密西根大學(xué)《抽象代數(shù)》課程設(shè)置探析

李瀏蘭++羅李平++陳少林++劉剛

摘要：本文對(duì)密西根大學(xué)數(shù)學(xué)系《抽象代數(shù)》課程的設(shè)置進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)其課程設(shè)置方案具有模塊化、層次性和針對(duì)性等優(yōu)點(diǎn)，為我們進(jìn)行教學(xué)改革提供了參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：抽象代數(shù)；課程設(shè)置；數(shù)學(xué)專業(yè)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）06-0056-02

密歇根大學(xué)（University of Michigan，簡稱密大）是美國歷史上最悠久的大學(xué)之一，在世界范圍內(nèi)享有極高的聲譽(yù)。密歇根大學(xué)自建校以來，在各學(xué)科領(lǐng)域中成就卓著并擁有巨大影響，被譽(yù)為“公立常春藤”，與加州大學(xué)伯克利分校以及威斯康星大學(xué)麥迪遜分校素有“公立大學(xué)典范”之稱，使得很多學(xué)生趨之若鶩。鑒于密大在美國以及在全世界教育中的地位，很多人對(duì)密大的教育進(jìn)行了研究，參見[1-3]，但是鮮有人研究密大具體某門課程的設(shè)置。《抽象代數(shù)》是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程，與拓?fù)洹⒎汉⒎Q為數(shù)學(xué)的新三基。因此，抽象代數(shù)是所有高校數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程。作者一直從事抽象代數(shù)的教學(xué)工作，深知很多學(xué)生對(duì)該門課程是望而生畏的，因此，非常關(guān)注各高校對(duì)該門課程的設(shè)置與教學(xué)情況。由于密大數(shù)學(xué)系在美國所有的大學(xué)中一直名列前茅，作者尤其關(guān)注密大數(shù)學(xué)系對(duì)該門課程的設(shè)置，總結(jié)其優(yōu)點(diǎn)如下，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)設(shè)置《抽象代數(shù)》課程提供參考依據(jù)。

一、模塊化

密大數(shù)學(xué)系為本科生提供了6種可供選擇的修課項(xiàng)目，分別是數(shù)學(xué)教學(xué)（teaching mathematics）、純粹數(shù)學(xué)（pure mathematics）、榮譽(yù)數(shù)學(xué)（honors mathematics）、數(shù)學(xué)科學(xué)（mathematical sciences）、金融風(fēng)險(xiǎn)管理（mathematics of finance and risk management）和精算（actuarial mathematics）。作為密大數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生，他們必須學(xué)習(xí)四年，雖然這六種修課項(xiàng)目有不同的要求和前提條件，但是基本的先決條件和所學(xué)的基礎(chǔ)課程是相同的，所以學(xué)生在大一和大二期間必須先學(xué)習(xí)這些基礎(chǔ)課程。在大二的最后階段，學(xué)生根據(jù)各自的學(xué)習(xí)情況和興趣愛好，通過咨詢系里的導(dǎo)師確定修課項(xiàng)目，大三即按照選定的修課方案學(xué)習(xí)。精算項(xiàng)目旨在幫助學(xué)生通過壽險(xiǎn)精算協(xié)會(huì)和精算師協(xié)會(huì)的考試，而風(fēng)險(xiǎn)管理項(xiàng)目又簡稱金融數(shù)學(xué)，旨在提供風(fēng)險(xiǎn)管理和金融的量化方面的教育培訓(xùn)。精算項(xiàng)目和風(fēng)險(xiǎn)管理項(xiàng)目所需要的金融工具主要來自于概率、統(tǒng)計(jì)和微分方程等領(lǐng)域，因此，這兩個(gè)項(xiàng)目不要求學(xué)生學(xué)習(xí)抽象代數(shù)課程。

數(shù)學(xué)教學(xué)項(xiàng)目致力于培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，除了必要的高等代數(shù)知識(shí)外，還要求學(xué)生在“數(shù)論”和“抽象代數(shù)”這兩門課程中任選一門作為必修課，如果學(xué)生選擇學(xué)習(xí)“抽象代數(shù)”，則他們可以選擇在課程312、412或493中任選一門修學(xué)（課程312、412、493見表1）。數(shù)學(xué)科學(xué)項(xiàng)目強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，旨在培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決某個(gè)領(lǐng)域的專業(yè)問題的能力，該項(xiàng)目又進(jìn)一步細(xì)分成八個(gè)專業(yè)方向：控制系統(tǒng)、數(shù)學(xué)物理、數(shù)學(xué)生物學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、離散和算法的方法、數(shù)值與應(yīng)用分析、運(yùn)籌與建模、概率方法。雖然這八個(gè)方向的具體專業(yè)要求不同，但是學(xué)生都必須學(xué)習(xí)代數(shù)，必須在“離散數(shù)學(xué)”和“抽象代數(shù)”課程中二選一作為必修課程，如果學(xué)生選擇學(xué)習(xí)“抽象代數(shù)”，則它們可以在課程312、412或493中任選一門學(xué)習(xí)。純粹數(shù)學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)格的邏輯推理能力，并使得學(xué)生接觸和掌握代數(shù)、分析、幾何、拓?fù)涞葦?shù)學(xué)分支的精髓。因此，該項(xiàng)目增加了數(shù)學(xué)的難度，抽象代數(shù)是必修課程，學(xué)生必須在412和493中任選一門。榮譽(yù)數(shù)學(xué)項(xiàng)目旨在培養(yǎng)學(xué)生從事數(shù)學(xué)科研的能力，為學(xué)生今后讀數(shù)學(xué)研究生做好準(zhǔn)備。該項(xiàng)目的專業(yè)課程由數(shù)學(xué)系的杰出教師采用小班授課，教學(xué)內(nèi)容涵蓋基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)容。除了標(biāo)準(zhǔn)課程外，該項(xiàng)目還會(huì)講解算法、密碼學(xué)、生物數(shù)學(xué)和金融數(shù)學(xué)等邊緣學(xué)科的最新進(jìn)展。成績優(yōu)異的學(xué)生可以學(xué)習(xí)研究生課程。因此，該項(xiàng)目對(duì)學(xué)生的要求最高，學(xué)習(xí)的難度最大，抽象代數(shù)是必修課程，學(xué)生必須學(xué)習(xí)課程493。

