初中數學教師HPM教學的個案研究

吳 駿，汪曉勤

（1．云南師范大學 初等教育學院，云南 昆明 650092；2．華東師范大學 數學系，上海 200241）

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初中數學教師HPM教學的個案研究

吳 駿1，汪曉勤2

（1．云南師范大學 初等教育學院，云南 昆明 650092；2．華東師范大學 數學系，上海 200241）

摘要：教師需要在教學中運用數學史，使之更有利于學生的學習．以八年級下學期“數據的代表”為具體內容，選擇兩位教學經驗豐富但對數學史知之不多的初中數學教師，對其HPM教學進行實驗研究．結果表明，HPM促進了教師教學的發展．兩位教師的HPM教學分為教學準備和教學實施兩個階段，數學史與數學教學的詮釋學循環經歷了從分離到融合的過程．其中一位教師從數學史開始，尋求合適的角度融入教學，但過分強調數學史的面向，缺乏對學生認知和心理的關注；另一位教師則從教學內容出發，注重數學史與教材、學生認知的配合，有機地把PCK與HPM結合起來，較好地呈現了知識的自然發生過程．

關鍵詞：HPM；數學史；統計教學；詮釋學循環

近年來，HPM與教師的專業發展問題引起了人們的廣泛關注．已有研究表明，HPM促進了中學數學教師的專業發展[1～3]．實際上，這些研究主要針對那些受過正規的數學史與HPM培訓的教師而言．然而，在中學數學教師群體中，有相當一部分教師對數學史知之甚少，卻需要在教學中運用數學史．尋找數學史融入數學教學的切入點，使之能夠提高教學效率正是人們最為關心的問題[4]．因此，探討教師的HPM教學具有重要的現實意義．

在中小學數學教學中，統計教學是一個重要的內容．已有研究表明，中國學生對統計量的計算掌握較好，但在理解和運用方面存在困難[5～7]．統計概念的教學看似簡單，實則不易，這是教學中的一個困惑點．Bakker的研究表明，學生對統計概念的理解存在一定的歷史相似性[8]，這進一步支持了教師在統計教學中運用數學史的觀點．以八年級下學期“數據的代表”為具體內容，對兩位初中數學教師的HPM教學進行實驗研究，并利用詮釋學循環模型作出分析．

1 研究方法

1.1 研究對象

研究對象是某中等城市一所初中學校的兩位數學教師．這兩位教師資歷較深，教學經驗豐富，在大學期間沒有修過數學史課程，職后也沒有經歷過HPM培訓，對數學史知識僅略知一二，參與這種教學實驗是第一次．

Y老師，男，高級教師，某師范大學數學系畢業后，長期從事高中數學教學．兩年前到初中部任教，現承擔兩個班數學課程的教學，并兼任其中一個班的班主任．Y老師在教學之余，撰寫了多篇論文，發表于省市級期刊．

Q老師，女，一級教師，某師范學院數學系畢業后，一直從事初中數學教學，現承擔兩個班數學課程的教學．Q老師對教學工作非常敬業，教學素質較好，多次在市、校級課堂教學競賽中獲獎．

1.2 教學案例設計

數學史融入數學教學的關鍵是設計課堂需要的教學案例．研究采用以下方法設計教學案例：（1）直接采用歷史上的數學問題和解法，如，下述案例中提到的《九章算術》中的平分術問題、古印度人利用平均數估計樹枝上樹葉和果實數目的問題等．（2）根據歷史材料，編制數學問題，如下述案例1、2、3．（3）在現代情境下，選用體現歷史發生思想的數學問題，如下述案例4、5、6．

對于數學史的運用，數學教學中所追求的不應是真實歷史的簡單重現，而應是歷史的適當重建，這就是指，數學史的適當“改造”應看成是數學史融入數學教學的一個基本途徑[9]．由于學生缺乏統計概念的歷史背景知識，他們也擁有前人未知的一些知識，因此，研究中更多地采用后兩種方法設計教學案例，注重把歷史現象轉化為有意義的教學現象．

1.3 資料收集

通過課前討論、課堂觀察和課后訪談的方式收集資料．在正式上課之前，研究者與實驗教師共同討論了用于統計教學的歷史素材及教學案例的設計．通過課堂觀察，跟蹤實驗教師該單元的教學，并拍攝了兩位教師上課的錄像．每節課后對上課教師進行訪談，并挑選出根據數學史設計的教學案例的錄像片段，與上課教師一起回顧和討論，以減少研究者獨立作出解釋的局限性．

