含非線性邊界梁結構頻響特征的實驗研究

第一作者 趙環迪 男，碩士生，1987年生

通信作者 陳力奮 女，博士，副教授，1966年生

郵箱：lfchen2@fudan.edu.cn

含非線性邊界梁結構頻響特征的實驗研究

趙環迪，王珺，陳力奮

(復旦大學 力學與工程科學系，上海200433)

摘要：利用實驗方法研究含非線性邊界的梁結構頻響特征。實驗對象由一根矩形截面的主梁和二片與之垂直的片梁構成-T字型結構，通過在片梁兩端墊放不同厚度的鋼尺，使主梁的一端形成不同的幾何非線性約束邊界，片梁不同程度的預變形改變了主梁靜平衡點的位置。實驗結果發現，預變形和外激勵幅值對系統的非線性頻響特征影響顯著，隨著預變形和外激勵幅值的變化，主梁的頻響特征呈現出軟特性、硬特性和線性特性之間復雜的演變過程。進一步的理論分析表明，預變形的存在使得系統的動力學控制方程同時含有平方和立方非線性，數值計算的結果與上述實驗現象相吻合。實驗研究和數值計算的結果，宏觀上揭示了幾何非線性約束邊界中的預變形對梁結構頻響特征的影響規律。

關鍵詞：非線性邊界；預變形；頻響特征；實驗研究

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11172067)

收稿日期：2013-11-29修改稿收到日期：2014-02-20

中圖分類號:O322文獻標志碼： A

Tests for frequency response features of a beam structure under nonlinear boundaries

ZHAOHuan-di,WANGJun,CHENLi-fen(Department of Mechanics and Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China)

Abstract:Tests for frequency response features of a beam structure under nonliear boundaries were conducted here. The test rig consisted of a linear cantilever main beam with a rectangular cross-section and two thin identical sheet beams connected at the main beam's free end and being perpendicular to the main beam to form a T-type structure. The different nonlinear supports at the one end of the main beam were formed by inserting steel rulers with different thicknesses into the ends of the sheet beams. The different pre-deformation levels of the sheet beams change the main beam’s equilibrium position. The test results showed that with the variation of pre-deformation and external excitation amplitude, the frequency response features of the main beam reveal a complex evolution process among soft characteristic, hard one and linear one. The further theoretical analysis showed that the pre-deformation makes the beam’s dynamic governing equations contain square and cubic nonliear terms. The results of numerical simulation agreed well with those of tests, they demonstrated that the pre-defoemation and external excitation amplitude have a significant effect on the beam’s frequency response features.

Key words: nonlinear boundary; pre-deformation; frequency response features; experimental study

非線性因素存在于大量的工程結構中，如接觸碰撞中的間隙、干摩擦，材料彈塑性、構件大變形等，這些非線性因素的存在會使得結構在較小的動態載荷下產生線性系統所沒有的現象，如分岔、混沌、超(次)諧波共振、頻率漂移和跳躍現象等。為使系統和產品的動態設計、加工、運行和控制滿足日益提高的運行速度和精度需求，需要深入分析非線性對系統動力學的影響。

工程結構中大量的連接件和邊界是非線性的[1-3]，這些非線性元件除了受動態激勵外，還常常受到其他載荷，如重力、裝配缺陷等引起的預載，使得結構表現出非常復雜的的動態響應[4]，其中最為典型的頻域特征是隨著激勵力的增加而產生“頻率漂移”和“跳躍”現象。在復雜工況下，由過載引起的頻漂將會導致非常嚴重的后果，已引起工程技術人員的重點關注。

梁結構在工程中有著廣泛的運用，特別是細長梁，在受到外界激勵時，容易發生大轉動和大變形的非線性現象。近年來，非線性動力學理論和方法正從低維向高維乃至無窮維發展，其規模和難度不斷提高，而實驗研究同樣具有重要的價值，可以從宏觀上展示非線性現象的存在[5]。梁的非線性振動實驗研究可以追溯到19世紀70年代，其中較有代表性的有Moon等[6]利用鐵磁梁在兩塊磁鐵間的運動，首次觀察到了奇怪吸引子的存在，而后又發現了次諧波共振和混沌現象；采用帶有質量塊的L型梁結構，Haddow等[7-8]觀察到了主共振激勵下結構一二階模態的非線性周期運動，通過參數的調節，發現了模態耦合現象，并首次驗證了飽和現象的存在；陳予恕等[9]采用受縱向激勵的梁結構對1/2亞諧分岔特性進行了實驗研究，得出了整個參數平面上具有不同拓撲結構的分岔圖；Fujino等[10]設計了三自由度的懸索梁結構，在觀察到并驗證了內共振和飽和現象的同時，還發現了長時間歷程中雙穩態現象的存在；近十年來，不斷地有關于實驗結果很好地驗證了非線性理論的報道[11-13]。

