“形散而神不散”的數學復習——以蘇教版七下9.4乘法公式（第3課時）為例

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學　邵美琴

“形散而神不散”的數學復習——以蘇教版七下9.4乘法公式（第3課時）為例

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學邵美琴

蘇霍姆林斯基說過這么一句話：“多年的經驗使我們得出這樣的結論，可以把所有的教學方法歸納為兩類：一類是使學生初次感知知識和技能的方法；另一類是使知識得到進一步理解、發展和深化的方法.”“使學生初次感知知識和技能的方法”主要用于新授課，“使知識得到進一步理解、發展和深化的方法”更多地用于復習課上.由次我想到了復習需要注意的兩點：一是教學方法要因時因人而異；二是有時方法的掌握比知識的了解重要.

在我的觀念里，數學復習應該志趣高遠，定位在素養提升的高度上，追求一種融合的境界，所有的學生都能獲得一種能力的提升、心靈的探索與理性精神的養料.所以，“形散而神不散”應該是數學復習追求的一種境界.下面是經過指導的張家港市教育人才服務中心初中數學半脫產培訓學員借班級上的實踐研討課的一些教學片段，學生來自于普通農村初級中學.我們試圖實現數學教育的初衷：給學生一份讓生命靈動可愛的存在，一種讓思想理性成熟深刻的力量，引領學生追求生命成長的快樂.

一、教學過程

1.題組練習，回顧知識要點

自主計算下列各式，并寫出所利用的乘法公式，小組內先行交流：

（1）（x+2）（x-2）；（2）（2a+b）（b-2a）；（3）（a-3b）2；（4）（2a+b）（-2a-b）.

師：同學們剛才完成的4個計算題，老師通過巡視，發現（1）、（2）兩題的正確率比較高，你們使用了什么乘法公式？

生1：都使用了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

師：下面請諸位看一下這三位同學第（3）題的做法，請你當小老師給予評點.（實物投影出示下列解法）

①（a-3b）2=a2+9b2；②（a-3b）2=a2+3b2-6ab=a2+9b2-6ab；③（a-3b）2=a2-6ab+（3b）2=a2-6ab+9b2.

生2：第一個同學記錯了公式，漏了乘積項的兩倍，不是完全平方公式，而是平方和.

生3：第二個同學答案對了，但過程中有錯，可能是筆誤，3b是一個整體，要加括號.

師：你很善良，但又不失中肯地指出了問題，這種機智評價方式比較容易讓人接受.

生4：第三個同學完全正確，而且結果按a的降冪排列，很整齊.

師：確實，準確地記憶公式結構是正確使用公式的前提，而有序地排列不但是美觀的需要，也是保障記憶準確的法寶，那么完全平方公式的特點是什么？

生5：（a±b）2=a2±2ab+b2中是完全相同的兩個多項式相乘，展開后有三項，中間一項是乘積的兩倍，符號與括號內的中間符號保持一致.

師：再來看有同學第（4）題的做法，請你當小老師給予評點.（實物投影出示下列解法）

①原式=2a·（-2a）-2a·b+b·（-2a）-b·b=…=-4a2-4ab-b2；②原式=（2a+b）·［-（2a+b）］=-（2a+b）2=-（4a2+ 4ab+b2）=-4a2-4ab-b2.

生6：兩位同學都是對的，第一位沒有看出公式來，用了多項式乘以多項式做，中間多了合并同類項的環節.

生7：第二位同學對公式的結構很了解，數學感覺好，方法更靈活.

師：在沒有規定方法的前提下，能獨立解決問題，都是值得贊賞的，但能靈活地使用新知識更是一種能力的體現，有時會體現出更多的優越性.

點評：教師通過對學生進行的“題組自主練習”的巡視，有選擇性地選取了三位學生第（3）題的解題過程和兩位學生第（4）題的解題過程進行展示，明晰了應用乘法公式的條件和注意事項，促使現場生成的問題由學生現場及時自行解決，學生既復習了舊知（兩個乘法公式及變形練習），糾正了偏差（漏項、去括號時的“變號”易錯點），又鍛煉了數學語言的表達能力，而且生生間互相評價，增強了學生生命靈動可愛的存在感，突出了學生的主體地位和教師的適時引領作用，提高了數學課堂教學的效率.

