排列組合問題教學探究

陶智慧

排列、組合是高中數學的重點和難點之一，也是進一步學習概率的基礎.事實上，許多概率問題也可歸結為排列組合問題。這一類問題不僅內容抽象，解法靈活，而且解題過程中極易出現“重復”和“遺漏”的錯誤，這些錯誤甚至不容易檢查出來，所以解題時要注意不斷積累經驗，總結解題規律，掌握若干技巧和解題模型，最終達到靈活運用。

從解法上看，排列組合問題大致有以下幾種模型：

一、“在或不在”問題

例1：六個人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？

（1）甲乙兩人必須排在兩端；

（2）甲不在左端，乙不在右端。

分析：（1）甲乙兩人排在兩端有種站法；其余的人共有A■■種站法，故共有A■■A■■=48種站法。

（2）直接法求解有困難，選用間接法：甲在左端的站法有A■■種；乙在右端的站法也有A■■種；且甲在左端而乙在右端的站法有A■■種；故共有A■■-2A■■+A■■=504種站法。

注：“在”通常用直接法，“不在”常選用間接法。

二、相鄰問題捆綁法

例2：六個人按下列要求站一橫排，甲乙必須相鄰，有多少種不同的站法？

分析：甲乙兩人構成一個集團的站法有種；這個集團再與余下的4人全排，故共有A■■A■■=240種站法。

變式1.六個人按下列要求站一橫排，甲乙之間間隔兩人，有多少種不同的站法？

分析：先選出甲乙之間間隔兩人并排列有A■■種站法；這兩個人再與甲乙兩人構成一個集團的站法有A■■A■■種；這個集團在與余下的兩人全排，故共有A■■A■■A■■=144種站法。

注：將需要相鄰的元素構成一個集團，先內排再外排。

三、不相鄰問題插空法

例3：六個人按下列要求站一橫排，甲乙不相鄰，有多少種不同的站法？

分析：甲乙不相鄰，插空法：第一步讓余下的4人排，有A■■種站法；第二步將甲、乙插入4人形成的5個空中（含兩端），有A■■種站法，故共有A■■A■■=480種站法。

變式2.有3名男生，4名女生，按下列要求站一橫排，有多少種不同的站法？

（1）男生不相鄰；

（2）男女相間。

分析：（1）男生不相鄰，插空法：第一步讓4名女生排，有種站法；第二步將男生插入4名女生形成的5個空中（含兩端），有種站法，故共有A■■A■■=1440種站法。

（2）“相間”要考慮兩方面，與“不相鄰”有區別。先排男生有A■■種站法，再將女生插空，有A■■種站法，故共有A■■A■■=144種站法。

注：將無要求的元素先排，再把要求不相鄰的元素插空。

四、“多面手”問題

例4：由12人組成的課外文娛小組，其中7個人會跳舞，7個人會唱歌，若從中選出4個會唱歌，4會跳舞的人去排演節目，共有多少種不同的選法？

分析：由人數分析，12人中5個人只會跳舞，5個人只會唱歌，2個人既會跳舞又會唱歌，即有兩人為“多面手”。這一類問題從多面手出發按一個標準分類即可。（1）“多面手”不參加跳舞：有C■■C■■種選法；（2）“多面手”1人參加跳舞：有C■■C■■C■■種選法；（3）“多面手”2人參加跳舞：有C■■C■■C■■種選法，故共有C■■C■■+C■■C■■C■■+C■■C■■C■■=525種選法。

注：這種做法討論簡單易行，條理清晰。

五、“成雙成對”問題

例5：從不同號碼的5雙鞋中任取4只，恰好一雙的取法共有多少種？

分析：5雙鞋中任取4只，恰好一雙，說明4只鞋中，有一雙和兩個單只。分兩步：（1）先選出一雙：有C■■種選法；（2）再選出兩雙各取一只：有C■■C■■C■■種選法；故共有C■■C■■C■■C■■=120種選法。

注：“成雙成對”問題，成雙成對處理。

六、定序問題

例6：在書柜的某一層上原有6本書，如保持原書順序不變，再放入3本不同的書，那么有多少種放置方法？

分析：解法1：（1）先全排：有A■■種方法；（2）再除以6本書的全排：故共有■=504種方法。

解法2：只需在9個位置中選3個排后放入的3本書，故共有A■■=504種方法。

注：定序問題“無序化”，即若某幾個元素必須保持一定的順序，則可按通常排列后再除以這幾個元素的排列數。

七、相同元素隔板法

例7：要從7個班中選10人參加數學競賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？

分析：要從7個班中選10人參加數學競賽，其實相當于有10個名額，即相同元素。采用隔板法：10個元素有9個空，在9個空中選6個位置插6個隔板，分成7份給7個班，故共有C■■=C■■=84種方法。

注：隔板法的特征：相同元素、至少一個。

八、分組分配問題

例8：按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

（1）分成三份，一份2本，一份2本，一份3本；

（2）平均分成三份，每份兩本；

（3）分成三份，一份4本，另兩份每份1本；

（4）甲得1本，乙得1本，丙得4本。

分析：（1）無序不均勻分組問題

分三步：先選1本有C■■種選法；再從余下的5本中選2本有C■■種選法；對于余下的3本全選有C■■種選法，由分步計數原理知有C■■C■■C■■=60種選法。

（2）無序均勻分組問題

先分三步，則應是C■■C■■C■■種選法，但是這里出現了重復，不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C■■C■■C■■種分法中還有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）共有A■■種情況，而且這A■■種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此，只是一種情況，故分法有■=15種。

（3）無序部分均勻分組問題

兩組均分產生順序重復，故分配方式有■=15種。

（4）直接分配問題

甲選1本有C■■種選法；乙再從余下的5本中選1本有C■■種選法；丙在余下的4本全選有C■■種選法，故共有C■■C■■C■■=30種選法。

注：均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型。解決此類問題的關鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，幾組均分就除以幾的階乘，形成無序的組再分配?？梢愿爬橐韵聨讉€環節：選數、形成無序的組、分配。

無論是排列還是組合，最主要的是掌握從實際問題的敘述中分析特點，明確完成的是哪個事件，合理地完成每一步。區別有序還是無序，鑒別并抽出模型的主要特征，進而確定并建立相應的數學模型解決問題。對于一些比較復雜的問題，我們可以將幾種策略結合起來應用，把復雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通。