常普遍的現象：課前很少有學生自覺預習，課后自動復習的學生少之又少，導致課堂上檢查預習和復習的效果很差；課堂上提問題的學生比較少，課后向老師請教的學生更少了，而在美國大學課堂上，有疑問學生可以直接向任課教師提問或者探討不同的觀點，或者利用隨身帶IPAD等電子設備查閱相關的參考文獻來驗證，課堂氣氛非常融洽；做作業也只完成教師指定的作業，大部分學生相互抄襲，很少有學生把課后所有作業都獨立完成，課程考試成績一般由期末考試和平時表現決定，而在美國，學生可以自由選擇課后作業，獨立完成，課程考試成績由期末考試、月考和平時表現決定。造成這種想象的原因有很多：監考制度不嚴，平時學習好的考試不一定得高分；就業壓力大，成績優秀的不一定能找到好工作；近幾年來我國高校的擴招，導致所錄取的大學生整體素質不高，學生接收消化知識的能力下降；最近社會涌現出一批低學歷的暴發戶，讓大學生認為創業更容易發揮自己的價值，感覺沒有考上大學的比考上大學的混得更好等等。主要原因是由任課教師的課堂教學的引導造成的，在教學過程中，從這一章節到另一章節，知識點銜接不好，學生不能發現它們之間的聯系，把握不好整個課程知識的整體框架，相關知識點之間的融會貫通的能力差，學完課程不能發現它的用處。

三、關于常微分方程課程教學改革的幾點建議

眾所周知，每一門課程都有它自己獨有的特點，常微分方程具有理論、實際和計算的鮮明特點。理論是指微分方程（組）解存在唯一性定理、穩定性、奇點、極限環、分支和混沌等，因為一般情況不能直接找到微分方程的（通）解，通常只能利用MATLAB等軟件得到其似近解，然而這些理論就是其數值計算的主要依據；實際就是指微分方程與自然社會聯系緊密，微分方程關系表達式就是描述自然社會中量與量之間的關聯；計算是指利用已知條件求出微分方程（組）的（通）解。顯然，常微分方程的教學改革不只是改變教學手段和方式，而依據其特點，調動學生的學習積極性，提高學生解決實際問題的能力，從而達到良好的實際效果的變革。因此，針對常微分方程課堂教學中出現的問題和矛盾，我們制定以下幾條措施。

第一，凸顯常微分方程的應用性。常微分方程作為高等師范院校數學與應用數學專業人才培養方案的核心課程，具有很強實際應用性。具體體現在：客觀實際中許多抽象數學理論主要通過建立微分方程模型來實現在其他學科的應用，比如著名牛頓運動定律、RLC電路、質點振動、Malthus人口模型、傳染病模型、化學動力學模型等都可以通過常微分方程來建立數學模型。首先，作為任課教師必須在課堂教學上向學生解釋這些微分方程模型的實際背景，如何重述實際問題，課堂上演示如何將問題轉化，從而建立相應的微分方程模型，接著引導學生利用所學的微分知識對已經建立的微分方程進行求解，然后根據問題的實際背景對所建立的模型進行修正和改善，從而建立合理而又客觀的數學模型，這樣既有利于提高學生的分析問題和解決問題能力，又激發學生的學習興趣，簡而言之，任課教師要不斷培育和增進學生的數學建模能力；其次，在布置課后作業時，任課教師要據學生的情況設置一些實用性、趣味性、開放性的習題，告訴學生完成作業的方式可以多種多樣，例如學生分組，一起討論、相互合作，共同完成作業，完成的時間很寬裕，這樣既調動了學生學習的積極性，又可以提高學生團隊合作能力；再次，有條件的教師鼓勵學生參與自己的科研立項項目，或者指導學生申報大學生研究性創新項目；最后，期末考試內容和形式也可以多樣化。

第二，整合與優化課堂教學內容。任課教師在講授常微分方程過程中，根據自己的教學對象，對教學內容進行整合與優化。首先，由于高階微分方程可以等價轉化為一階線性微分方程組，因此高階微分方程存在唯一性定理及其基本理論與一階線性微分方程組的相應內容非常相似，通過對比講授，它們的相同之處可以快速講過去，重點分析它們的不同的地方，這樣既可以在較少的授課時間內完成教學任務，緩解學生學習的壓力，又能增加學生的印象，從而真正地理解和掌握這兩部分內容。教師應從課外選出一些有代表性的習題，尤其是考研的試題作為例子進行講解，這樣授課的范圍不僅僅局限于教材，避免出現照本宣科的現象，提高學生的學習興趣，同時可以增強學生考研的信心。

第三，增強師生的互動性。在教學過程中真正充分發揮學生的主體作用，讓學生養成自主學習的習慣、培育敢于探索的精神是高等師范院校數學與應用數學專業常微分方程教學方法改革的核心。就像在美國大學課堂教學中，學生事先預習，先了解一些基本概念、基本問題，容易理解的知識點，在時間充裕的情況下可以讓學生在課堂上講解，有不同觀點的可以相互闡述，同時允許學生自己查找各種相似問題，在課堂與老師、同學們分享，這樣真正讓學生參與到教學過程中來，能夠充分調動學生學習積極性。另外，任課教師在講授例題時，從問題的研究背景、問題的引入到解決，處處設置疑問，留下伏筆，提出問題，盡可能激發學生的好奇心和求知欲，啟發和引導學生分析問題。總而言之，在例題解答過程中，學生參與討論，勇于發表自己的觀點，營造一個師生平等、有問有答的課堂環境，從而培養學生自主學習的好習慣，增強學生不怕困難、敢于鉆研、不斷探索問題的能力。

四、結束語

面向新世紀，為社會培養出更多理論知識扎實、專業知識過硬、實踐能力超強的應用技術型本科人才，每一個從事高等教育的人民教師，都應該及時轉變教學觀念，調整和優化教學內容，更新教學手段和考核方式，為制定與時俱進的課程體系貢獻自己的光和熱！

參考文獻：

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