“線段轉(zhuǎn)移法”幾何證明中的“橋梁”

龍正兵

摘 要：在解決數(shù)學(xué)問題中，常常會(huì)運(yùn)用一些巧妙的解決辦法。這些方法有時(shí)能使一些難題變得簡單明了，有時(shí)能把兩個(gè)關(guān)系不明確的變?yōu)榫o密相關(guān)。以下這篇文章就是闡述怎樣運(yùn)用“線段轉(zhuǎn)移”這一方法來解決幾何問題的。

關(guān)鍵詞：線段；轉(zhuǎn)移；橋梁；關(guān)系

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）07-073-01

在幾何問題的證明過程中，我們常常會(huì)遇到要證明兩條線段相等的情形。然而很多時(shí)候，要證明的這兩條線段相等的跡象并不是十分明顯，甚至看上去連一點(diǎn)關(guān)聯(lián)都沒有。遇到這種問題，我們就要想到是否可以先證明它們都與另外一條線段相等，把這條線段作為連接它們相等關(guān)系的“橋梁”。這其實(shí)就是把這兩條線段進(jìn)行了位置或關(guān)系的“轉(zhuǎn)移”的一種解題技巧。例如：

例1、已知：如圖1，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.

求證：AC=BF.

分析：欲證AC=BF，如果按照我們常規(guī)的思路，只須證明AC、BF所在的兩個(gè)三角形全等即可.然而我們由圖上可以看出，圖中顯然沒有含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形，即AC、BF看不出有任何聯(lián)系。但如果我們利用作輔助線的方法，把BF進(jìn)行一下“轉(zhuǎn)移”，即作CH∥BF，且與AD的延長線交于點(diǎn)H，這時(shí)就有△BDF≌△CDH，于是可得BF=CH，這時(shí)我們便很容易發(fā)現(xiàn)AC與CH都是△ACH的兩條邊，我們只需證明△ACH是等腰三角形，即證明AC=CH，這樣，我們便把明明沒有任何關(guān)聯(lián)的兩條線段BF與AC通過“轉(zhuǎn)移”變成互相有關(guān)聯(lián)的兩條線段了，即是把BF“轉(zhuǎn)移”成為CH，再通過CH這一“橋梁”，從而達(dá)到我們證明的目的.具體證法如下：

以上兩例都是把問題中的其中一條線段進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”。由以上的兩個(gè)例題可知，“線段轉(zhuǎn)移”這一方法在幾何證明中只要我們運(yùn)用得當(dāng)，它能給我們的解題過程起著極其重要的“橋梁”作用。我們在許多類似的幾何問題中，只要我們會(huì)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這一“橋梁”關(guān)系，它將會(huì)使我們的幾何證明從復(fù)雜變?yōu)楹唵危瑥臒o關(guān)系變?yōu)殛P(guān)系密切。從而讓我們的許多難題得到完滿的解決，使我們能更加順暢地在幾何瀚海中遨游。