關于線性代數課程教學的一些思考

秦勇

（常州工學院理學院，江蘇常州213002）

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關于線性代數課程教學的一些思考

秦勇

（常州工學院理學院，江蘇常州213002）

摘要：結合線性代數課堂教學，從優化教學內容、加強方法引導、抓好基礎知識、滲透思想方法、采用多媒體輔助教學五個方面闡述了在線性代數課程教學中的一些思考。

關鍵詞：線性代數；課程教學；學習興趣；基本方法

線性代數是高等院校工科專業大學數學中的一門重要基礎課。線性問題在科學技術的各個領域中大量存在，在一定條件下某些非線性問題可以轉化為線性問題，尤其是當今計算機的日益普及，使線性代數的地位和作用得到了較大地提高，工程技術人員在實踐中又經常會遇到解線性方程組，求解矩陣的特征值和特征向量等問題，因此這就要求工科專業的大學生具備線性代數的基本理論知識，并能熟練地應用它。另一方面線性代數的內容具有較高的抽象性，概念特別多，對一般工科院校而言教學時數又較少，這些都給學生的學習，教師的教學增添了難度，最終導致線性代數的課程教學不如人意。針對上述情況，本人就工科院校線性代數的課程教學談談個人的一些思考。

1 根據教學時數，優化教學內容

目前工科院校線性代數的教學時數普遍較少，一般以32課時最為常見。由于受到學時的限制，在線性代數課程教學中不可能深入詳細地講解全部傳統內容［1］，必須突出重點，合理選擇教學內容。首先關于行列式部分的內容，由于當今在線性代數應用中已漸漸被淡化，這是因為矩陣理論比較成熟，它已可取代行列式的大多數功能，并且矩陣與計算機相結合又可省去許多復雜的和機械的運算，因此在傳統行列式內容中可選取兩個方面的內容：1）圍繞行列式定義的有關內容（對排列的有關理論只要結論，理論證明可略去）；2）圍繞利用行列式的性質對行列式用常規方法計算的有關內容（對于非常規行列式的計算完全可略去）。其次關于矩陣部分的內容，由于矩陣是線性代數的工具，這部分內容不能省，但對分塊矩陣，只要介紹其運算法則，使其能為后面簡化表示矩陣服務即可，不需要對分塊矩陣詳細舉例展開討論。另外關于向量空間部分的內容，只要介紹與基和維數有關的內容，使其能為后面的施密特（Schimidt）正交化服務即可，其它內容都可略去。還有關于二次型的內容，由于用矩陣已經可以化二次型為標準形了，因而用配方法化二次型為標準形的方法就不必在課上介紹了。最后在定理和性質的處理上要注意較難的證明可略去（但要正確理解其條件和結論的含義，重點放在應用上），一般的證明根據實際教學情況有的可證明，有的可指導學生讓學生課后去學習，較易的證明可給出證明過程。