2 教師的HPM教學

2.1 教學準備階段

在教學實驗之前，研究者對實驗教師進行HPM培訓，主要包括HPM理論、HPM教學設計、數學史融入數學教學的方法，等等．研究者深入挖掘平均數、中位數和眾數概念的歷史，與兩位實驗教師合作，共同開發了相關概念的教學案例．下面選擇3個案例說明Y老師和Q老師對數學史的理解情況．

案例1 某校八年級50名學生的數學測試成績如下（總分：120分），你能用較簡單的方法估算出全班的總分嗎？想一想，有哪些不同的方法？

設計說明：該案例根據古印度人利用平均數估計樹枝上樹葉和果實數目的問題改編而來[10]．從概念的歷史發生來看，學生應該發展了代表性的思想之后，再學習平均數的計算方法，而不是掌握了平均數的計算公式以后，才來理解平均數的意義．在統計教學中，應該把大數估計問題作為學生的認知起點，通過教學活動讓學生再現這種方法，以培養他們對平均數的直覺能力．

Y老師提出了解決該問題的一些基本方法，并認識到培養學生發散思維的重要性．Q老師認為，首先要明確解決這個問題有什么方法？學生又能想出哪些方法？教師需要做到心中有數，才能駕馭課堂．

案例2 如何描述八年級一個教室里學生鞋子的顏色？眾數一定是一個數字嗎？

設計說明：在古希臘和意大利，選舉機構已經作為一個基本形式存在很長的歷史時期了．根據他們的憲法規定，幾乎每一個重要的法案都要通過正式的投票來決定，其中用到的統計概念就是眾數．該案例把眾數的概念拓展到非數字類型，雖然超出了教材的要求，但學生并不難理解．

Q老師提出疑問：眾數一定是一個數字嗎？教材中不也有一個鞋子銷售量問題嗎？二者有什么不同？Y老師指出，教材中的問題強調鞋子的尺寸問題，而尺寸是數字類型．通過討論，兩位老師明確了鞋子的顏色是非數字類型．由于現實生活中有很多這種類型的問題，因此他們認為，對教材作適當拓展還是有必要的．

案例3 求函數f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-5|最小值．

Y老師認為，這種題目在高中經常出現，可以采用去絕對值的方法求解，或者根據絕對值的幾何意義得出．Q老師認為，這個題目難度較大，超出了中考要求，教學意義不大．最終，他們否決了這個題目．

綜上，在教學準備過程中， 兩位教師認識了數學史與數學教學的關系，了解了統計概念的歷史，加強了對統計概念的理解，為數學史融入統計概念教學奠定了基礎．從討論中可以看出，Y老師熟悉高中數學，知道知識的前后聯系，Q老師更看重中考，緊緊圍繞考試要求來組織教學．同時也發現，Y老師理解數學史知識較為深刻，他的學科知識（SMK）更強一些；Q老師注重教學法的運用，她的學科教學知識（PCK）更有優勢．

2.2 教學實施階段

兩位教師根據開發的教學案例，分別設計自己的課堂教學．由于每個人的教學風格不一致，因此具體教學設計和教學實施也不盡相同．以下通過幾個案例來說明Y老師與Q老師運用數學史存在的差異．

案例4 一商店出售帽子，下圖列出了該商店在前3個星期售出的帽子數．這家商店在第四個星期應該賣掉多少頂帽子，才能使售出帽子的平均數為7？[12]

設計說明：在教學設計中，上一個案例是《九章算術》的平分術問題，即采用“減多益少”的方法，使幾個分數齊等．這一案例從“形”的角度，采用圖示表征法，為體現“減多益少”的思想而設計．

在Q老師的班上，學生經過討論，提出了算術解法和方程解法．之后，教師啟發學生，采用“減多益少”的方法解題．結果學生提出了以下兩種方法．方法1：把第一周9頂帽子中的2頂移到第二周中，則第二、三和四周各差2、1和7頂帽子，因此第四周還需要賣出2+1+7=10頂帽子．方法2：把第一周9頂帽子中的3頂移到第二周中，則前3周各差1頂帽子，再加上第四周差的7頂帽子，因此還需要賣出10頂帽子．

