單折太陽翼支承點分布優化分析

李鄭發， 曹登慶， 張迎春

(1.深圳航天科技創新技術研究院，廣東 深圳　518057；2.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱　150001； 3. 深圳航天東方紅海特衛星有限公司，廣東 深圳　518054)

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單折太陽翼支承點分布優化分析

李鄭發1,2,3， 曹登慶2， 張迎春1,3

(1.深圳航天科技創新技術研究院，廣東 深圳518057；2.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱150001； 3. 深圳航天東方紅海特衛星有限公司，廣東 深圳518054)

折疊式太陽翼結構成為現代航天器設計中最為常見的一種形式。它即能滿足航天器能源的需求又能適應搭載空間的約束。在發射階段，太陽翼通過壓緊機構折疊于航天器本體側壁上，當航天器入軌后，壓緊機構釋放后太陽翼展到預定平面內。單折太陽翼相比多折疊太陽翼具有高可靠性的優點，隨著航天技術的發展，航天器的小型化和能源利用效率的提高，單折太陽翼結構形式在微小衛星構型設計中將得到廣泛應用。太陽翼結構是航天器上最為關鍵的結構之一，在發射階段其力學環境十分惡劣，使得人們對太陽翼結構的動力學特性尤為關注[1-2]，而太陽翼支承點的位置對其固有特性的影響十分敏感。

典型的小衛星單折太陽翼通常由兩個鉸鏈和兩個壓緊點與衛星本體連接，其兩個鉸鏈位于太陽翼基板一邊，而壓緊點通常位于基板內，是典型的四點彈性支承約束下的矩形板結構形式。多年來，國內外學者對點支承板結構系統的自由振動問題開展了相關研究：Gorman[3]基于薄板振動問題的經典解析解，采用疊加方法求解四點對稱支承矩形板的振動問題。Narita等[4]利用雙冪級數試函數，并根據Ritz法分析了對稱四點支承正交異性矩形板、帶內部點支承正交異性懸臂板和任意多點支承正交異性橢圓板的自由振動問題。許琪樓[5]將四角點支承四邊自由矩形板振形函數表達式由四邊自由板所固有的基本振形和角點力所激發的附加振型組成,對四角點支承四邊自由矩形板自振進行了分析。Lopatin等[6]由哈密爾頓原理推導了四邊自由中心單點支承矩形板的振動方程，并基于廣義Galerkin法獲得較為精確的系統固有頻率。Saadatpour等[7]也基于Galerkin法研究了一般形狀的矩形板含有內部點支承或線支承的振動特性。Bapat等[8]采用柔度函數法分析了位于板自由邊界和內部多點支承的矩形板的振動。該方法是在自由邊界或內部支點處添加一個虛擬的彈性約束條件，并構造一個柔度函數滿足其在約束條件處位移邊界條件。王硯等[9]采用無網格Galerkin法分析了四邊簡支板的固有頻率與點彈性支承的剛性系數和支承位置之間關系,并分析了點彈性支承的剛性系數和支承位置對矩形薄板橫向振動特性的影響。Wang等[10]利用Rayleigh-Ritz法研究了一條邊和單點約束下矩形板的固有頻率，并對支承點位置對固有頻率的影響開展討論。Huang等[11]利用有限層法對內部含彈性點支承矩形薄板橫向振動問題開展了相關研究。此外，對點支承矩形薄板振動特性的其它相關研究,可參閱相關文獻[12-18]。

從上述研究工作中可以看出沒有針對典型的單折四點支承太陽翼結構振動特性的研究報道。本文主要針對典型小衛星單折太陽翼結構的振動特性及支承點的分布對固有特性的影響進行深入分析。主要根據能量守恒原理和Rayleigh-Ritz理論推導出單折太陽翼的橫向振動方程和頻率方程。通過數值分析詳細地研究了壓緊點在不同位置對其基頻影響的變化規律，以基頻最大化為優化目標對其支承點的分布進行優化分析，并將理論分析結果與有限元分析結果進行比較和驗證。

1折疊翼振動方程的建立

圖1　點支承太陽翼結構示意圖Fig.1 Thesolar panel supported with distributed point supports

多數情況下，航天器在構型布局時優優先考慮太陽翼壓緊點和鉸鏈安裝位置的設計，其原因在于太陽翼面積相對較大，且支承點數量要盡量少，而支承點位置對太陽翼固有特性的影響十分敏感。圖1給出的是典型四點支承單折矩形太陽翼折疊狀態示意圖，太陽翼通過兩個根部鉸鏈和兩個壓緊桿與衛星本體連接。

