從數學知識到數學思想的實現途徑
——以“集合”知識的教學為例

江蘇省海門實驗學校 陳麗華

從數學知識到數學思想的實現途徑
——以“集合”知識的教學為例

江蘇省海門實驗學校 陳麗華

高中數學教學中，要從理論與實踐兩個角度同時重視數學思想。數學思想需要依靠數學知識而存在，在數學知識構建與利用數學知識去解題的過程中，可以尋找滲透數學思想的契機。作為數學教師，自身需要認清數學知識與數學思想的關系，然后在教學實踐中引導學生實現知識向思想的轉化。建立以數學思想為主線的教學，可以促進學生解題能力的提升，可以培養學生的核心素養。

高中數學；數學知識；數學思想；實現途徑

高中數學教學中，數學思想已經越來越受到重視，目前已經形成的一個定論是：數學思想不是空泛的，數學思想是依賴著具體的數學知識而存在的。于是在數學知識與數學思想之間就存在一個依存關系，數學教學中，數學教師的一個重要任務，就是將這種依存關系準確地呈現給學生，這種呈現過程就是經由數學知識的學習生成數學思想的過程。顯然，這個過程越科學，學生就能越自然地從數學知識學習中感受到數學思想。本文試以“集合”知識的教學為例，談談實踐中的一些淺見。

一、數學知識與數學思想的關系分析

數學知識與數學思想的關系看起來并不復雜，最常見的隱喻就是將數學知識比作一個人的軀體，而數學思想則是一個人的靈魂。但在實際教學中，這種關系要想清晰地呈現出來卻并不容易，因為從教師對數學知識與數學思想的關系的分析，到具體的教學實踐，都需要做過細的工作。

“集合”是高中數學的基本內容，但基本卻并不意味著簡單，且不說集合本身作為異于學生已有數學知識的內容，已經表現出一種復雜性；就是從數學思想的角度來看，其所包含的思想也是豐富的。有人說，數學中引入集合語言之后，現代數學就有了最基本的語言，這一點并不夸張，因為后面相當一部分知識其實都或明或暗地建立在集合的基礎之上的，最明顯的可能就是函數知識了。因此，對于集合的教學，不僅需要認識其知識本義，還要借助其去理解數學思想，從而在高中數學的入門之時，奠定堅實的數學思想基礎。

簡單地羅列了一下，集合知識的學習中可能會遇到這樣的一些數學思想：一是分類討論的思想。這是數學中的基本思想，集合知識的教學中，需要分類討論的情況非常多，同行們一般比較熟悉，這里不贅述；二是化歸思想。在義務教育階段的數學教學中，化歸思想的體現一般不夠顯性，學生的認知也處于非常隱蔽的狀態。而到了高中，化歸思想已經成為學生建立知識之間的邏輯關系認識，以及與數學問題解決相關的最常見的思想之一，一個數學問題的已知條件與所求之間，就是要以化歸為邏輯主線。集合知識中簡單如求A={1，2，3，4}的子集，就需要用到化歸思想；三是轉化思想。轉化思想是將復雜問題簡單化的重要思路，而這就需要學生擁有這種轉化能力。集合知識中這樣的問題也很常見，如已知一個非空集合A?{1，2，3，4，5，6}，且當a∈A時，總有（6-a）∈A，求滿足這樣的條件的集合A的個數。這個問題的解決顯然難以直接進行，需要的是學生通過轉化的思路，將其轉換成簡單問題。本題最簡單的方法是通過特殊賦值的方法，發現集合中的元素成對出現的特征，然后即可比較順利地求解。

當然，除了上述三種思想之外，集合知識的教學中還有求異求同思想、對應思想等，限于篇幅，不一一贅述。

二、數學知識到數學思想的教學實踐

對于教師而言，最需要研究的就是在實踐中如何有效地實現數學知識向數學思想的過渡。這里，筆者想基于教學實踐談談一些個人的淺見。

第一，數學思想存在于具體的數學知識教學之后。在集合知識的教學中，考慮到其是學生進入高中后學的第一個基礎性的知識，因此首先還是應當立足于集合及其他相關概念的構建，在學生建立了基本的集合知識認識之后，在學生利用集合知識解決一些基本問題的時候，就可能讓數學思想逐步呈現出來。比如說讓學生解決一個簡單的問題，如已知-2∈{x，x+2，x2}，要求x的值，如果純粹地只滿足于求得x的值，那本題的教學價值就得不到充分的體現。而如果挖掘其數學思想的含量，就要從分類解決此問題的基本思路中發現之所以要分類，是由于集合中的元素具有確定性與無序性的雙重特征，因而只有通過分類討論才能最終解決問題。因此就可以讓學生發現分類思想在集合知識中的運用環境，這就是分類思想教學的一個契機。

第二，數學思想是數學知識教學之外的另一條主線。高中數學教學中關注數學思想，一個重要方面就是將數學思想的重要性看得與數學知識的構建，以及與解題能力的提升一樣重要，這個觀點坦率地說，是說起來容易做起來困難。因為數學思想要成為主線，意味著教師在教學中需要花出更多的精力去分析數學知識中存在哪些思想，哪些思想又存在教學的可能。如集合知識的教學中，一個挑戰就是集合知識本身對于學生來說已經有了一定的難度，那么還有沒有余力，有沒有必要去實現其思想教學。除了像上面第一點中提到的簡單例子之外，其他場合又如何實現數學思想的滲透呢？筆者以為化解這個問題的關鍵在于認清數學思想的價值，這個價值既包括解題能力提升的價值（現實需要性），也包括學生數學素養提升的價值（成長需要性）。而建立在此基礎上的數學思想教學契機就更容易被發現，其實，集合概念本身的構建就有一個重要的數學思想——概括。數學中的概括有多重要，相信不要筆者多言。

三、用數學思想引領數學知識的教學

應當說，在高中數學教學中，將數學思想提升到一個高的層次，并不完全是為了呼應課程改革的相關理念——課程改革行走至今，可以說是贊揚與批評之聲并存，作為國家教學意志，面臨這樣的情況，讓一線教師很是無所適從。但筆者認定的一點是，一個理念如果從理論上來說是正確的，從現實來說是需要的，那這樣的理論無論怎樣批評，都是需要堅持的，而數學思想就是其中之一。

在高中階段的教學中堅持數學思想，意味著在學生中學階段的最后一段時光，意味著在固基的最后一個環節，可以讓學生接受最理性學科的最重要的思想教育，這顯然是學生成長的需要。學生到了生活當中，可能不會具體用到集合等概念，但一定會用到其中的分類思想，一定會用到轉化思想，這就是數學思想的遷移價值，而所謂數學核心素養，也可以進行這樣的通俗解讀。

總之，在高中數學教學中需要重視數學思想的價值，這種重視不能只是口頭上的重視，一定要是實踐中的重視。

[1]陳鸞.如何在高中數學教學中滲透數學思想和數學方法[J].課程教育研究.2016（11）：137-138.

[2]高興亮.滲透數學思想方法在高中數學函數教學中的應用[J].數學學習與研究.2016（11）.