梁結構的非線性實驗研究成果對理論上發現的復雜動力學行為給出了直觀的解釋，為進一步探究實際結構的非線性振動本質，需進一步從物理或結構如對稱性、密度分布、慣性力或預變形等出發，研究這些因素對結構非線性響應特征的影響規律。Royston等[14]進行了含有靜載荷的局部非線性結構在周期激勵下響應特征的實驗和仿真研究，仿真結果表明由于靜載荷的存在改變了系統的靜平衡位置，從而產生不對稱的非線性剛度，導致系統在一定的靜載荷下首先呈現剛度的軟特性，含非線性約束支撐的簡支梁實驗也驗證了這一結論；馮志華等[15]通過對受軸向基礎激勵懸臂梁非線性動力學的建模和分析，表明梁的非線性慣性項具有軟特性效應，而梁的非線性幾何項具有硬特性效應；衛洪濤等研究了套筒連接結構非線性對梁頻漂的影響，表明帶預緊力時的間隙對梁頻漂的影響呈現軟-硬效果，這一現象與特定航天器結構的實驗和分析結果一致；王珺等[16]研究了預變形對非線性結構響應特征的影響，數值計算結果顯示出隨著預變形的逐漸增大，非線性結構頻響特征呈現從硬特性向軟特性的轉變，并求出了轉變過程的臨界變形；而隨著外激勵幅值的增大，則是從軟特性向硬特性轉變。上述研究成果多偏重于理論分析和仿真計算，較少見到利用實驗方法研究物理或幾何因素對結構非線性振動特性的影響。

針對含非線性邊界梁結構的頻響特征，主要利用實驗方法研究了非線性約束中的預變形對主共振下梁的頻響特性的影響。實驗對象由一根矩形截面的主梁和二片與之垂直的片梁構成-T字型結構[17]，通過在片梁兩端墊放不同厚度的鋼尺，使主梁的一端形成不同的幾何非線性約束邊界。片梁不同程度的預變形改變了主梁靜平衡點的位置，理論上使得系統的動力學控制方程同時含有平方和立方非線性。本實驗研究和數值計算結果均表明，隨著預變形和外激勵幅值的變化，主梁的頻響特征呈現出軟、硬以及線性特性之間復雜的演變過程。

1實驗裝置及方法

1.1實驗系統

實驗系統由試件、實驗平臺、激振器、功放、數據控制采集系統、加速度和力傳感器以及電荷放大器組成。試件為一矩形截面主梁，一端用壓塊固定，另一端與兩片薄梁用一個M5的螺栓(12.9級內六角螺絲，配合彈簧墊圈和標準平墊圈使用)與自鎖螺帽連接(見圖1)。

圖1　實驗系統 Fig.1 Expeximental system

DP控制采集儀集成了Signalcalc430動態信號分析儀和Signalcalc550動態控制儀，功率放大器型號為YE5872，激振器最大激振力為200 N，滿足實驗要求，數據信號控制采集裝置(見圖2)。圖3所示為實驗系統結構示意圖。這里采用的是力幅恒定的正弦掃頻實驗。

圖2　數據信號控制采集裝置 Fig.2 Setup of signal acquisition

圖3　實驗系統結構示意圖 Fig.3 Schematic diagram of experimental system

1.2試件參數與測點布置

矩形截面的主梁經過先鑄造后調質處理，使其強度、塑性和韌性得到很大程度的調整，具有良好的綜合機械性能，兩個片梁采用線切割加工而成，滿足實驗精度要求。試件的幾何參數(見表1)。

表1　幾何參數

本實驗采用的是四通道的振動控制采集儀，其中一通道連接力傳感器，其它三個通道連接加速度傳感器，傳感器放置的位置(見圖4)。

圖4　實驗測點位置 Fig.4 Observation location on the beam

1.3實驗方法

主要通過改變預變形、激勵力幅值的大小和不同的掃描方式，研究預變形對非線性結構頻響特征的影響。主梁的靜平衡位置使兩片梁基本保持水平位置；(見圖5(a))采用在片梁左右兩端壓塊處逐一墊放厚度為0.7mm的鋼尺，使片梁產生一定的彎曲靜變形，(見圖5(b))。