綜上所述，所取舍的內容對線性代數課程教學的體系并沒有影響，突出了“應用為目的，夠用為尺度”的原則，從而很好地緩解了線性代數教學時數偏緊的問題。

2 加強方法引導，激發學習興趣

教學是由老師的教與學生的學兩方面構成的，只有提高學生學習的積極性，線性代數的教學質量才能有較好的保障。為提高學生的學習興趣，在教學中，首先要向學生介紹線性代數的主要內容和它的作用，讓學生了解線性代數的結構體系。其次要向學生介紹學習線性代數的方法，遇到抽象問題如何去處理，面對密集概念如何去理解，課前、課上、課后如何去合理利用時間，只有讓學生充分了解線性代數的內容，明白如何去學習，才能增強學生學習線性代數的自信心，激發學生的學習興趣。另外在教學中，要抓住重點，分解難點，化解學生學習的難度。例如在學習行列式時，重點是利用行列式的性質和展開定理去計算行列式，對于行列式性質的證明可啟發學生利用行列式定義去處理，并且把具體證明留給學生課后去解決。行列式的定義比較抽象，講解時可先從具體的二、三階行列式入手，仔細觀察它們的特點，歸納出一般規律，然后再定義n階行列式，這樣從具體到抽象，就可化解抽象概念難以理解的難點。又如求齊次線性方程組的基礎解系是線性代數的一個基本方法，它既是重點又是難點，教材中求基礎解系有關定理的證明比較抽象，這個證明既花時間，學生又難以理解。在具體教學中可考慮從一個具體的齊次線性方程組入手，通過求解這個方程組的通解，再把它改寫成基礎解系的線性組合，再加以驗證基礎解系，在此基礎上再歸納出求基礎解系的一般方法。通過這樣由具體到一般再抽象的處理后，學生就比較容易理解并掌握求基礎解系的方法了，從而避免了定理證明過程中的抽象性，而定理的證明可讓學生課后自己學習。總之在教學中教師只要抓住重點，分解難點，抽象問題具體化，就能化解學生的學習難度，學生學習的積極性自然就會提高，從而激發學生的學習興趣。最后需要注意，在教學中不能只采用教師講學生聽這種單一的教學方法，課堂上，教師要鼓勵學生積極參與教學活動，大膽提出問題，如果時間不夠也可鼓勵學生寫紙條或課后提問，然后教師根據實際情況給予集體解答或課后給予個別解答。通過鼓勵學生積極參與學習，可以充分調動學生學習的積極性，同時線性代數的學習也會得到有力的保障。

3 抓住基礎知識，注重基本方法

除了優化教學內容，對線性代數的基礎知識，基本方法始終應該是教學的重點，學生之所以對學習線性代數產生畏難情緒，除了其抽象的原因外，另一個重要原因就是線性代數的概念密集，學生在學習過程中很難把握其基本知識、基本方法，因此在教學中應該抓住基本知識，注重基本方法。例如，在行列式教學中，基本知識就是行列式定義、性質及展開定理，基本方法就是計算行列式。另外在教學中，教師要準確把握重點、難點，重視基本知識的講解，注重基本方法的歸納和應用。例如矩陣作為線性代數的工具，其理論體系比較成熟，因此在教學中要圍繞矩陣的基本知識，基本方法作為一條主線展開教學。矩陣的四則運算重點抓住逆矩陣，矩陣的初等變換重點的基本知識是矩陣的秩，矩陣的階梯形和行最簡行，矩陣的初等變換，初等變換不改變矩陣的秩。基本方法是求逆矩陣，求矩陣的秩。向量組的相關性部分其重點基本知識是向量組的線性相關性，向量組的秩，向量組的極大線性無關組。基本方法是用定義判別向量組的相關性，用矩陣的初等行變換1）判別矩陣列向量組之間的相關性；2）求矩陣列向量組的秩；3）求矩陣列向量組的極大無關組；4）把向量組的每個向量用其極大無關組線性表示。線性方程組重點基本知識是線性方程組的有解判別定理，基礎解系，線性方程組與增廣矩陣的1-1對應關系。基本方法是利用矩陣的行初等變換解線性方程組。而掌握了行列式計算和解線性方程組后，用這兩個基本方法結合特征值和特征向量的概念就可以解決矩陣相似對角化的問題，結合施密特正交化，就可解決實對稱矩陣的正交相似對角化問題，結合二次型與實對稱矩陣1-1對應的關系，再通過實對稱矩陣的正交相似對角化又可把二次型化為標準形。綜上可以看到只要抓住了矩陣這個工具，也就抓住了線性代數的牛鼻子，也就把握住了工科院校線性代數的課程教學。

