善辟蹊徑，優化解題——例談必要條件在解題中的運用

筅江蘇省南通市通州灣三余中學　施春輝

善辟蹊徑，優化解題——例談必要條件在解題中的運用

筅江蘇省南通市通州灣三余中學施春輝

眾所周知，化歸與轉化思想是數學中重要的思想方法之一，也是高考重點考查的方法之一.而大多數考題或者是大家的解題習慣多是實施等價轉化，即尋找題目求解的充要條件，很少涉及不等價轉化.其實，在尋找充要條件即實施等價轉化有困難時，也可以先找出使結論成立的必要條件，然后再驗證其充分性即可.

一、善用必要條件求參數值

例1設a∈R，若x>0時，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=________.

解析：當x>0時，不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0恒成立的必要條件是當x=2時成立，即［2（a-1）-1］（22-2a-1）≥0，得（2a-3）2≤0.又（2a-3）2≥0，故（2a-3）2=0，解得a=（經檢驗，符合題意）.

點評：本例若按常規思路，機械地令f（x）=［（a-1）x-1］（x2-ax-1），把問題看作f（x）≥0在（0，+∞）上的恒成立問題，然后用解決恒成立問題的常規思路求解，過程煩瑣，難以繼續，甚至半途而廢，而利用必要條件縮小范圍，避免了不必要的討論，簡潔輕巧.

二、善用必要條件求參數的范圍

例2設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；

（Ⅱ）若坌x>0，f（x）≥0成立，求實數a的取值范圍.

解析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法一（參考答案）：函數f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），坌x>0都有f（x）≥0成立，等價于ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立.

（1）當x=1時，ln2≥0，則a∈R.

（2）當x>1時，因為x2-x>0，所以等價于+a≥ 0圳a≥圳max；令h（x）=x-ln（x+1），當x∈（0，+∞）時，h′（x）=1->0，h（x）在（0，+∞）上單調遞增，因此，當x∈（0，+∞）時，h（x）>h（0）=0，x-ln（x+1）>0，所以ln（x+1）1時，+∞），-∈（-∞，0），則只需a≥0.

（3）當00均有ln（x+1）

綜上可知：坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需取交集得0≤a≤1即可，故所求a的取值范圍是0≤a≤1.

點評：等價轉化尤其是分離參數轉化為函數最值一直是高考命題的一個落點，且圍繞著母函數ex≥x+1即x≥ln（x+1）的考題屢屢出現，如2010年全國卷高考理科第22題，2011年湖北卷高考理科第21題，2015年山東卷高考第21題等.所以針對這種趨勢，關于三步走法，有可能走不通了，尤其是導數等于零時方程的根不方便求解，后續的列表調查，得出結論就難以求解，這就需要咱們通過構造函數，多次求導，以達目標.訓練學生挖掘知識結合的深度與廣度，拓展學生思維，同時鍛煉學生知難而進、逢山開道、遇水搭橋的意志品質.

解法二（利用必要條件）：設函數f（x）=ln（x+1）+ a（x2-x），因為f（0）=0，所以要使坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增即可（求出范圍之后，要對這個范圍之外的取值進行分析驗證），于是只需坌x>0，f′（x）=+a（2x-1）≥0成立即可.

于是取交集得0≤a≤1.

又當a>1時，g（0）<0，x2>0，所以函數f（x）在（0，x2）單調遞減，而f（0）=0，則當x∈（0，x2）時，f（x）<0，不符合題意；（驗證的重要性）

當a<0時，設h（x）=x-ln（x+1），當x∈（0，+∞）時，h′（x）=1->0，h（x）在（0，+∞）上單調遞增，因此，當x∈（0，+∞）時，h（x）>h（0）=0，ln（x+1）1-時，ax2+（1-a）x< 0，此時（fx）<0，不符合題意.

綜上可知：坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需0≤a≤1即可，故所求a的取值范圍是0≤a≤1.

點評：此類問題一般從兩個方面進行：一是直接求解，對參數a進行討論，通過函數單調性，明確參數的范圍；二是分離參數，分離后再研究相應函數的性質.學生容易出錯的地方是：只根據f（0）=0和f（x）在（0，+∞）上單調遞增，求出a的取值范圍是0≤a≤1.殊不知f（x）在（0，+∞）上不單調遞增，也有f（x）≥0恒成立的情況出現，所以這樣解是不夠完備的，故這樣求出a的取值范圍之后必須再予以驗證其他范圍的a都不合適才行.

三、善用必要條件探求存在性問題

例3已知函數f（x）=x3+1-a）x2-3ax+b.

（1）求（fx）的單調區間；

（2）是否存在實數對（a，b），使得不等式-1≤（fx）≤1對x∈［0，］恒成立？若存在，試求出所有的實數對（a，b）；若不存在，請說明理由.

解析：（1）①當a=-1時，f（x）的遞增區間為（-∞，+∞），無遞減區間；

②當a>-1時，f（x）的遞增區間為（-∞，-1）和（a，+∞），遞減區間為（-1，a）；

③當a<-1時，f（x）的遞增區間為（-∞，a）和（-1，+∞），遞減區間為（a，-1）.

（注：也可由g（a）=a3+3a2-9a-6a+6+5=（a-1）（a2+4a-5-6）≤0得a≥1）

點評：本例第（2）問常規思路是分a≤0，0

（注：也可通過作出不等式組所表示的區域獲得答案）

以上幾道例題有一定難度，而善于利用必要條件，可以達到化繁為簡，化難為易，避免了分類討論，實現大題小做.因此，利用必要條件解題，可以縮小參數范圍，開闊解題思路，優化解題過程，提高數學素養，提升思維品質.F