不妨上一節錯例剖析課

黃毅華

摘 要： 數學復習課教學往往存在教師講完例題，學生練習的固化模式，對學生來說能力得不到培養，只是解題的工具。為此，教師要尊重學生的學習主體性，在課堂中要給學生獨立、自主的時間與空間，讓學生自己完成學習中的每個步驟，在教學過程中始終站在學生的角度思考問題，處理好教學中“錯解”、“錯因”與“練習”的關系，對典型錯誤加以剖析，幫助學生找到產生錯誤的原因和糾正錯誤的辦法，掌握知識和培養能力。

關鍵詞： 數學復習課 錯解 錯因 練習 作業

在數學復習教學中，尤其是在章節復習、階段復習和總復習時，復習課的教法往往是：先由教師講解一些典型例題，然后讓學生練習。對學生來說，上課往往聽得懂，但做起練習和作業來，又會出現這樣那樣的錯誤，能力得不到培養。

新課標指出，教學的改革重在教學過程的變化，而教學過程的變化強調的是教師教學方式的變化，要變學生被動接受知識為主動、自主學習知識的真正主人，變學生的被動發展為主動、自主發展。要把課堂還給學生，讓課堂煥發生命力，在課堂中要還給學生獨立、自主的時間與空間，讓學生自己完成學習中的每個步驟，以學生的發展為本，充分調動他們學習的積極性、主動性和創造性。

為此，在初中數學復習階段，有時把復習課設計成一堂錯例剖析課，作為教學嘗試，收效甚好。下面就以求一元二次方程中參數問題的復習課為例，過程如下。

一、出示“錯解”

平時注意收集學生作業和考試中的典型題目和含有原則性錯誤的錯解，寫在小黑板上，也可以刻印成講義發給每個學生閱讀，讓他們辨析會診，并把錯誤之處簡要記錄下來，允許翻閱課本、資料，并可以與鄰近的同學開展討論，教師作巡視輔導。

由于初中學生都有好勝的心理特征，對找“岔子”很感興趣，因而這一過程可使學生處于積極思維狀態；只有人的思維處于開放的積極狀態，才最具有活力和創造性。在教學中只有營造寬松、和諧、民主、合作的課堂氛圍，學生才會產生好奇心，進而鼓勵學生打開思維空間，大膽疑問。

題目及錯解如下：

題1：m取何值時，關于x的方程（2-m）x■-11x-15=0是一元二次方程？（課本練習）

錯解：由m■-2=2，得m=2或-2.

題2：已知關于x的方程kx■-2（k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.（2012綿陽）

錯解：∵該方程有兩個不相等的實數根，

∴△>0，而△=[-2（k+1）]■-4k（k-1）=12k+4，即12k+4>0，

解之得k>-■.

題3：已知x■、x■是關于x的一元二次方程x■-2kx+k■-k=0的兩個實數根，是否存在常數k，使■+■=■成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。（2012菏澤）

錯解：存在。

因為x■+x■=2k，x■x■=k■-k，

所以■+■=■=■=■=■=■，

即■=■，去分母得2（2k■+2k）=3（k■-k），

整理得：k■+7k=0，所以k■=0，k■=-7.

題4：n取何值時，關于x的方程（n■-2）x■-2（n+1）x+1=0有兩個不相等實數根？

錯解：△=4（n+1）■-4（n■-2）=4（2n+3）

令4（2n+3）>0

解之得n>-■.（答略）

題5：若關于x的方程x■+（m+2）x+3=0的兩個根均大于1，求m的取值范圍。

錯解：設此方程的兩根為x■、x■，則△=（m+2）■-4×3≥0x■>1x■>1

得到（m+2）■≥12x■+x■>2

所以m≥-2+2■或m≤-2-2■-（m+2）>2即m<-4

得m≤-2-2■

二、剖析“錯因”

教師根據巡視的情況選擇一些有代表性的學生發言，一般來說每題都請兩位學生發言。第一位同學的發言存在一些問題，以利于其他學生再展開討論，把思維過程充分暴露出來，第二位學生的發言基本上作出完整的回答。然后師生共同剖析產生錯誤的原因，找出預防的辦法，并寫出每道題的正確解答。

由于初中生一般都有樂于表現自己的心理特征，發言積極踴躍，因而這一過程可使學生中的困惑、錯誤得到及時解釋和糾正，思維火花也能被及時點燃，學生就會有探索者的收獲，發現者的歡樂，勝利者的喜悅……

剖析結果如下：

題1：對于“題1”，先讓學生甲說說一元二次方程的概念，再讓學生乙對照概念剖析“錯因”：錯解只考慮到x的次數是2次，得m=2或m=-2；但忽略了一元二次方程二次項系數不能為0這一必要條件；因此，二次項系數2-m≠0，即m≠2；最后師生共同寫出正確答案，所以m=-2.

題2：漏掉了二次項的系數k≠0這個前提條件，事實上，當k=0時，原方程變成一次方程，不可能有兩個實數根，故k=0應該舍去。

正解：∵該方程kx■-2（k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根，

∴二次項系數不為0且△>0，即k≠0且12k+4>0，∴k>-■且k≠0.

題3：①該一元二次方程x■-2kx+k■-k=0的兩個實數根，所以△≥0

即（-2k）■-4（k■-k）=4k≥0，得到k≥0.

②去分母k■-k時，注意分母不為0，即k■-k≠0，知k■≠0且k■≠1。

∴綜合①②兩因素，k■=0且k■=-7都應該舍去，

∴本題中k的值不存在。

題4：漏掉了二次項的系數n■-2≠0這個前提條件。事實上，當n■-2=0時，即n=±■

原方程變為一次方程，不可能有兩個實數根，故n=±■應舍去。正確答案是n>-■且n=±■。

題5：由x■>1，x■>1可得到x■+x■>2，但反過來不一定成立。如x■=-3，x■=6時雖有x■+x■=3>2，但x■=-3<1，其錯誤的原因是將必要條件當做充要條件。事實上，由x■>1，x■>1得x■-1>0，x■-1>0，則（x■-1）+（x■-1）>0且（x■-1）（x■-1）>0，故正確答案應是解下列不等式組的解。

△≥0（x■+x■）-2>0x■x■-（x■+x■）+1>0

解之得：-6

三、鞏固練習

出示三道練習題：

1.若關于x一元二次方程（m-2）x■+3x+m■-4=0有一個根是0，你能求出m的值嗎？（2012天水考題）

2.k取何值時，關于x的一元二次方程2x■+kx-2k+1=0兩實根的平方和為■？

3.若關于x的一元二次方程7x■-（k+13）x+k■-k-2=0有兩根x■、x■，且0

對以上三題，學生普遍能正確解答出來。

四、布置作業

這節復習課，不僅有效糾正了學生求一元二次方程的參數問題時的一些典型錯誤，而且啟發我們：在復習時，有時注意精選一些學生解題中的典型錯誤加以剖析，不僅讓學生“吃一塹長一智”，而且對于培養學生思維的嚴謹性、批判性和深刻性，幫助學生找到產生錯誤的原因和糾正錯誤的辦法，進而使學生在解題時少犯錯甚至不犯錯誤，是大有裨益的；能調動學生學習的好奇心，使學生處于積極思維狀態中，對于強化課堂復習效果，是一種較好的教學嘗試。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）.

[2]義務教育教科書數學.