2.探索交流，提升思維能力

［探索交流一］

例1（速算比賽）計算：（x+2）（x2+4）（x-2）.

（學生獨立計算，教師巡視）

生8（板演）：（x+2）（x2+4）（x-2）=（x3+4x+2x2+8）（x-2）.（后面沒有寫完）

生9（板演）：原題=（x+2）（x-2）（x2+4）=（x2-4）（x2+4）=x4-16.

師：請生9講解自己的思維過程、解題方法和依據.

生9：我先觀察到利用乘法交換律和結合律后，可以連續兩次使用平方差公式，所以比較簡單.

師：認真審題，觀察結構，調整順序，認清算理，巧用公式，常常能事半功倍地簡化代數式的運算.

變式1：計算：（x+2）（x2+4）（x-2）（x4+16）.

（這次學生快速地報出答案：x8-256，面露得意之色）

師：難不到大家了，是吧？請嘗試解決下一題，有初步想法的同學可以主動來板演.

變式2：計算：3（22+1）（24+1）（28+1）.

（學生作沉思狀，后有竊竊私語，生10面露喜色，奮筆疾書，快步登上講臺）

生10（板演）：原式=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22-12）（22+12）（24+14）（28+ 18）=216-1.

師：這位同學把3拆成（2+1）后又補了一個（2-1），從而創造了使用平方差公式的條件，相當巧妙，是一種創造性的思維.還有其他想法嗎？

生11：把它的前兩步擦去，把3直接拆成（4-1），也就是（22-1），那么原式=（22-12）（22+12）（24+14）（28+18）=216-1.

（多數學生先呈驚訝狀，后現豁然開朗景象，一聲情不自禁的“哇塞”，把由衷的佩服、贊賞之情表現得淋漓盡致.）

師：正是“山外有山，樓外樓”，同一個熟悉的3，在不同的場合派了不同的功用，但又殊途同歸，都利用平方差公式順利地達到了簡化數的運算的作用.

例2（速算比賽）計算：（3x+2）2（3x-2）2.

（有了前面的經驗，這次學生不再貿然動手，先進行觀察，快速完成了任務）

生12（板演）：原式=［（3x+2）（3x-2）］2=（9x2-4）2= 81x4-72x2+16.

師：我們如此運算的依據是什么？

生：先逆用（ab）n=an·bn，再用平方差和完全平方公式.

（學生信心滿滿，課堂漸入佳境）

點評：在課堂上讓學生展示的方式可以是豐富多樣的，針對教學的重點和學生易出錯的環節，這里采用了速算比賽和“板演”相結合的方式讓兩位學生展示，通過兩種方法的直觀比較，無論是從運算量的大小，還是結論的正確性來說，都給學生以強烈的印象，創造條件使用公式，選擇合理算法的思想植入也就水到渠成了，而兩個變式訓練的組合更是激發了學生的自信心和表現欲.我們知道，只有不斷創造著的人才是有鮮活生命特征的.因此，數學課堂就應該這樣：時而靜默，時而迸發，充滿著勃勃的生機，數學的簡約之美自然地流淌在學生的心田.我們看到，正因為有了速算比賽（1）及兩個變式訓練的充分思考、展示、交流及理解，速算比賽（2）的完成學生才得心應手，一蹴而就.所以說，適時的等待很有必要，教是為了不教，只有靈魂跟上，腳步才能輕盈，能力才會顯現.

［探索交流二］

師：剛才速算比賽（2）還有其他問題嗎？

生13：我先用了完全平方公式，發現有點煩，沒做下去.

師：有堅持下去的嗎？

生14（實物投影）：（3x+2）2（3x-2）2=（9x2+12x+4）·（9x2-12x+4）=（9x2+4）2-（12x）2=81x4+72x2+16-144x2= 81x4-72x2+16.