圖5　改變預變形的實驗方法 Fig.5 Experimental Study with different pre-deformation

對以下各種工況進行掃頻實驗：

(1) 墊放的鋼尺厚度分別為： 0.0、0.7 mm、1.4 mm、2.1 mm、2.8 mm、3.5 mm、4.2 mm、4.9 mm、5.6 mm、6.3 mm和7 mm共十一個不同位置；

(2) 每個位置下，進行激勵力幅值為0.05～2 N范圍內力幅恒定的正弦掃頻；

(3)每種工況下，進行從低到高和從高到低的掃頻實驗，掃描方式為線性掃頻，頻率間隔為0.1Hz/s。

實驗中發現，在相同實驗條件下，不墊鋼尺(0.0 mm處)和墊2片鋼尺(1.4 mm處)的頻響曲線差異較小；而在墊1片鋼尺(0.7 mm處)時的峰值位置頻率最低，由此可以判定系統的動平衡點在0.7 mm位置附近。將動靜平衡點的位移差定義為結構的預變形x0，(見圖5(b))。由此可知，實驗中的十一個不同位置分別對應的預變形為：

x0=-0.7 /0.0 /0.7 /1.4 /2.1 /2.8

/3.5 /4.2 /4.9 /5.6 /6.3(單位：mm)

2實驗結果及分析

由于三個加速度傳感器采集的信號所顯示的第一階固有頻率均相同，所以以下均采用端點處位移頻響數據。

針對分別給定的十一個預變形位置，T字型梁結構第一階固有頻率附近處的位移頻響曲線隨激勵力幅值的變化過程(見圖6)，其中包括圖6(a)從低到高；圖6(b)從高到低的兩種掃頻方式。

當激勵力幅值較小(F≤1.0 N)時，位移頻響相對穩定，記錄結構峰值位置的頻率點，則可得結構一階固有頻率值隨預變形和外激勵幅值的變化規律(見圖7)。

從圖6和圖7可知，隨著預變形大小的變化，結構的頻響特征有下述特點：

(1) 預變形x0接近于零時，結構的一階固有頻率值基本隨外激勵幅值的增加而增大，如圖6的(1)、(2)和(3)所示，位移頻響總體呈硬彈簧特征；

(2) 預變形x0=±0.7 mm時，盡管外激勵幅值的分布不同，但結構的頻響振動特性非常接近，尤其是在較小的外激勵幅值下(見圖7)，表明預變形的正負對結構振動特征影響較小；

(3) 當預變形x0=3.5 mm時，結構的一階固有頻率值隨外激勵幅值的增加而減小(見圖6的(7))，位移頻響總體呈軟彈簧特征。

取激勵力幅值F=0.5N時的實測數據，對不同預變形下結構的位移頻響曲線進行了比較(見圖8)。不難發現，對于相同的外激勵幅值，由于預變形的不同，主梁結構呈現軟、硬以及線性等完全不同的剛度特性。

圖6　不同預變形位置處，位移頻響隨激勵力幅值的變化過程 Fig.6 Frequency response of structure with different pre-deformation

圖7　同一預變形位置下，激勵力與一階固有頻率的關系 Fig.7 Relation between excitation force and natural frequency (with same pre-deformation)

圖8　激勵力幅值F=0.5 N時不同預變形下結構頻響特征比較 Fig.8 FRF comparison with different pre-deformation under excitation power F=0.5 N

3含預變形結構的數值分析

實驗研究結果表明，預變形導致含非線性邊界梁結構的頻響特征呈現出軟、硬特性和線性之間復雜的演變過程。為進一步闡明預變形的影響機理，本節進行理論分析和數值計算。

考慮圖9所示的單自由度質量-阻尼-彈簧系統，設彈簧大變形產生的非線性模型為：

F=-kx-k*x3

(1)

式中：k為線性剛度系數，k*為立方剛度系數；負號表示力的方向與變形x方向相反。

圖9　含非線性彈簧的單自由度質量—阻尼—彈簧系統 Fig.9 1-degree-of-freedom spring-damper system with nonlinear spring

考慮矩形截面主梁承受預載荷，則靜平衡狀態時彈簧存在預變形x0，此時彈簧對m的作用力為：

(2)

當m相對靜平衡位置產生相對位移Δx時，彈簧作用力的增量為：

3k*x0Δxx2-k*Δxx3

(3)

