高中數學中“分類討論”的思想方法

蘇懷堂

（北京市第二中學亦莊學校）

高中數學中“分類討論”的思想方法

蘇懷堂

（北京市第二中學亦莊學校）

分類討論的思想方法在高中數學中占有重要的位置，特別是在高中代數中的作用更加突出。其題目大致分為三類：對所求的變量（或代數式）在其范圍內分類討論；對主變量在其范圍內分類討論，求參變量的范圍（或值）；對參變量在其范圍內分類討論，求主變量的范圍（或值）。

分類討論；主變量；參變量

分類討論的思想方法在高中數學中占有重要的位置，特別是在高中代數中它的作用更加突出。下面對以上三種類型分別進行探究：

一、對所求的變量（或代數式）在其范圍內分類討論

例1.若集合A＝｛x|ax2-2x＋1=0｝（a∈R）只含有一個元素，則實數a的取值范圍是［0，1］

解析：由已知，關于x的方程ax2-2x＋1=0只有一個實數根，故應分a=0與a≠0兩種情況討論。

當a≠0時，由Δ=0得a=1，此時方程只有一個實根x=1。

綜上所述，a的取值范圍是［0，1］。

綜上所知，原不等式解集為｛x|-3≤x≤1｝。

由以上例題可知，對所求的變量（或代數式）在其范圍內分類討論時，由于每個結論都符合題意，結果要求并集。

二、對主變量在其范圍內分類討論，求參變量的范圍（或值）

分析：本題中x是主變量，a是參數。

由以上例題可知，對主變量在其范圍內分類討論，求參變量的范圍（或值）時，由于幾個結論要同時成立，結果要取公共部分，即求交集。綜上所述，a∈（-3，-1）。4

三、對參變量在其范圍內分類討論時，求主變量的范圍（或值）

例4.討論函數f（x）=ex（x2＋ax＋a＋1）的極值點的個數。

其判別式Δ=（a＋2）2-4（2a＋1）=a2-4a

①當Δ≤0時，即0≤a≤4時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上是增函數，此時f（x）無極值；

②當Δ＞0，即a＜0或a＞4時，f′（x）=0有兩個不等實根，設為x1，x2（x1＜x2）

當x∈（-∞，x1）時，f′（x）＞0，則，f（x）在（-∞，x1）單調遞增

當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，則f（x）在（x1，x2）單調遞增

當x∈（x2，＋∞）時，f′（x）＞0，則f（x）在（x2，＋∞）單調遞減

由上表可知，a＜0或a＞4時，f（x）有兩個極值點。

綜上所述，當0≤a≤4時，f（x）無極值；當a＜0或a＞4時，f（x）有兩個極值點。

由以上例題可知，對參變量在其范圍內分類討論，求主變量的范圍（或值）時，由于幾個結論相互獨立，結論分別成立。

綜上所述，發現高中數學中分類討論的題目符合基本本文所歸納的情況，而第三類情況出現的較多，高考中也經常涉及。根據分類的對象及所求對象的情況，我們把分類討論的題目類型主要分為三類：

一、對所求的變量（或代數式）在其范圍內分類討論，其結果要取并集；

二、對主變量在其范圍內分類討論，求參變量的范圍（或值），其結果要取交集；

三、對參變量在其范圍內分類討論,求主變量的范圍（或值），其結果是獨立的，也就是此時本題的結論。

［1］李冬明.高中數學中分類討論思想的探究［J］.數學學習與研究，2016.

［2］葉文.也談高中數學中的分類討論思想［J］.讀寫算（教育導刊），2014.

·編輯 李建軍