數學有效課堂之三步曲——學懂·學會·省悟

☉江蘇省無錫市廣豐中學　秦　嶺

數學有效課堂之三步曲——學懂·學會·省悟

☉江蘇省無錫市廣豐中學秦嶺

一、引言

數學課堂教學的過程是否有效？可以通過學生學習水平的三個層次來考量.第一，課堂學習的內容學生是否聽懂？第二，知識的運用、技能的操作，學生是否學會？第三，也是最重要的一點，學生個體有否悟出知識發生、發展、應用的全過程及其呈現的規律？簡言之，有效的教學過程應該是學習主體從不懂到懂，懂到會，再從會到悟的漸進過程.

二、聽懂

何謂聽懂？聽懂并不是一種感覺，而是既能說出要點，首尾相接，又能理解其義.常聽一些學生說：“課上內容我聽懂了，但作業就是做不出來.”其實，這些學生并沒有真的聽懂，充其量也不過是似是而非的假懂.懂是什么？懂決不是死記硬背，即使某些內容被記住了，但仍有可能還是不懂.真正的聽懂，反映在兩個方面：一要看學生能否把概念、規律及知識性材料等用自己的語言清晰地表達出來，并能說出關鍵要點，這是懂的低級層次；二要看學生是否真的將知識理解了.那么怎樣教，學生才會聽懂呢？當教師準備的教學內容貼近學生的認知實際，教師的引導分析貼近學生的思維水平，學生才會聽懂.然而要做到這一點，需要教師不斷地去研究學生，琢磨學生，設法把教學過程中各個環節的細節都設計好、處理好.具體地說，就是我們的引課首先要從學生熟知的生活經驗或事實中導來，并通過去偽存真的集體診斷來抽象概括出數學的定義、公式、法則、定理等基礎知識，如果能充分利用實驗、動手、操作來幫助學生體會這些數學原理，那么，聽懂理解的效果一定會更好.實踐證明，在探究中學習數學是感悟數學思維方法最有效的手段.下面來看一個教學實例：

案例1已知三角形的三邊分別為a，b，c，且滿足a2c2-b2c2=a4b4，則此三角形是（）.（該題錯誤率極高）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

現摘錄師生互動片斷回放如下.

師：同學1，請你回答下列兩個問題：

（1）若a·b=0，則a，b必須滿足什么條件？

（2）若a2+b2=0，則a，b必須滿足什么條件？

生：（1）中a，b應該是有一個為0就可以了，即a=0或b=0.而（2）中必須a，b同時為0，即a=0并且b=0，完美的回答，不愧為數學課代表！

師：下面有誰愿意到黑板上來展示你的解題過程？

同學2板演：因為（a2-b2）c2=（a2-b2）（a2+b2），所以c2= a2+b2，故選擇A.

師：還有沒有不同解法？

同學3板演：因為a2c2-b2c2-a4+b4=0，所以（a2-b2）c2-（a2-b2）（a2+b2）=0，即（a2-b2）［c2-（a2+b2）］=0，所以a=b或c2=a2+b2.所以三角形是等腰三角形或直角三角形.

教師繼續提問，請大家比較黑板上的兩種做法，說說你的看法？同學3舉手發言：老師，我覺得同學2的問題出在a2-b2的去掉上.

師：為什么（a2-b2）不能去掉呢？同學3回答不出.

師：其他同學能不能幫助葛同學解釋一下呢？（一片茫然）

師：我們一起來仔細看看，同學2的（a2-b2）究竟是怎樣消失的？誰告訴老師，（a2-b2）是如何被去掉的？

有學生舉手回答：他在等式的兩邊都除以了（a2-b2），教師在學生回答的同時，書寫出來：利用紅色筆顯示一下兩邊的分母，學生有反應了，開始與同伴議論，并有學生舉手發言：兩邊除以（a2-b2）時分母的值是不能為0的，但在原來的式子里是可以等于0的，所以只能把它作為公因式提取，然后得到（a2-b2）［c2-（a2+b2）］=0，便可以解出兩種情況.

師：回答的很好，大家都聽懂了吧……

點評：作為教師如何判斷學生是否真懂也是一個很重要的問題，如果教師也跟著學生一樣不甚清楚，那就糟了.學生真懂的試金石是什么呢？就是看他們能否對數學概念、定理、公式、法則等各種似是而非的說法作出正確的判斷，并能說出所以然.若用題海戰術或許也能幫助學生建立條件反射，使學生應試獲得高分，但這樣做的結果必然削弱學生對數學學習的興趣，從而導致其學習能力的減弱，最終“促使學生可持續發展”的目標就成為一句空話.

