小學數學“可能性”教材分析與實踐思考

劉圣良

“可能性”是人教版義務教育教科書數學五年級上冊第四單元教學內容，屬于“統計與概率”領域的內容。在小學階段，僅安排在第二學段學習。在原義務教育課程標準實驗教材中，此部分教學內容分兩次集中編排。第一次安排在三年級上冊，教學目標是讓學生初步體驗確定事件和不確定事件，初步感受事件發生的可能性有大小。第二次安排在五年級上冊，教學目標是使學生對“可能性”的認識和理解逐漸從定性向定量過渡，學會用分數描述事件發生的可能性大小。數學課標修訂后，在人教版教材第一學段中，刪掉了概率的學習，將原內容后移到第二學段，稱為“可能性”。原五年級的內容劃分到第三學段，稱為“概率初步”。人教版五年級義務教育教科書關于“可能性”的內容雖然只有三道例題，卻承載著概率教學中非常重要的任務，每道例題具體教學目標不同，甚至“做一做”和某些習題也承載著重要的任務，這一單元的教學是銜接中學概率教學的重要基石。由于概率的發展較其他領域的內容晚，教師對此部分內容的數學核心素養模糊不清，加上新教材對該部分內容又有較大調整，并且增添了新例題（如例3）。所以，教學這部分內容，對于教師來講有一定的難度。這就要求教師要抓住知識的縱向聯系，站在知識的高位，自上而下分析教材、吃透教材，要從數學核心素養的培養來定位教學目標，設計教學活動。

一、從中學的“概率”教學看小學的“可能性”教學

（一）中學教材中的概率內容的數學概念解讀

中學教材對隨機事件、概率的兩個意義（概率的古典意義和概率的統計意義）進行了具體描述。

1. 隨機事件。

在一定條件下，某些事件有可能發生，也有可能不發生，這樣的事件稱為隨機事件。

2. 概率的古典定義。

一般來說，如果一次實驗中，有n種可能的結果，并且他們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為P（A）=。比如，擲兩枚硬幣實驗，分析出現一正一反的可能性大小。在一次實驗中，可能出現四種情況：第一種，1號幣正面、2號幣正面；第二種，1號幣正面、2號幣反面；第三種，1號幣反面、2號幣正面；第四種，1號幣反面、2號幣反面。一正一反有兩種情況，占了，概率則為。

3. 概率的統計意義。

一般來說，在大量重復實驗中，如果事件A發生的頻率m/n會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率。比如，擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面或反面朝上的概率是多少？從統計意義出發，首先要反復做擲硬幣實驗，經過大量實驗，統計數據，求出正面或反面朝上的頻率（正面或反面出現次數占總次數的比率），隨著實驗次數的增加，這個頻率會穩定在0.5這個常數左右，這個常數0.5就是正面或反面朝上的概率。

實際上，概率的古典定義具有一定的局限性，有一些隨機實驗并不具備有限與等可能性質，對于這類隨機實驗，概率的古典定義不能適用。比如，考查某種樹苗的移植成活率、某種子的發芽率、估計某射擊運動員的命中率、某水果運輸過程中的損壞率等。這些實際問題都不屬于各種結果可能性相等的類型，所以不能用古典定義來求，而要用統計意義來求。如某林業部門要考查某種樹苗在一定條件的移植成活率，應采取什么樣的具體做法呢？首先，在同樣的條件下，大量地對這種樹進行移植（移植的棵樹用字母n來表示。），并統計成活情況（成活的棵樹用字母m來表示。），然后計算成活的頻率（m/n）。如果隨著移植棵樹n的增加，頻率越來越穩定于某個常數，那么這個常數就可以被當做作成活率的近似值。

（二）中小學概率教學的銜接

中學的概率教學是從概率的兩個意義（古典意義和統計意義）為出發點，然后過渡到求概率的內容。即，用列舉法求概率和用頻率估計概率。人教版義務教育教科書單元知識框架圖如下：