不同航天器其根部鉸鏈和壓緊桿以及與航天器結構連接處對太陽翼的彈性約束都完全不同。航天器初步設計時在對如圖1所示的四點支承太陽翼固有特性分析時可以不考慮壓緊桿和鉸鏈對翼板的彈性約束，將其簡化如圖2所示的力學分析模型。假設矩形太陽翼板的邊長分別為a,b，厚度為h，其兩邊分別位于坐標軸上ξ,ζ,支承點分別位于A、B、D和C處,四邊處于自由狀態。其中A、B處為太陽翼鉸鏈的安裝位置，D和C為太陽翼壓緊點的位置。假設鉸鏈處的等效剛度為k1，壓緊點出的等效剛度為k2。

圖2　折疊太陽翼力學分析模型Fig.2 The analytical model of folding solar panels

當翼板橫向自由振動時，假設其撓度函數可以表示：

w(ξ,ζ,t)=W(ξ,ζ)sin(ωt)

(1)

式中：ω為振動角頻率，W(ξ,ζ)為板橫向振動形函數。

不考慮實際太陽翼結構上的太陽電池片和太陽翼基板復合材料的非均勻性等因素，將太陽翼簡化為均質各向同性材料的板結構。那么，翼板在橫向振動過程中的動能T和勢能U分別表示為：

(2)

(3)

(4)

為了便于分析,引入無量綱參數x=ξ/a、y=ζ/b。將式(1)代入(2)-(4)式整理得到太陽翼板振動的最大動能Tp-max和最大變形勢能Up-max，以及壓緊桿和鉸鏈等效彈簧的最大勢能Us-max為分別為：

(5)

(6)

(7)

式中：長寬比α=a/b，無量綱撓度函數為W(x,y)。

由能量守恒原理得到折疊太陽翼的振動方程為：

Us-max+Up-max-Tp-max=0

(8)

為了便于敘述令：

Π=Us-max+Up-max-Tp-max

(9)

2固有頻率方程的建立

當找到合適的撓度函數為W(x,y)(能夠滿足其位移邊界條件)，則由方程(8)就可以獲得系統的固有頻率。假設其撓度函數為如下形式：

(10)

式中,Amn為待定參數；Xm(x)和Yn(y)分別采用自由梁的振動本征函數[13]表示：

Xr=cosh(λrx)+cos(λrx)-

γrsinh(λrx)-γrsin(λrx)

(11)

Yr=cosh(λry)+cos(λry)-

γrsinh(λry)-γrsin(λry)

(12)

其中:r>2，式中參數λr、γr滿足如下關系式：

cosh(λrx)cos(λrx)=1

(13)

(14)

將振型函數(10)代入到方程(8)，由Rayleigh-Ritz法對待定系數Amn進行一階偏導得到如下方程：

(15)

把式(11)~式(14)代入到方程式(15)，并利用本征函數的正交性得到系統的頻率方程為：

(16)

式中：I為單位矩陣，Kmnij、Ks-mnij和η分別表示為：

(17)

(18)

η=ρhω2a4/D

(19)

(20)

(21)

式中：m,i=1,2,3,…,M；n,j=1,2,3,…N;r,t=0,1,2。

確定方程(10)振型函數W(x,y)中項數M、N后，通過方程(16)可以求得參數η，從而由式子(19)得到系統的固有頻率f：

(22)

3支承點分布優化分析

如圖1所示的典型四點支承單折矩形太陽翼，其四個支承點關于太陽翼板中心線l對稱，且A、B之間距離與C、D之間的距離相等。因此，當D點的位置確定后其余三點位置都已明確。為了快速獲得支承點D的最佳位置(即結構基頻最大支承點位置)，初步判斷最優支承點位置位于區域:0.5

圖3　參數η與支承點D位置關系Fig.3 The relationship of parameter(η)versus the support location(D)

圖4　參數η等值線分布圖Fig.4 The isoclines distribution of parameter η

從圖4可以看出，D點位于：{x=0.74,y=0.18}處(假定為O點)系統基頻頻率參數η取得最大值。其等值曲線圖表明，遠離O點的支承位置系統基頻逐漸減小，支承點處同一等值線上的系統基頻是相等，即除O點外系統處于相同頻率的支承點位置有無窮多個，其分布特點與等值線分布相同。

