巧借“垂直”證明圓的切線

賈青

（南京市中橋中學）

巧借“垂直”證明圓的切線

賈青

（南京市中橋中學）

運用切線的判定定理“經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明切線的關鍵是證明直線和半徑垂直.初中階段三類圖形中存在垂直：直角三角形中的垂直；等腰三角形中的垂直；圓中的垂直.利用等量代換，直線平行，三角形全等，可以巧借這些圖形中的“垂直”，證明直線和半徑垂直.

垂直；切線；圓

在初中數學（蘇科版）教材中，證明圓的切線有兩種方法.第一種是如果直線與圓的公共點沒有確定，那么，過圓心作已知直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于圓的半徑.簡稱“作垂直，證半徑”；第二種是如果已知直線過圓上一點，那么作出過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑，簡稱“連半徑，證垂直”.

方法二中的關鍵是證明切線和半徑的垂直.運用基本圖形的方法可以幫助我們快速尋找解題思路，完成證明過程.本文歸納出初中階段常見的垂直基本圖形，舉例闡述利用等量代換、直線平行、三角形全等途徑，巧借這些圖形中的“垂直”，證明直線和半徑垂直.

一、借等腰三角形中的垂直

例1 如圖1，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是弧AC的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交BC、BA的延長線于E、F．求證：EF是⊙O的切線.

圖1

圖2

方法解析：如圖2，連接OD，交AC于點G，由AB是⊙O的直徑，得∠ACB=90°，得知AC∥EF，連接OC，由圓心角∠DOC=∠DOA、OC=OA，根據等腰三角形“三線合一”的性質可以得到OG⊥AC，然后利用AC∥EF得到OD⊥EF，從而完成證明.在這個例子中，借等腰△OCA中“垂直”證明了切線.

二、借直角三角形中的垂直

例2 如圖3，在△ABC中，∠CAB=90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，點E在邊AC上，ED=EA．求證：直線DE是⊙O的切線.

圖3

圖4

圖5

方法解析：方法一，如圖4，發現∠BAC=90°，利用△EAO≌△EDO，得證∠EDO=∠BAC=90°；方法二：如圖5，連接AD，先利用EA=ED、OA=OD，得∠EAD=∠EDA、∠OAD=∠ODA，再用∠EAD+∠OAD=90°等量代換得證∠EDA+∠ODA=90°.通過對比，引導學生發現：方法一比方法二更便捷一些，“明借”比“暗借”更好些，暗示學生應該熟悉基本圖形，借“明”不借“暗”.無論哪種方法，都是從直角△ABC中借得“垂直”，只不過途徑不同，方法一是全等，方法二是等量代換.

三、借圓中的垂直

例3 如圖6，△ABC內接于⊙O，點D在半徑OB的延長線上，∠BCD=∠A.求證：直線CD與⊙O的切線.

圖6

圖7

圖8

圖9

方法解析：如圖7，依托直徑所對的圓周角是直角，構建出垂直；如圖8，利用半圓所對的圓周角的和90度得到垂直.利用這些垂直可以證明OC⊥CD.當然，構造垂直的途徑也不是唯一的.比如，如圖8，此題可以構造等腰三角形，借到垂直.

證明圓的切線是中考熱點，同時也是難點.利用基本圖形，快速尋找垂直，可以極大縮減學生思維有序化的過程，減少學生優化思維過程的障礙，幫助他們成功解決問題.同時，也能減輕學生對圓的知識的畏懼心理，提高他們學習數學的積極性.

·編輯 孫玲娟