1. 從教學的知識目標和教學內容來看銜接。

小學階段以感性認識可能性為主，通過實驗去感受隨機性，定性描述可能性大小，初步根據結果推測狀態。雖然是感性的認識，但是與中學的銜接很緊密。實際上三道例題是中學隨機事件和概率的意義的雛形。例2、例3是學生了解概率的統計意義的鋪墊。而“做一做”（拋硬幣活動）也是學生理解概率統計意義的有效載體，這個數學活動也是中學教材中的例題。

2. 從教學的過程目標和核心素養來看銜接。

中小學都是通過摸球、拋硬幣等活動感受和體會隨機性。體現在兩個方面：一個是單次事件發生的不確定性（偶然性），一個是大量實驗結果統計的規律性。這種隨機性是學生通過調查研究，收集數據，通過分析做出判斷的過程中體驗到的。小學強調推測球或棋子的分布情況，即誰多誰少。中學要計算出頻率，推測概率。可以看出，數據分析是中小學教學概率內容的重要方法。《數學課標標準（2011年版）》把數據分析納入到十個核心概念之一，強調要注重發展學生的數據分析觀念。關于數據分析觀念，具體闡釋為：“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊含的信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析方法，須要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。”在這段話中，點明了統計的核心是數據分析，東北師大馬云鵬教授提出：數據分析觀念是中小學學生學習統計與概率內容的數學核心素養。由此，筆者認為數據分析觀念也是中小學統計與概率教學的重要銜接點。在前面教材分析的基礎上，筆者帶領著團隊教師進行了一些教學實踐，下面結合幾個案例來談一談小學教學“可能性”內容落實數據分析觀念的粗淺認識與思考。

二、 從借助“數據分析” 入手， 教學小學階段的“可能性”內容

數據分析觀念很抽象，教師如果僅把它作為一種觀念或思想，教學中很難落實。筆者認為，把數據分析看作是一種學生學習的手段、策略、方法，就很容易操作。在課堂上，讓學生經歷數據分析的過程，掌握數據分析的基本方法，通過數據分析感受隨機性，這樣才能有效落實“可能性”的教學目標。

1.讓學生經歷“猜測——實驗——數據分析——推測結論”的過程，豐富學生的體驗，感受事件發生的隨機性。

一線教師對這部分教學存在困惑：概率的教學需不需要實驗？實驗后頻率和概率之間差距大了怎么解釋？實驗結果不能驗證概率的大小，學生越學越糊涂，怎么辦？比如，“擲硬幣實驗”是“驗證”正面和反面朝上的可能性相等，還是“推測”正、反面朝上的可能性相等。如果站在驗證的角度，教師就容易出現上面的困惑。如果是借助實驗數據，包括科學家的數據分析來推測可能性，這里即使出現極端數據，我想也很容易解釋，實驗次數少的情況下，就會出現所謂的“運氣差”的偶然性，這就是隨機性。所以要引導學生看整體數據，增加實驗的次數，只有實驗的次數越來越多時，才會呈現統計的規律性。教師要引導學生根據這種規律性去推測可能性的大小。教材編排的幾道例題都是基于這樣的目的，呈現“猜測——實驗——數據分析——推測結論”的過程，豐富學生的體驗，感受事件發生的隨機性。

一位教師執教“可能性例1”時創設了班級抽獎情境，每次學生抽簽之前，教師都是讓學生先猜測抽簽的結果，（可能抽到什么？不可能抽到什么？）然后再實驗，通過猜測——實踐——驗證的過程讓學生感受事件發生的確定性和不確定性。

一位教師執教“可能性例2”時創設了摸棋子游戲情境。課伊始，教師拿來一個裝有兩種顏色棋子的盒子，呈現里面紅色棋子和白色棋子的數量，提問：“摸出一個棋子可能是什么顏色？”生：“紅色或白色。”師：“猜一猜摸到哪種顏色的棋子可能性大？”（學生憑直覺很容易說出紅色的可能性大，因為紅色的棋子多。）這時，教師話鋒一轉，“這只是我們的猜測，需要實驗驗證一下我們的猜測”。此時，教師引導學生進行分組實驗，記錄數據，分析數據，推測前面的猜想，進而得出哪種顏色棋子多，摸到它的可能性就大。在這個過程中，不僅豐富了學生對不確定現象的體驗，而且加深了學生對隨機事件統計規律性及事件發生可能性大小的直觀感受。

