透視中國古代數學中的微積分思想

弓月

刻畫靜態現象的數與刻畫動態現象的函數都是數學中非常重要的概念.隨著對函數研究的不斷深化，產生了微積分，它是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑.

翻閱微積分教材與介紹微積分發展史的著述，容易發現，大多數定理的前面都冠以某某外國人的名字，鮮有反映中華民族對于微積分的形成與發展作出貢獻的內容.我國有著光輝燦爛的數學史，事實上中國古代數學中也同樣蘊含著初步的微積分思想.

微積分的產生一般分為三個階段：極限概念，求積的無限小方法，積分與微分的互逆關系.最后一階段是由牛頓、萊布尼茲各自獨立完成的.對于前兩個階段的工作，歐洲的大批數學家甚至可一直追溯到古希臘的阿基米德都做出過不同的貢獻.在這方面，古代中國并不遜色于西方.

如圓周率方面的研究成就是舉世公認的.劉徽利用圓內接正多邊形的邊數越多，正多邊形的面積越接近于圓面積的原理，創立了一個符合“極限存在準則”的不等式.他計算了圓內接正3072邊形面積，得到π≈3927/1205化成小數是3.1416.祖沖之在此基礎上進一步精密地推算到3.1415926<π<3.1415927的結果，成為在世界上領先1000多年的光輝成就.這里所用的方法就是舉世聞名的割圓術.劉徽說：“割之彌細，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這其中正體現了“以直代曲、無限逼近”的微積分的核心思想.

學習立體幾何時，我們都知道球的體積公式v球=4/3πR?.中國古代將球稱為立圓.祖暅所用的開立圓術是與求球體積有關的一種方法.在這一方法中，祖暅指出“夫迭冪成立積，緣冪勢既同，則積不容異.”用現在的話講，就是“夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.”這里的“冪勢既同，則積不容異”與積分概念的核心思想是一致的.它比卡瓦列里原理要早1200多年.

數學是文化的一部分，我國古代數學的微積分思想同樣也在哲學、文學等中折射出來.莊子在《天下篇》中講：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把這句話和“求數列an=1/2n當n→∞時的極限”聯系起來的話，無不為古人深邃的極限思想而折服.

老子在《道德經》中說：“合抱之木，生于毫末；九層之臺，起于累土；千里之行，始于足下.”比喻事情的成功是由小到大逐漸積累的.如果我們單從比喻的本身來說明定積分的微元法是再合適不過的了，這里面蘊涵著深刻的微積分思想.

立足傳統文化，將會使我們收獲人類文明成果的行程變得更有意義.