抽象代數課程教學方法研究與實踐

陶司興

（商丘師范學院　數學與信息科學學院，河南　商丘　476000）

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抽象代數課程教學方法研究與實踐

陶司興

（商丘師范學院數學與信息科學學院，河南商丘476000）

摘要：抽象代數是大學數學專業本科課程中的一門專業基礎課.本文從借助多媒體教學舉難易程度不同的例子,增強課堂學習的趣味性,補充教學內容以滿足考研學生的需求,將平時成績納入最終考核及布置論文小題目等方面探討如何改進抽象代數課程的教學方法,進而培養學生的學習主動性,提高教學質量.

關鍵詞：課程改革；教學實踐；抽象代數

抽象代數是大學數學專業本科課程中的一門專業基礎課,其特點為高度的抽象性與概括性,需要結合一定的初等代數和高等代數的的相關基礎知識方能學懂.其內容不僅可以滲透到數學的各個分支,而且在其他學科,例如物理、化學、正交試驗設計和編碼等理論中都有應用.因此使得學生在初次接觸時感到非常抽象不易于接受.一直被學生認為是最難學的課程之一.許多數學專業的本科生都對這門課不感興趣,甚至望而生畏.近年來針對這種現狀,很多的學者就抽象代數課程的教學和實踐,進行了不同的研究,同時在教學內容、教學方法等方面進行了不同程度的探討[1-4].作者根據在教學一線的工作經歷,針對商丘師范學院數學與信息科學學院學生的現狀，主要從課堂增強趣味性,課下有計劃的布置小論文題目等方面對抽象代數課程的教學方法和實踐進行探討.

1　借助多媒體教學，多舉難易程度不等的例子，使不同層次學生都學有所獲

抽象代數因其高度的抽象性一直使不少學生懼怕,所以對學生采用統一標準來教學必然會導致學生的學習兩極分化.為此商丘師范學院數學與信息科學學院對學生實施了分類培養的人才培養模式，將學生分為學術型和教學型兩類.學術性學生指的是立志考研的學生,這類學生學習的積極主動性比較高，求知欲比較強.教學型學生指的是畢業后就業不打算繼續深造的學生.面對這兩類志向不同的學生，我的做法是在講解每個抽象的概念和結論時，結合高等代數和初等代數，分別舉難易不等的例子,既能滿足學術性學生的需求,也能使教學型學生通過簡單的例子達到理解抽象概念和結論的目的.例如在介紹同態映射這一概念時，舉如下的例子：

(1)設M是數域F上全體I階方陣作成的集合,代數運算是方陣的普通乘法;再令=F,代數運算是數的普通乘法，則是M到的一個同態映射,而且是一個滿射.

(2)設A是實數集,其代數運算是普通的加法;A是正實數集,其代數運算是普通的加法,則是A到A的一個同態映射,而且是一一映射.

再比如介紹最大理想的概念時,可以舉如下的例子：

(1)由一個素數p生成的理想(p)是整數環R的一個最大理想;

(2)由x和2生成的理想(x,2)是整數環上一元多項式環Z[x]的一個最大理想.

前一個例子滿足不考研學生的需要,而后一個例子涉及到高等代數,可以滿足考研學生的需要.

當然，隨著目前教育技術的發展，可以借助多媒體來展示相關的例子，這樣減少老師在黑板上寫字的時間.與此同時，還應經常將高等代數中相關的內容匯總一下，使學生通過對抽象代數的學習，把原先感到零散的知識融匯貫通,從而使學生的高等代數和抽象代數水平同時得到提高.例如在介紹等價關系時,將下列例子羅列了一下：

(1)向量組之間的相互線性表示是一個等價關系;

(2)對稱矩陣之間的合同關系是一個等價關系;

真空度達到5.0×10-5 Pa時，以熱蒸鍍的方式，按結構依次蒸鍍坩堝中不同的有機材料，制備兩組藍色磷光器件，其結構分別為

(3)n階方陣之間的相似關系是一個等價關系;

(4)矩陣之間的等價滿足反身性、對稱性和傳遞性，因而也是一個等價關系.

這樣,讓學生感受到了抽象代數的魅力，也就樂于學習了.