師：這位同學的基本功相當扎實，解題思路也很自然.其中關鍵的是：得到三項乘三項（9x2+12x+4）（9x2-12x+4）后，他看出了兩個相乘的括號中共有六項，其中9x2、+4是各自完全相同的兩個項，+12x、-12x是前面符號相反的兩個項，所以把（9x2+4）看作一個整體，就是平方差公式中的a，把（+12x）也當成一個整體，就是平方差公式中的b，由此構造了平方差公式，再利用混合運算法則，先把完全平方式展開，最后合并同類項.我們把條件變得更清晰些，請嘗試完成下面的任務，并理清思路.

例3計算：（m+n+4）（m+n-4）.

生15：其中m、+n是各自完全相同的兩個項，+4、-4是前面符號相反的兩個項，所以把（m+n）看作一個整體，就是平方差公式中的a，把（+4）也當成一個整體，就是平方差公式中的b，由此構造了平方差公式，所以（m+n+4）·（m+n-4）=（m+n）2-42=m2+2mn+n2-16.

師：看來完成得不錯.請你嘗試操作：在原題的六個項中改變一個項的符號，并且改變后能夠構造出可以用平方差公式來解決，這樣的題型有哪些？

（眾生思考、嘗試后，爭先恐后地沖上來板演，課堂氣氛異常活躍）

下面是學生呈現的四種結果：

（1）（m+n+4）（-m+n-4）=（n+m+4）（n-m-4）=…=n2-m2-8m-16；

（2）（m+n+4）（m-n-4）=…=m2-n2-8n-16；

（3）（-m+n+4）（m+n-4）=…=n2-m2+8m-16；

（4）（m-n+4）（m+n-4）=…=m2-n2+8n-16.

點評：看似熱鬧紛雜、穿梭上下的課堂，涌動的是勤于思考、勇于交流的積極狀態.第斯多惠說：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞.”因此，這一環節的評價主要由學生進行：識別正誤、修改糾錯、評判是否把情況考慮周全等.任何一個數學問題，它的教學功能是有限的，但其中蘊含的“理”，應當成為學數學更重要的價值所在.本題通過開放性的設計，由學生自己提出問題、解決問題，感受構造的巧妙性和數學的結構之美，體會有序思考的必要性，加深了對整體思想功用的認識，強烈地體驗了符號對于初中及以后數學學習的重要性，只改一個符號，就是全然不同的答案！同時也明白了一個道理：合作可以集思廣益，提高效率.這種在學習過程中的發現、歸納、調整才是學生自己的學習財富，才是今后在分析問題、解決問題中以不變應萬變的王道.授人以漁，讓學生在過程中發現方法，讓學生在過程中感悟思想，讓學生的思維深刻起來，讓學生的情感豐富起來.

3.感悟小結，追求生命成長

師：通過本節課的學習，諸位在知識層面、思想方法層面和互相合作交流層面都有哪些收獲？還有什么疑問？

（生答略）

師：在陌生中尋找熟悉的影子，這就是轉化；在雜亂中尋找潛在的規則，這就是構造；在多樣中尋找優美的簡潔，這就是優化；在交流中尋找突破，這就是成長！

二、教學啟示

數學復習紛繁復雜，不同的時間段有不同的復習要求，本節課是在學習了兩個乘法公式后的首節公式應用復習課，要求起點低，綜合度小，不同于整章的復習，更區別于初三的綜合復習，目標更單一，設計難度也更高，很容易變成習題訓練課，課堂顯得散亂且枯燥無味.

怎樣像語文中的散文一樣，把數學復習課上得“形散而神不散”，我認為可以從下面幾個方面來思考.

首先，數學復習需要把學生的需求放在第一位.“以學定教，教學相長”是新課改理念與傳統教育思想的結合，也是無數教師的追求.就其本質而言，“以學定教，教學相長”是真正意義上的“學”的主體地位回歸，所有的教都是為了學，心中有數學的靈魂，眼里有課堂的靈魂——學生，這兩顆靈魂碰撞，才能發出熠熠光輝，實現“學”的同時，也成就了“教”.