三、學會

什么叫“會”？會就是在懂的基礎上能進行推理、分析、歸納、綜合，能獨立解決新情境下的同類問題.“會”是通過類型題的求解、實驗技能的訓練及思維方式的培養而主動習得要讓學生養成多角度思考問題的習慣，往往可以收到柳暗花明又一村的效果.教師在分析例題過程中，要指出哪些是關鍵詞，以便讓學生回頭看題目時能清晰地了解到教師示范解題的思路，從而起到幫助學生總結出一類問題的思考方法.至此，學生還沒有“學會”，因為學生要學會自主運用，還必須先內化教師的傳承.所以，當教師講完一道典型例題后，還需要用同類習題讓學生再獨立仿照做一次，并與教師的示范過程進行對比，從而初步內化為學生自己的解題方法，這種對應訓練，不應是機械地重復，而是在解題過程中自覺體會感悟思維過程中內在的邏輯聯系，就像記住行進中的路標一樣記住解題過程中的關鍵點.坦率地講：對“會”的理解，學生是不清晰的，需要我們在解題過程中同時滲透解題的思維方法.

案例2正方形.

師：前面我們學習了平行四邊形、矩形、菱形，今天我們來學習大家非常熟悉的四邊形——正方形，請同學們根據小學里學過的知識，畫一個你心目中的正方形.

生：學生隨后就畫出來了.

師：類比前面學過的平行四邊形、矩形、菱形，我們應該怎樣來研究正方形呢？

生：先給它定義，然后研究它的性質.

師：說得對！那么誰能來給正方形下一個確切的定義呢？

學生1發言：有一個角是直角的菱形是正方形.

師：這位同學說得對不對？每個同學對照你畫的圖形，是不是符合這樣的特征？

學生齊聲回答：是的.

師：好！這位同學給出了一個正方形的定義.還有沒有其他的定義呢？

學生2舉手發言：我認為有一組鄰邊相等的矩形也是正方形.

師：這位同學說得怎么樣？

學生齊聲：也對！

師：對！這位同學又給出了一種定義方式！還有嗎？

學生3：有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形.

師：大家認為這樣定義對不對？為什么？

學生4：對的，因為有一個角是直角的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，跟上面兩位同學其實是一樣的.

師：回答得非常棒！還有嗎？

學生5：四個角是直角且四條邊相等的四邊形是正方形.

這時，立馬又有一位同學舉手回答：其實只要一個四邊形既是矩形又是菱形就一定是正方形了，氣氛相當熱烈.

師：同學們真聰明！現在老師請大家打開課本，書上是怎樣定義正方形的，發現跟上面第三種定義一樣的.其實不同版本的教材定義的方式也不一樣，比如我們用的是華師大版教材，它就是用的上面第四種定義……

點評：發散學生的思維就是為學生自主探究服務的，從不同角度去定義正方形符合不同學生的認知要求，這樣，對正方形性質的學習就起到了聯想遷移的作用，學習效果必定良好.當然，要使學生確實“學會”，并不是一堂課就能解決的問題，通常還需要有一定量的訓練，練什么？練同類變式題.練多少為宜？數學課中例題、習題的選配是一項技巧性工作，每備一道題必須備好具有層次性的變式題3～4道，一是當作業用，二是矯正鞏固用，三是作為拓展提高用.但過多的練習訓練也只是起提高熟練程度的作用，對提高思維能力毫無幫助.因此把握好作業量這個度尤為重要，否則，既浪費了學生寶貴的學習時間，又增加了學生過多的課業負擔與心理壓力.這與我們老師的初愿是背道而馳的.

四、省悟

什么是省悟？省悟就是通過反思對事物規律有了本質的認識，具體地講，就是對數學的基本知識與技能有了深刻的理解與掌握.教師布置學生做適量的解題練習，其目的只有一個，那就是要讓學生發現并總結出解決某類問題的一般思維方法，并使學生學會舉一反三，能觸類旁通，這種狀態就稱為省悟.簡單的理解，“悟”就是指能運用知識主動遷移，并能解決某一類問題.

“悟”的產生與教師的選題訓練有密切的關系.在實際數學教學中如何選題是個大問題，（

）該選什么樣的習題給學生訓練？教師選題目是為了讓學生能從不同視角去提煉出對某類問題的解決方法，養成較為科學的解題習慣，最終是為了提高學生的思維能力、學習能力，為學生的終身學習奠定基礎.教學中應著力去幫助學生掌握解題的一般思維規律，學生才能以不變應萬變，立于不敗之地，學生才會學得愉快，考得滿意，同時當新情境下的問題呈現時，才能有一個良好的心態去從容應對，而不至于驚慌失措、手忙腳亂，敗下陣來.

五、對于有效課堂三步曲的思考

以上三步曲的設置應當是逐層遞進的，在數學課堂上只有優化了教學過程，關注了細節處理，對聽懂、學會、省悟有了深刻的認識，并在教師自己的課堂中不斷踐行，才能產生理想的課效，學生的發展也就在其中實現.

筆者始終認為，課的好壞不在乎教師在課上講了多少，是否精彩，而在于學生學到了多少；也不在于教師作業布置多少，而在于學生能收益多少？如果我們激發了學生學習的熱情、學習的興趣，調動了他們主動學習的積極性，那么課堂學習效果一定會倍增.我們都知道：快樂有趣的學習是學生成長的催化劑，而數學是一門能錘煉人們思維的工具學科，只有讓學生真切感受到學習數學的樂趣才會真正體現出數學教學的高效.