2　結合數學史和日常生活，活躍課堂氣氛，增強學生學習的趣味性

老師課堂上的灌輸式教育會讓學生感到疲勞.因此在課堂中適當地加入一些形象化語言，一些歷史小故事等,調節課堂氛圍,增加學生的注意力.比如在講解群論這一章時,可以講解一下伽羅瓦年紀輕輕便用群論徹底解決了根式求解代數方程的問題,而且由此發展了一整套關于群和域的理論,卻在21歲便死于一場決斗.他在世時數學上研究成果的重要意義沒被人們所認識,曾呈送科學院3篇學術論文,均被退回或遺失,不被數學界認可,并且本人在愛情方面受到打擊.但他所創立的群論，最終還是被世人所接受并肯定其價值.通過讓學生了解與群、環、域等相關知識的歷史小故事,增強他們了解該課程的欲望,從而提高學習興趣.

抽象代數所研究的代數系統不僅集合是抽象的,而且運算也是抽象的.有時候可能會讓學生摸不著頭腦,比如在講到一個環的理想的理想不一定是原環的理想時,可以類比一個群的正規子群的正規子群不一定是原群的正規子群,同時給學生講敵人的敵人是朋友,例如：中國和印度是敵人,印度和巴基斯坦是敵人，而中國和巴基斯坦是好朋友.學生雖然一笑而過,但卻牢牢地記住了關于正規子群和理想的這兩個結論.總之讓學生在趣味中學習,可以活躍課堂的氣氛,使學生提高學習的效果.

3　結合考研實際,適當補充新內容,滿足學生考研復試需求

教學過程中，在教材使用上，我們以《近世代數基礎》為主線,同時搜集關于抽象代數考研的習題,對教材內容作適當補充.比如在介紹群的概念時，補充半群、幺半群等概念,在介紹不變子群的概念時，介紹不變子群的另一種名稱正規子群,以及補充一下關于群的直積等概念結合學生考研的實際,在教學過程中，補充了楊子胥[6]的《近世代數》中的一些實例.例如在介紹環的概念時，舉下面的例子:

例：設R為整數集,證明R對以下二運算作成環：上面的例子理解起來不難，顯得比較有新意,可以開闊學生的視野.此外現在的考研復試,學生經常會遇到關于擴域的相關理論,為避免影響學生的復試成績,我們的課堂授課都會涉及代數擴域的內容.

4　將平時成績納入考核，布置論文小題目,調動學生的積極主動性

隨著課時的壓縮,僅僅依靠老師課堂上的講授是遠遠不夠的.作業作為老師教學環節的必要補充,顯得特別重要.所以我們非常重視學生的日常作業.在布置作業時，出一些必做和選做的題目,以滿足學生學習的需要.在考核時，平時成績占30%,考試成績占70%.而平時成績的組成又分為日常作業和考勤兩部分,各占一半.在最終考試時,基礎類的內容占70%,較有難度的內容占20%,難度較大的內容占10%.充分兼顧各個層次的學生.

高等教育的教學理念在于培養學生的創新能力,老師們在傳授知識的同時,要兼備發展學生的智力,培養學生的能力,提高學生的素養.雖然通過對比抽象代數與高等代數的緊密聯系,使學生已有所了解抽象代數,并通過增加趣味性一定程度上提高了學生的積極性,但某些學生從心態上,認為這只是一門課,所以應付,缺少主動性.鑒于這些,為了從根本上提高學生的主動性,讓其真正的參與進來,提高他們對這門課的重視程度.我們采取有計劃的布置小論文題目,來吸引他們的注意力,同時培養他們分析問題,多角度考慮問題,總結知識點的能力.這些對他們以后完成畢業論文設計都有很大的幫助.

以上是我們對“抽象代數”課程教學方法的一些改進與實踐,我們也想通過這種教學實踐,既使自己得到提高,又能讓學生養成一個良好的學習習慣.此外,在實際教學過程中仍有可能遇到這樣那樣的問題,需要具體問題具體對待,根據實際情況來靈活處理.

參考文獻:

〔1〕魏平,張煥炯.關于近世代數教學改革的實踐探索[J].數學教學研究,2012,31(12):61-65.

〔2〕王羨,王志俊,董紅昌,劉瓊玲.淺談抽象代數教學改革[J].大學數學,2015,31(2):44-47.

〔3〕李飛祥.抽象代數課程教學改革的研究與實踐[J].安陽師范學院學報,2012(1):105-107.

〔4〕王羨,白冬梅,祁永強.抽象代數課程建設與教學改革的體會[J].學園，2014(1):32.

〔5〕張禾瑞.近世代數基礎[M].北京:高等教育出版社,1978.

〔6〕楊子胥.近世代數(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2011.

基金項目：商丘師范學院教學改革研究項目（2014jgxm26）

收稿日期：2015年10月19日

中圖分類號：G642.4

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）02-0239-02