漫談初中幾何直觀

江蘇省如皋市吳窯鎮吳窯初級中學 石明建

漫談初中幾何直觀

江蘇省如皋市吳窯鎮吳窯初級中學 石明建

幾何是初中數學的重要組成部分，建立幾何直觀是幾何教學的重要指向。幾何直觀需要從幾何與直觀兩個角度去建立理解；通過幾何直觀的培養，關注學生想象能力與思維能力的提升，是幾何直觀建立的關鍵；幾何直觀具有數與形的雙重特征。通過幾何直觀的建立，應當看到數學知識建構背后的普遍意義。

初中幾何；幾何直觀；想象能力；思維能力；有效教學

在初中數學教學中，強調幫學生建立良好的幾何直觀有著重要的意義。幾何直觀有兩個關鍵詞：一是幾何，顯然，這里所說的幾何基本上指的就是初中數學學習中遇到的一些幾何圖形；二是直觀，這是一個心理學范疇的術語，有兩層含義——學生所能感覺到的幾何對象，以及在感覺基礎上對幾何對象形成的知覺結果，其中還包括一些數學思維的運用等。由此可見，關注并培養學生的幾何直觀，其實是從表面與實質兩個角度培養學生的數學學習能力，顯然這是有效教學的重要組成部分。那么，在初中數學教學中，如何理解并有效培養學生的幾何直觀呢？筆者對此進行了梳理：

一、幾何直觀是培養學生的想象能力

提出這個觀點時，筆者起初也有一些遲疑。因為直觀更多地給人的感覺是直覺思維，其與學生的想象能力培養又有什么關系呢？可是在教學實踐中的一些事例，又不斷地讓筆者產生這樣的感覺。后來一加梳理，才發現幾何直觀與學生的想象能力及其培養之間的關系實在是十分的密切。

眾所周知，幾何研究的直接對象是“形”，而描述“形”的數學語言除了文字之外，其實就是數及數的關系。在初中數學教學中，幾何內容是怎樣呈現在學生的面前的呢？很簡單，最直接的呈現就是實際物體（要演變成平面圖形），當然也有一些不需要實體（教具）的呈現，因為這一類型的幾何特征實際上已經為學生所熟悉，只要教師說出正方形，學生思維當中就會迅速地出現正方形的表象，從而可以順利地進行思維加工。但如果在新知識的學習中出現一些概念時，學生的直覺思維就跟不上，這個時候就需要想像能力的參與。

比如，在“平行線的性質”學習中，有同位角、內錯角與同旁內角等概念，由于是新學的概念，因此學生加工起來就不那么順利。這個時候如果借助于學生的想象能力，多利用平行線及這三個角的概念，讓學生不斷地重復這三個角在平行線中的某一個位置，一段時間之后就可以讓學生的思維更迅速地加工這些概念，并從中得出平行線的性質等知識。

綜合地說，幾何直觀原本就是想象能力的產物，用課程標準解讀中的相關描述來說，“幾何直觀就是依托、利用圖形進行數學的思考與想象”，在初中數學教學中如果時刻記住這樣的論述，會讓幾何知識的教學變得更為有序，更為科學。

二、幾何直觀是數形雙重特征的學習

在上一點的論述中，已經點明了幾何直觀的建立實際上與數及形有著密切的關系，而這一點恰恰也是容易被教師所忽視的，相應地如果教師不重視這一認識，那學生自然就無法形成這樣的認知，這對學生理解幾何知識的學習，對學生幾何直觀的形成是沒有好處的。

數學研究中早就有了一個共識，那就是“除了美術之外，只有數學學科，才將圖形當成主要的研究對象”，而數學語言中最精確的語言就是數（這里的數是一個寬泛的概念，包括數字、符號以及數的運算規則等）。事實上，如果在初中階段的幾何知識學習中建立全面的數與形的關系，對于學生將來建立向量等概念也極有好處。筆者曾經跟高中數學教師做過交流，很多學生到了高中之后學習向量時常常手足無措，因為在他們的印象中，數與形從來沒有以這樣的面目出現在一起。后來筆者就思考，如果在初中階段就滲透這樣的認識，那學生在未來的數學知識建構中就可以少一些困難。

因此，在初中幾何直觀建立的過程中，需要讓學生認識到幾何圖形與數及數的運算之間有著密切的關系，如現行數學教材中強調讓圖形動起來，強調通過變換來幫學生建立幾何直觀，其實就已經蘊含了數形結合的思想。至少，圖形的本身就是用數來描述的。

我們說幾何直觀具有數形的雙重特征，還有另一層思考，那就是這樣的界定對于培養學生的數學思維也有幫助。數學思維不是簡單的數學邏輯運算，數學思維更多的是以數學思想方法為魂，以數學知識內容為血肉的整體。在幾何直觀建立的過程中，學生必然會借助于自己的思維去將具體事物抽象成圖形，進而再用思維去加工圖形，并調動原有認知中數的關系去描述圖形。如果遇到了陌生的問題，還會嘗試去猜想、解釋等，而這又是一個運用思維的過程。總而言之，幾何直觀由于其簡潔性、直觀性，可以有效地調動學生的思維參與到幾何數形關系的加工中來，可以培養學生的思維能力。

三、由幾何直觀的相關論述思考教學

幾何直觀是初中數學教學中的一個重要內容，數學研究中對幾何直觀的論述可以說是相當豐富的，這里既有數學家希爾伯特對幾何圖形的大加贊譽：圖形可以幫我們發現、描述研究的問題，可以幫我們尋求解決問題的思路；可以幫我們理解和記憶得到的結果。也有《義務教育數學課程標準》（2011版）對幾何直觀核心地位的確定。筆者思考的是，作為一線普通數學教師，從中應當得到什么樣的啟發呢？

細細思考后筆者至少可以確認一點，那就是初中數學教學需要透過課本知識看到背后的數學本質，這個數學本質可以是指向數學建模的，可以是指向數學邏輯的，也可以是指向數學思想方法的。在數學教學中，透過數學知識的教學，看到這些方面對學生成長所具有的價值，可能才是借助于幾何直觀的研究以洞察數學教學本質的應當具有的意義。

除此之外，對幾何直觀的認識還讓筆者意識到，在初中數學教學中，不僅是幾何知識的教學需要建立直觀，其實代數知識也是需要建立直觀的，盡管其沒有以一個專門的名稱出現，但類似于直覺思維的直觀，原本就應當是數學教學的重點內容，只有當學生對一個數學知識的運用有一種直覺性的敏感時，才能較好地把握問題解決的方向。當然，幾何本身也是運用代數知識來解決的，將幾何與代數截然分開也沒有太大的必要，不過堅持培養學生的直觀能力，肯定是數學教學的基本方向。

以上是筆者對初中數學教學中幾何直觀的有效建立的淺顯思考，不當之處還請專家同行批評指正。

[1]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式——對《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一點認識[J].課程.教材.教法，2012（7）：92-97.

[2]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養的認識與分析[J]. 中國數學教育，2012（z1）：23-25.