對該系統在不同長寬比條件下進行數值分析，但其支承點D均位于{x=0.74,y=0.18}處，其分析結果如圖5。從圖5可以看出長寬比α在1≤α≤2范圍內取值對系統參數η的影響很小，僅在227.5<η<229.5范圍內變化，如果取其中間值228.5來計算其頻率，引起的誤差僅在-0.21%~0.218%之間。因此，長寬比α的變化對系統的頻率影響很小，可以近似取值為228.5得到系統的最大基頻的近似計算公式為：

(23)

圖5　參數η與長寬比α關系Fig.5 Curves of parameter η versus side ratio α

為了驗證上述理論公式的有效性,選取4種不同長寬比的太陽翼結構將其理論計算結果fth(采用式(23)計算)和有限元分析結果fFEM進行比較，結果見表2所示。其相關參數見表1所示。其中有限元分析采用通用Patran&Nastran前后處理和求解軟件。采用4節點四邊形Bending Panel單元對整板進行網劃分，單元長度為0.03 m；采用表1中材料參數對單元屬性進行賦值；通過約束4個支承點處節點3個平動來模擬邊界條件。

從表2中可以看出其理論計算結果與有限分析結果相比較都偏大，但是其偏差僅在5%以內,能夠滿足絕大部分工程應用要求。其存在誤差的主要原因在于振型函數W(x,y)中項數取得較少，實際工程中，可以根據要求來適當選取振型函數中項數，從而達到需要的精度要求，此外該方法求解折疊太陽翼結構的一階固有頻率是一種近似求解方法而非精確解。

表1　矩形板參數

表2　基頻分析結果

4結論

對典型小衛星單折太陽翼結構的振動特性及支承點的分布位置對固有特性的影響進行了深入研究,獲得了單折太陽翼的頻率方程。當支承點D位置位于{x=0.74,y=0.18}處時系統的基頻最大,且矩形太陽翼的長寬比對系統最大基頻影響很小，僅在±0.22%以內。給出了便于近似求解系統最大基頻的式(23)，并通過算例分析表明該公式具有較好的工程應用精度。本文分析結果對太陽翼支承點位置的初步設計以及相關結構的初步設計具有十分重要應用價值。

參 考 文 獻

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第一作者 李鄭發 男，博士，高工，1983年8月生

摘要：支承點的分布對折疊太陽翼動力學特性有顯著影響。為了研究壓緊點分布對折疊太陽翼固有頻率的影響，以典型的單折點支承太陽翼為研究對象，根據能量守恒原理和Rayleigh-Ritz理論推導出點支承單折太陽翼的振動方程和頻率方程。研究了四點對稱支承太陽翼結構系統的固有動力學特性，并以基頻最大為優化目標對其支承點的分布進行優化分析。通過算例分析表明其理論計算結果與有限元分析結果具有較好的一致性。研究結果對太陽翼支承點分布的初步設計提供了理論分析依據。

關鍵詞：太陽翼；優化分析；Rayleigh-Ritz法；基頻；點支承

Optimization of supporting points distribution for single folding solar panels

LIZheng-fa1,2,3,CAODeng-qing2,ZHANGYing-chun1,3(1. Shenzhen Academy of Aerospace Technology, Shenzhen 518057, China;2. The School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;3. Shenzhen Aerospace Dongfanghong HT Satellite Ltd. CAST, Shenzhen 518054, China)

Abstract:The distribution of supporting points has a significant impact on dynamic characteristics of a folding solar panel. In order to study the effect of supporting points distribution on the fundamental frequency of folding solar panel, a typical single folding solar panel supported at four points was taken as the investigation object. Based on the energy conservation principle and Rayleigh-Ritz theory, a vibration equation and a frequency equation were established for analyzing the free vibration of folding solar panel with points support. The vibration characteristics of the folding solar panel symmetrically supported at four points were solved, and aiming at achieving the maximum fundamental frequency, the optimization of support points distribution was also discussed. The examples show the theoretical calculation results have good consistency with the results of the finite element analysis. The research results could provide a theoretical basis for the preliminary design of supporting points distribution for single folding solar panels.

Key words:solar panel; optimization analysis; Rayleigh-Ritz method; fundamental frequency; points support

中圖分類號:O326

文獻標志碼：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.029

收稿日期：2014-10-16修改稿收到日期：2014-12-18

基金項目：國家自然科學基金項目(91216106);國家重大基礎研究項目資助