在Y老師的班上，學生得到上述方法1．教師肯定了學生采用的就是“減多益少”的方法，并利用圖示法作出解釋．

在這個案例中，Q老師是在學生沒有想到“減多益少”的方法之后，才提醒他們采用這種方法．Y老師則強調“減多益少”歷史方法的運用，而沒有進一步探究其它方法．

案例5 為了解5路公共汽車的運營情況，公交部門統計了某天5路公共汽車每個運行班次的載客量，例如載客量人數在1≤x≤21區間的有3個班次，如何確定該區間公共汽車的平均載客量？

設計說明：這是課本上關于組中值的一個探究問題，但教材并沒有說明為什么采用組中值作為各區間數據的代表．從概念的歷史發展來看，組中值是平均數的前概念，該問題可以借助于《伯羅奔尼撒人戰爭的歷史》一書中的“船員人數問題”進行探究：Homer給出了船的數目是1 200條，兩種不同的船只分別有120名和50名船員，試估算出全體船員的人數[13]．

Y老師首先讓學生討論船員人數問題，在此基礎上，教師在講授教材中的探究問題時，對于一個區間數據的代表，學生自然能夠取兩個端點的平均數作為該區間的估計值．

從這個問題的處理來看，Y老師通過對船員人數問題的探討，為組中值的引入奠定了基礎．Q老師雖然教學中沒有出現歷史現象，但卻借助于歷史意蘊進行教學．

案例6 在汶川大地震的捐款活動中，某校八年級（1）班第3小組11名同學的捐款數如下（單位：元）：1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80．這組數據的平均數能比較客觀地反映全班同學捐款的“平均水平”嗎？

設計說明：中位數和平均數的選擇使用是學生最容易犯錯的地方．如何破解這一難題？這可以從中位數的歷史起源中尋求答案．在歷史上，中位數幾乎是作為平均數的代替品而出現的．埃其渥斯（F.Y.Edgeworth, 1845—1926）發現平均數對極端值的敏感性，而中位數比平均數更穩健（robustness）（穩健性用于描述對極端值的不敏感性）．該案例的設計正是在現代問題情境之下，擬合了中位數的歷史起源．

Y老師首先介紹了中位數的歷史起源，讓學生知道平均數對極端值具有敏感性，中位數的出現是為了代替平均數．之后，再講述該案例，這樣學生就明白平均數不能客觀地反映全班同學捐款的“平均水平”，需要用中位數來代替．

Q老師在講該案例時，讓學生論證：當數據中存在極端值時，算術平均數可能沒有意義，有時甚至會產生誤導．在這種情況下，就需要引入另一個表示集中趨勢的統計量，這就是中位數．

對于這個案例的教學，Y老師認為，借助于歷史現象，解決了中位數的引入問題．Q老師則認為，數學史不一定以原材料呈現，可以用滲透了歷史背景的案例呈現．

綜上，兩位教師借助于教學案例，有機地結合了自己的SMK和PCK，把數學史融入到統計概念教學之中．Y老師再現歷史情景，為學生的學習鋪平道路，但過分強調了數學史的面向，沒有充分激發學生學習的動機．Q老師在教學中沒有講授歷史，但歷史意蘊卻在悄無聲息中融入教學之中，實現了對問題的探究．盡管一開始她對HPM理解不深刻，然而，一旦發現HPM有助于PCK發展后，就很快掌握了PCK結合HPM的竅門．兩位教師運用數學史的形式不盡相同，Y老師傾向于顯性方式，而Q老師則傾向于隱性方式．從融入的過程來看，Q老師的教學能夠更好地呈現知識的自然發生過程．

3 利用詮釋學循環模型分析教師的HPM教學

1994年，德國學者Jahnke最早提出詮釋學循環模式，見圖1所示．在Jahnke的雙圈循環圖示中，初圈指古代數學家（M）、數學對象（O）和數學理論（T）之間的循環；次圈則指在數學史家（H）、數學史研究成果（歷史詮釋I）和初圈之間的循環．

圖1 數學史的詮釋學循環

Jahnke認為，當教師將數學史引入教學活動時，就有必要了解數學史家的相關觀點，因此，教師在次圈中進行自己的歷史詮釋時，設想自己進入另一時代、另一文化的數學家心靈之中，從而對數學知識作出自己的詮釋，而這種詮釋反過來又促進了對數學史家詮釋結果的理解[14]．因此，在HPM的引導下，教師可以幫助學生，從外圍的次圈走向內圍的初圈，再從初圈返回次圈，如此構成一個所謂的詮釋學循環．在這個循環過程中，由于教學目標是數學知識，因此初圈的操作受到次圈的主導，從而可以保證在數學教學活動中，不會迷失在漫無目的的瑣碎歷史細節之中．