奧蘇伯爾說過：“影響學習的唯一重要的因素，就是學習者已經知道了什么，要探明這一點，并據此進行教學.”所以課的開始我們設計了一組“題組練習”，以探明學生在新授課中對新知識的掌握程度及還存在的缺陷漏洞，以有限的交流來增加對教學對象的認識，這對于“借班上課”的教師來說顯得尤其重要，是后繼教學順利進行的保障.同時也避免了常見的空洞文字公式復習的俗套，提高了數學課堂的實效性.

其次，數學復習必須遵循數學學習的規律.數學的育人本分，就是培養學生的良好思維習慣，發展學生的理性精神，追求數學課堂的真實.數學是一個慢中開悟、自然生成、不斷探索的過程.所以在探索交流環節力求樸素地以學生的現有知識儲備開展速算比賽，自然地逼近數學本質，以此獲得知識、擁有智慧.本節課摒棄了花哨的教學手段，教師只在關鍵處予以點撥，生生間、師生間思維的碰撞充滿了課堂.

關于對教材的處理，我們尊重教材，但不迷信教材.教材中原有三個例題、四個小題，我們舍去了一個混合運算的例題，因為在本課的例2中已涵蓋了這樣的內容.整個探索環節通過游戲加變式訓練，以問題串的形式呈現了出來，自然流暢，一氣呵成，給足了學生探索、交流的時間和空間，讓所有的學生都有所收獲.當然，對教材的處理要遵循一個基本原則：既不能任意拔高教學起點，也不能任意降低教學要求，一切要遵循數學學習的規律.

再次，數學復習需要精神感染，追求豐富多彩的數學味道.數學復習需要層層剝離、步步深入的嚴密推理，需要聯想翩翩的精確構造與抽象.數學語言表達彰顯氣質，數學文化素養散發氣質，數學審美升華氣質.數學語言，包括口頭常態語言和“板演”等書面語言，我們常常從課堂表現的合理性、機智性及數學的嚴密邏輯性幾個方面來評價學生的數學語言的表達水平.

最后，數學復習過程需要達成下列五個層面的目標.

第一，知識層面.學生對相應內容的基本知識點及常見的題型和應對策略都有比較系統的認識，能將知識橫向、縱向相結合，把零碎散亂的知識串起來，將它們綜合化、系統化，要達到全面掌握基礎知識、基礎方法，構建知識網絡，形成知識體系.

第二，能力層面.數學思想的教學，是提升學生數學能力的關鍵所在.在復習教學中要強化三個層次的思想方法，一是數學思想方法，如整體思想、數形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想等；二是基本的數學方法，如配方法、換元法、比較法等；三是科學思維方法與嚴謹的數學邏輯方法.啟發學生從思想方法的高度去學習數學，研究數學問題，轉變學生數學學習的觀念，提升審美能力，培養學生具有數學意識，熟練應用數學質疑、探究、解決實際問題的能力.

第三，方法層面.指導與促進學生學會數學積累、培養數感，提升思維品質，養成自學數學、自我歸納的習慣，為終生發展打好基礎.養成獨立思考、質疑探究的習慣，增強思維的嚴密性、深刻性和批判性.樂于交流和思想碰撞，在互相切磋中，加深領悟，共同提高.

第四，情感價值層面.通過數學探究活動，提高學生的數學素養，提升理性思維的能力，培養良好的團隊合作意識，樹立積極向上的人生觀；通過數學史及數學文化的學習，增強民族使命感和社會責任感.

第五，創新層面.引導學生注意觀察數學現象，培養探究意識和發現問題的敏感性；指導學生關注題型結構，學會尋找原型，對于新出現的問題能用新的角度、新的思維恰當地數學化地解決；學習多角度多層次地看待數學，獲得新的體驗和發現.

當我們穿越了一段又一段的數學復習，解決了一個又一個問題，積累了豐富的知識、情感和品味后，我們的生命必然越來越豐厚，思想越來越飽滿，眼睛越來越清澈，這就是數學復習帶給我們的成長.讓我們追求有靈魂的數學復習：以靈魂搖動靈魂，喚醒智慧，烘焙情懷.讓教師自己和學生都成為一個走著的、追求著的和希望著的人.Z