讓學生經歷“猜測——實驗——數據分析——推測結論”的過程是可能性教學的基本思路，也是培養學生數據分析觀念的重要流程。因為在這個過程中學生能體會到收集數據、統計數據、分析數據的價值，感受到數據分析是預測和推測一件事情必須經歷的過程。如果課堂上能夠形成“我要收集數據”“必須分析數據”“我用數據說話”這樣的思維過程，那么，學生的數據分析觀念已經初步形成了。

2. 有效設計問題引領學生聚焦“數據”，實現從猜測到推測的過程，培養數據分析觀念。

如何引領學生聚焦數據，自覺收集、分析數據，實現從猜測到推測的過程？教師有效設計問題，有利于學生聚焦數據，培養數據分析觀念。

一位教師執教“可能性例3”時創設了摸球活動情境。引導學生猜一猜：盒子里面哪種顏色的球多？然后統計選擇的人數：25人選擇黃色，14人選擇白色，再引導學生進行實驗。首先，讓兩名學生到前面每人摸3次，讓學生再猜。學生感受到次數少，不能說明問題。然后，組織全班學生進行小組摸球，分組記錄數據，再匯總全班數據。最后，教師讓學生觀察數據，再猜測摸到哪種顏色球的可能性大，即哪種顏色的球數量多。統計選擇的人數：黃色的人數為3人，白色的人數為36人。此時，教師提出一連串問題，讓學生聚焦到數據分析，交流碰撞。

師：仍然選擇黃色的同學請起立，老師采訪一下，為什么你還堅持選黃色球？

生：我們組摸到的黃色球的次數多。

師：改變選擇的同學請舉手，老師采訪一下你們，為什么你們改變了選擇？

生：因為摸到白色球的可能性大。

師：那第6組實驗數據，確實是摸到黃球的次數多呀。

生：我們不能只看這兩組數據，大多數組都是摸到白球的次數多。

師：只看一組數據行不行？可以看多組數據，還可以怎么辦呢？

生：把它們加起來，看看整體數據。

師：匯總數據后，你有什么發現？

整個活動過程，教師沒有指令學生該進行哪一個環節？是在教師和學生共同探討數學問題的驅動下發展的，學生逐漸的感受到，實驗次數少，要多次實驗，即我要做實驗，收集數據。當呈現全班數據時，教師設計了環環相扣的問題串，引導學生感受到收集數據是必要的，分析數據是必須的；體驗到數據蘊含著信息，只有通過大量數據信息的分析，才能做出合理的判斷。在這個過程中，學生不僅體驗到事件的隨機性，而且數據分析觀念得到有效培養。

3.教師要有效指導實驗，保證數據的隨機性和統計的準確性，才能形成統計的規律性。

為了保證數據的隨機性，教師在實驗前要提醒學生明確實驗的要求和目的，深入學生活動中有效指導，確保實驗的有效性。千萬不要出現學生偷看盒子、不搖盒子等現象，這些現象可能都會導致數據的極端化，而使數據失去隨機價值。我們知道，統計的規律性一定是建立在隨機抽取的數據基礎上，也就是說，當大量重復實驗時，隨機抽取的數據越來越多時，統計的數據才能呈現一種規律性。在這個過程中，統計數據至關重要。為了保證統計的準確性，可以運用現代信息技術手段（計算器、電子表格求和），跟學生一起統計數據，保證數據統計的準確性。只有保證了數據的隨機性和統計的準確性，才能使統計的數據逐步呈現出規律。但是，一旦出現了規律不明顯或者矛盾的規律（錯誤的規律）， 怎么辦？我覺得教師要引導學生再多做一些重復的實驗，獲得更多的數據，還要跟學生一起分析實驗數據，分析實驗條件中是否存在問題（如是否搖勻，是否偷看了，是否統計出錯等）。

總之，概率教學離不開統計數據、分析數據。教師要不斷研究教材，理清知識的橫縱向聯系，站在知識的上層建筑，圍繞數學核心素養“數據分析觀念”設計教學、實施教學，才能使數學課堂煥發活力，才能彰顯數學學科的魅力。

編輯∕宋 宇