洪萬生根據Jahnke的觀點，提出數學教學的詮釋學循環[1]，見圖2所示．教材編寫者（E）、課程標準（S）、數學知識（K）和教科書內容（C）構成初圈；教師（T）、詮釋教材內容（I）和初圈構成次圈．他認為，一個教師在次圈中詮釋教材內容時，需要與教材編寫者對話，必然會進入初圈；通過對初圈進行詮釋，確定教學內容知識，返回次圈，完成一個詮釋學循環．若加入數學史成分，則教師進入初圈循環時，會與數學對象的創造者古代數學家進行“對話”，從而發展出具有數學史的教學內容．

洪萬生認為，一個具有HPM開懷的教師，他的身份兼具了教師（T）和數學史家（H）．用C1表示教科書編寫者、課程標準、數學知識和教科書內容構成的初圈，C2表示古代數學家、數學內容和數學理論構成的另一個初圈，再將C1和C2各自縮為一點，并把圖1和圖2中的兩個頂點重疊，用T表示，則構建出一個詮釋學循環四面體[1]．利用該模型來刻畫Y老師和Q老師的HPM教學進程，見圖3和圖4所示．由于兩位教師資歷較深，對數學史知之不多，因此四面體模型的規模取決于初圈C2．在這個模型中，C1和C2之間如何連接，反映了數學史和數學教學結合的程度．教師在C1和C2這兩個初圈之間的進出，乃至促成它們的“對話”，正是具有HPM開懷教師所追求的目標．

圖2 數學教學的詮釋學循環

圖3 Y教師HPM教學的四面體模型T

圖4 Q教師HPM教學的四面體模型

在教學準備階段，兩位教師的C1和C2尚未連接，即兩個初圈并未形成“對話”，其間的關系可以用一條虛線來表示，其中C12表示這一階段所具有的C2．在教學實施階段，Y老師和Q老師的C1和C2之間已經開始“對話”了，用一條實線來表示，其規模的大小可用四面體T-IC1C22來表示，其中C22表示這一階段的C2．在Q老師的教學中，數學史融入數學教學的過程更為自然，因此，與Y老師相比，她的四面體模型的規模可能更大一些．

數學史融入的過程是數學史從歷史形態走向教學形態的過程，實際上也是教師詮釋、加工、再創造數學史的過程[15]．從上面詮釋學四面體模型看到，HPM對教師教學的促進作用是不相同的，這可能是由于教師運用數學史的進路不同所造成的．Y老師喜歡從數學史開始，思考融入數學教學的合適角度，但他過分強調了數學史的面向，而對學生的認知和心理關注不夠，沒有來回考量數學史料對學生的適切性．Y老師采取的教學路徑可以表示為：T-C2-I-C1-I-T，圖5中C2和I之間用單向箭頭表示．

圖5 Y老師運用數學史的教學模式

Q老師從教科書出發，尋求用于教學的數學史．她認識到HPM的教學目的，乃是為了幫助學生學習數學，而不是數學史．因此，她在教學過程中，來回思考C1和C2之間的聯系，在教材的邏輯結構、學生的認知心理和數學史之間取得了平衡．Q老師采取的教學路徑可以表示為：T-C1-I-C2-I-C1-I-T，圖6中C2和I之間用雙向箭頭表示．弗賴登塔爾（H.Freudenthal, 1905—1990）指出：“我們不應該完全遵循發明者的歷史足跡，而是經過改良過同時有更好引導的歷史過程．”[16]Q老師正是在教學過程中遇到問題，進而尋求數學史料的幫助，從而改善自己的課堂教學．

圖6 Q老師運用數學史的教學模式

4 結 論

兩位教師的HPM教學表明，HPM促進了教師教學的發展．兩位教師的HPM教學分為教學準備和教學實施兩個階段，數學史與數學教學的詮釋學循環經歷了從分離到融合的過程．在教學準備階段，兩位教師從HPM出發，了解了統計概念的歷史，加強了對統計概念的理解，不過，數學史與教學仍處于分離狀態．在教學實施階段，兩位教師借助于教學案例，有機地結合了自己的SMK和PCK，把數學史融入到統計概念教學之中．