綜上所述，密大數(shù)學(xué)系提供了312、412和493等三個(gè)模塊的抽象代數(shù)課程，學(xué)生可根據(jù)修課項(xiàng)目的不同選擇對(duì)應(yīng)的模塊學(xué)習(xí)。

二、層次性

課程312、412和493都是抽象代數(shù)課程，它們有著所有代數(shù)類課程的共同目標(biāo)：讓學(xué)生接觸嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)語言，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯推理能力。但是，由于各自的側(cè)重點(diǎn)不同，所以課程312、412和493所需的基礎(chǔ)、開課時(shí)間、選取的教材、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容等都不盡相同。課程312，又名應(yīng)用近世代數(shù)，顧名思義，即側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生利用抽象代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，因此，學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容有：（1）集合與函數(shù)、關(guān)系與圖、環(huán)論、布爾代數(shù)、半群、群、格；（2）在開關(guān)線路設(shè)計(jì)、自動(dòng)化、編碼理論等方面的應(yīng)用。該課程采用的教材是Childs編的《A Concrete Introduction to Higher Algebra》，這本書通過整數(shù)和多項(xiàng)式等大家耳熟能詳?shù)睦右氕h(huán)和域等概念，并將一部分環(huán)和域的知識(shí)通過應(yīng)用來體現(xiàn)，可讀性強(qiáng)，且整本書中有900多個(gè)習(xí)題。所以，該課程最貼近實(shí)際，是這三門課程中難度系數(shù)最低的，學(xué)生只要學(xué)習(xí)過線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)就可以學(xué)習(xí)該課程。課程412與課程312相比，更加重視理論，要求學(xué)生掌握抽象代數(shù)的基本概念與方法，培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)能力，學(xué)習(xí)的內(nèi)容比課程312更抽象，難度系數(shù)更高。課程493是這三門課程中最抽象和最有難度的課程，旨在以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞较驅(qū)W生介紹群、環(huán)、域、模等代數(shù)結(jié)構(gòu)，強(qiáng)調(diào)概念和證明，講授的內(nèi)容幾乎是課程412的兩倍，講解的習(xí)題非常有挑戰(zhàn)性。因此，這三門抽象代數(shù)課程在難度上層層遞增，有著鮮明的層次性，具體見表1。

三、針對(duì)性

在密大數(shù)學(xué)系，要求學(xué)習(xí)抽象代數(shù)知識(shí)的修課項(xiàng)目有數(shù)學(xué)教學(xué)、純粹數(shù)學(xué)、榮譽(yù)數(shù)學(xué)（honors mathematics）和數(shù)學(xué)科學(xué)。選擇榮譽(yù)數(shù)學(xué)項(xiàng)目的學(xué)生基本都會(huì)讀研究生繼續(xù)深造，因此需要很強(qiáng)的理論知識(shí)，因而他們必須學(xué)習(xí)難度系數(shù)最高的課程493，為他們今后從事科研工作打好堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。純粹數(shù)學(xué)項(xiàng)目旨在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰土私鈹?shù)學(xué)的各個(gè)基本學(xué)科，因此必須學(xué)習(xí)抽象代數(shù)課程，但是學(xué)生可以根據(jù)自己的情況在難度系數(shù)有差別的課程412和493中任選一門。數(shù)學(xué)教學(xué)項(xiàng)目要求學(xué)生掌握一定的數(shù)論知識(shí)，因此學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇學(xué)習(xí)“數(shù)論”或“抽象代數(shù)”，如果學(xué)生選擇學(xué)習(xí)“抽象代數(shù)”，則他們可以選擇在課程312、412或493中任選一門學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)科學(xué)項(xiàng)目強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，偏重應(yīng)用，學(xué)生可以選擇“離散數(shù)學(xué)”或“抽象代數(shù)”，如果選擇了“抽象代數(shù)”，他們同樣可以在課程312、412或493中任選一門學(xué)習(xí)。這樣的設(shè)置方式，充分考慮了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力的差異性，體現(xiàn)了因材施教的教育理念，有著很強(qiáng)的針對(duì)性。

區(qū)區(qū)一門課程卻細(xì)分成三種選課方案，這些方案在難度上層層遞增，兼顧了各個(gè)層面的學(xué)生，使學(xué)生能根據(jù)自己的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)目的選擇合適的方案，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為本的人文精神，值得我們學(xué)習(xí)與深思，為我們進(jìn)行教學(xué)改革提供了思路。

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