4 結合課堂教學，滲透思想方法

線性代數包含了豐富的數學知識，蘊含了許多數學的思想方法，這些數學思想方法都蘊含在數學知識的體系中，需要教師在教學中逐步去挖掘。數學思想方法對學生的學習有普遍的指導意義，有利于培養學生良好的思維方式和習慣，為將來進一步發展打下扎實的基礎，因此教師要結合課堂教學，將豐富多彩的數學思想方法抽象出來，強化學生對知識創新過程的認識。例如，利用方程組的系數矩陣推出的矩陣的初等變換，在這里有些學生在學習過程中并沒有理解變換的思想，把它與行列式性質的化簡混為一談，習慣用等號來代替矩陣的初等變換記號，因此，在教學中要強調矩陣的初等變換是把一個矩陣按一定規律化為另一個矩陣，這是一種變換，前后兩個矩陣并不是相等的關系，并且解線性方程組，求矩陣的秩，判別矩陣列向量組的相關性，求矩陣列向量組的極大無關組等問題都需要用到這個變換，這樣學生就會對變換的思想有足夠清晰的認識，看到了變換思想的重要性。又如線性方程組與增廣矩陣是1-1對應的，利用化歸思想，可把解線性方程組的問題化為對矩陣進行初等變換的問題；同樣二次型與實對稱矩陣是1-1對應的，利用化歸思想，又可把二次型化為標準形的問題轉化為實對稱矩陣的對角化問題。又如分類思想，向量組可按線性相關和線性無關進行分類，這樣通過逆否命題可把向量組線性相關的問題轉化為向量組線性無關的問題，反之亦然，而教材中往往只敘述向量組線性相關的命題或線性無關的命題，這樣通過分類的思想就可解決向量組線性無關或線性相關的問題了。數學知識本質的反映就是數學思想方法，數學思想方法具有高度抽象性和概括性，在教學中，教師在傳授數學知識的同時，更要注重提煉數學知識中的數學思想方法，將教材中隱藏在數學知識背后的數學思想方法挖掘出來，精心設計教學過程，使數學思想方法的滲透能在教學過程中得以實現，從而使線性代數的課程教學過程成為發展培養學生較好數學思維品質的過程。

5 轉變教育觀念，改革教學手段

隨著科學技術的不斷發展，人類步入了信息時代，現代教育技術隨著計算機的發展，逐漸走進了課堂，其重要標志就是計算機多媒體輔助教學，其全新的概念帶來了課堂教學的變革。教師既是知識的傳播者又是教學活動的組織者，更需要不斷轉變教育觀念，改革教學手段，只有這樣才能為線性代數的課堂教學注入新的活力。多媒體是以文字、圖象、聲音和視頻等多種媒體傳遞信息，在課堂上使用這種輔助教學，可使教學內容圖文并茂且生動形象，這從根本上改變了傳統課堂上以板書為主的單調教學模式，更易引起學生的注意。另外更重要的是多媒體輔助教學為解決教學過程中內容多與課時少的矛盾提供了一個強有力的工具，它可在相同時間內傳遞更多的信息，使學生在有限時間內接觸更多的知識。但多媒體輔助教學也有其不足之處，在使用多媒體課件時，沒有板書，這樣從邏輯推理的角度看，學生的思維可能會出現斷裂，最終導致學生不清楚教師在講什么，因此為避免上述情況的發生，教師要精心設計并制作電子教案，使這個教案在教學過程中類似于板書，盡量適合學生的思維過程，信息要一行一行的出現，不要一次出一屏，以免造成信息的泛濫，同時要多增加前后內容的鏈接，采取必要的回放，對重要的例題和方法必要時可停下，邊講邊讓學生做筆記，總之要讓學生在聽課時充分感受到上課內容的循序漸進。當然要做到這些也不是容易的事，教師平時要多多學習如何制作多媒體課件，做不到這一點，把人家的課件拿來不結合自己所教學生的具體情況而盲目使用結果只會適得其反。

線性代數課堂教學是一個值得探討的問題，提高線性代數課堂教學的質量是師生的共同愿望。以上是本人在線性代數課程教學中的一些思考，提出來和各位同仁一起探討交流，共同提高。

參考文獻：

［1］教育部非數學類專業數學基礎課程教學指導分委員會.工科類本科數學基礎課程教學基本要求（修訂稿）［J］.大學數學，2004，20（1）：1-6.

［2］同濟大學數學系.線性代數第5版［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］劉坤，許定亮.線性代數［M］.南京：南京大學出版社，2009.

（責任編輯：郝安林）

Some Thinking on Course Teaching of Linear Algebra

QIN Yong
（School of Science，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213002，China）

Abstract：In this paper，combined with the classroom teaching of linear algebra thought in course teaching of lin?ear algebra is expounded from five aspects to the optimization of teaching content，strengthening method guid?ance，grasp the basic knowledge，penetrating thought method，using multimedia assistant teaching.

Key words：linear algebra；course teaching；learning interest；basic methods

中圖分類號：G420

文獻標志碼：A

文章編號：1673-2928（2016）02-0113-03

收稿日期：2015-12-23

作者簡介：秦勇（1958-），男，江蘇常州人，常州工學院副教授，從事有序代數研究。