詮釋學循環模型深刻地刻畫了教師教學發展的過程，盡管兩位教師運用數學史的進路不同．Y老師高中教學的經歷和深厚的SMK是他的發展之基，他喜歡從數學史開始，尋求合適的角度融入數學教學，但他過分強調數學史的面向，缺乏對學生認知和心理的關注；Q老師則發揮自己的PCK優勢，從教學內容出發，注重數學史與教材、學生認知的配合，有機地把PCK與HPM結合起來，較好地呈現知識的自然發生過程．同時也發現，對于一個資深教師而言，一旦掌握了數學史知識后，PCK就成為決定數學史運用的關鍵．

［參 考 文 獻］

[1] 洪萬生．PCK vs.HPM：以兩位高中數學教師為例[A]．數學教育會議文集[C]．香港教育學院數學系，2005．

[2] 蘇意雯．數學教師以HPM促進專業發展之個案研究[A]．數理教師專業發展學術研討會論文[C]．國立彰化師范大學，2004．

[3] 汪曉勤．HPM與初中數學教師的專業發展：一個上海的案例[J]．數學教育學報，2013，22（1）：18-22．

[4] 吳駿，汪曉勤．國外數學史融入數學教學研究述評[J]．比較教育研究，2013，（8）：78-82．

[5] 吳駿．小學四年級學生對平均數概念理解的發展過程[J]．數學教育學報，2011，20（3）：39-42．

[6] 曲元海，項昭，李俊揚，等．初中生學習統計量理解水平的調查分析[J]．數學教育學報，2006，15（1）：35-37．

[7] 吳穎康，李凌．上海高中生對集中量數的理解[J]．數學教育學報，2011，20（6）：25-28．

[8] Bakker A.The Early History of Average Values and Implications for Educatino [J].Journal of Statistics Education, 2003, 11(1): 1-24.

[9] 鄭瑋，鄭毓信．HPM與數學教學中的“再創造”[J]．數學教育學報，2013，22（3）：5-7．

[10] Hacking I.The Emergence of Probability.A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference [M].Cambridge: Cambridge University Press, 1975.

[11] Eisenhart C.“Boscovich and the Combination of Observations”, in M.G.Kendall and R.L.Plackett (eds.), Studies in the History of Statistics and Probability [M].Charles Grif fi n, London, 1977.

[12] 蔡金法．中美學生數學學習的系列實證研究——他山之石，何以攻玉[M]．北京：教育科學出版社，2007．

[13] Bakker A, Koeno P E.An Historical Phenomenology of Mean and Median [J].Educatioal Studies in Mathematics, 2006, 62(2): 149–168.

[14] Jahnke H N.The Historical Dimension of Mathematical Understanding: Objectifying the Subjective [R].Proceedings of the 18th International Conference for the Psychology of Mathematics Education.Lisbon: University of Lisbon, 1994.

[15] 朱鳳琴，徐伯華．數學史融入數學教學模式的國際研究與啟示[J]．數學教育學報，2010，19（3）：22-25．

[16] Freudenthal H.Mathematics as an Educational Task [M].Dordrecht: D.Reidel Publishing Company, 1973.

[責任編校：周學智]

Case Study on HPM Instruction of Junior High School Mathematics Teachers

WU Jun1, WANG Xiao-qin2
(1.College of Primary Education, Yunnan Normal University, Yunnan Kunming 650092, China; 2.Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai, 200241, China)

Abstract:Teachers use the history of mathematics in teaching and learning of mathematics to support students’ learning.The research explored HPM instruction of two experienced mathematics teachers of junior high school who knew less the history of mathematics.The teaching content was the “representative of data” in the textbook of second semester in eighth grade.The results indicated that: Mathematics teachers’ instruction development is promoted by HPM.After HPM involved in teaching, HPM instruction of two teachers was divided into teaching preparation and teaching implementation, and two teachers changed from single hermeneutic circle to double ones on integration of the history of mathematics.A teacher could start with the history of mathematics and integrate the history of mathematics into mathematics teaching in an appropriate method.But he overly emphasized the orientation of the history of mathematics, and couldn’t paid attention to the cognition and mind of students.Another teacher paid attention to combine the history of mathematics with textbooks and students’ cognition so as to present the subject in a natural way from the teaching contents.

Key words:HPM; history of mathematics; statistical teaching and learning; hermeneutic circle

作者簡介：吳駿（1968—），男，云南宣威人，教授，博士，主要從事概率統計教學、數學史與數學教育研究．

基金項目：云南省教育廳科學研究基金項目——數學史融入中學統計概念教學的理論與實踐（2012Y411）；云南師范大學博士科研啟動項目——數學史融入數學課堂教學研究

收稿日期：2015–09–26

中圖分類號：G420

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0067–05