3k*x0Δxx2+k*Δxx3=P(t)

(4)

可知，結構的線性頻率為(Hz)：

(5)

顯然與預變形x0相關。

當預變形x0=0時，結構剛度為立方非線性，當k*>0時將呈現剛度的硬特性；當存在預變形即x0≠0時，Δxx的二次項系數非零，隨著Δxx的增加，無論k*正負都將首先體現剛度的軟特性[18]。

預變形x0的計算范圍為0～10 mm，采樣間隔Δxx0=0.1 mm；計算中激勵力幅值F的變化范圍為2～16 N，采樣間隔ΔxF=0.1 N；計算掃頻范圍f為20～120 Hz，遞歸細分時設定間隔下限Δxfmin=0.1Hz。

由此，在給定的范圍內，得到了全參數域上含幾何非線性單自由度結構的頻響特征隨預變形和外激勵幅值的變化規律。圖10給出了當外激勵力幅值F=14 N時，掃頻過程中的跳躍點[16]位置隨預變形的變化規律。從中不難發現，隨著預變形的不斷加大，結構由硬特性(不穩定頻段逐步變窄)轉化為軟特性(不穩定頻段由窄變寬再變窄)；在一定的預變形位置(圖10中x0約在4.0～6.0 mm)處，頻響特性處于軟硬特性的轉變過程。

圖10　跳躍點位置隨預變形的變化(F=14 N) Fig.10 The jump point with the pre-deformation while F=14 N

圖11　不同預變形位置處，位移頻響隨激勵力幅值變化的計算結果 Fig.11 Calculated frequency response of 1DOF structure with different pre-deformation

為體現結構頻響特征的演變過程，以下給出十個預變形位置：

x0=0.0 /1.0 /2.0 /3.0/4.0

/5.0 /6.0 /7.0/8.0/9.0(單位：mm)

結構固有頻率附近處的位移頻響曲線隨激勵力幅值的變化過程(見圖11)，其中包括：圖11(a)從低到高；圖11(b)從高到低的兩種模擬掃頻計算結果。固有頻率隨預變形和外激勵幅值的變化規律(見圖12)。

圖12　固有頻率隨激勵力幅值變化的計算結果 Fig.12 Relation between excitation force and natural frequency (Calculated)

由圖11和圖12可知，隨著預變形大小的變化，結構的頻響特征有下述特點：

(1) 預變形較小時，結構的固有頻率基本隨外激勵幅值的增加而增大，如圖11的(1)～(3)所示，位移頻響總體呈硬彈簧特征；

(2) 在一定的預變形下，當外激勵幅值較小時結構開始出現軟彈簧特征，而隨著激勵力幅值的增加又轉而呈現硬特性，如圖11的(4)～(7)所示；其中還會產生超諧波共振的非線性現象。

(3) 當預變形較大時，在所計算外激勵幅值范圍內，結構的位移頻響總體呈軟彈簧特征。

圖13　激勵力幅值F=14 N時 不同預變形下結構頻響特征比較 Fig.13 FRF comparison with different pre-deformation under excitation power F=14 N (Calculated)

為進一步說明上述頻響特征，提取激勵力幅值F=14 N時的計算數據，對上述十個預變形下結構的位移頻響曲線進行了比較(見圖13)。

4結論

主要用實驗方法研究了非線性邊界約束中的預變形對梁結構頻響特征的影響。結果表明：

(1) 預變形接近于零時位移頻響總體呈硬彈簧特征；

(2) 預變形的正負對結構頻響特征影響較小；

(3) 當結構存在預變形時，位移頻響隨外激勵幅值的變化，總體呈先軟后硬的剛度特征；

(4) 在同樣大小的外激勵幅值下，隨著預變形的增加，主梁結構則呈現先硬后軟完全不同的剛度特性。數值計算結果也印證了上述結論的合理性。

從實驗和數值計算結果可以發現，預變形導致主梁結構產生明顯的“跳躍”和“頻率漂移”現象，且軟、硬剛度特性在同樣的外激勵幅值下均有可能。數值計算結果進一步可以發現更為豐富的非線性現象，如超諧波共振。本研究結果從宏觀上揭示了幾何非線性約束邊界中的預變形對梁結構頻響特征的影響規律。

由于數值計算采用的是單自由度系統，計算結果僅從定性上說明實驗現象的合理性。這里以主共振下頻域響應為主要研究對象，時域響應特征的研究成果將另文發表。

參 考 文 獻

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