高中數學概念教學再思考

江蘇省石莊高級中學 朱玉群

高中數學概念教學再思考

江蘇省石莊高級中學 朱玉群

概念教學是高中數學教學研究的重點，基于學生的認知特點去研究概念教學是本研究的生命力所在。從概念建立的必要性出發，思考如何抓住概念本質，并進行有效的概念應用，是概念有效教學的三個基本環節。

高中數學；概念教學；思考

高中數學概念的教學仿佛是一塊結實的骨頭，總是有營養，卻也總難嚼得爛。可以說有了系統的數學課程的學習，就有了對數學概念教學的研究，縱觀數十年來的數學概念教學研究，會發現其中既有相通的地方，也有相異的地方。而結合學生的認知基礎，研究學生的認知經驗如何有效地支撐數學概念的構建，則是數學概念研究的源頭活水。從這個角度講，不管到任何時候，數學概念的教學研究，一定都會具有生命力。基于這樣的認識，結合近年來高中數學教學的一些經驗，筆者試再就概念教學做出一些理解。

一、注重概念建立的必要性

筆者注意到，高中學生在數學學習中是非常注重邏輯性的，只有在邏輯上滿足了一種自洽，學生才會感覺到一個數學概念有其存在的意義，而其后的學習過程才會少一些有形或無形的心理障礙。一旦學生認識不到數學概念的意義，有時對他們的影響幾乎會伴隨整個高中數學學習的過程。因此，讓學生認識到數學概念建立的必要性，本身就存在著非常必要的地方。

比如說“橢圓”概念的教學，橢圓在學生的認知經驗中的地位比較有趣：一方面現實生活中存在的橢圓并不多，另一方面學生認為不正圓的圓都叫做橢圓，如讓學生舉例的時候，學生經常會想到鴨蛋的形狀等。那么，是不是因為生活中存在的一些非正圓的情形，所以才需要學習橢圓呢？答案顯然不是這樣的簡單。因此，對于橢圓概念建立的必要性需要花一點功夫。筆者的做法說出來倒也不新奇，就是從讓學生回憶如何作圓開始，學生能夠很迅速地回答出：到一個點的距離為定值的所有點的集合為圓，然后進一步提供給學生一個釘子和一根沒有彈性的細線，問他們如何作出一個圓。這個幾乎是小兒科的要求，自然難不倒學生，這個時候可以讓學生到黑板上演示一下，以形成具體的作圓表象。在此基礎上提出新的問題：如果將一根細線的兩端系于兩個釘子之上，并使其間的距離小于細線的長度，則在用粉筆繃緊了細線之后，粉筆運動的軌跡會是一個什么圖形呢？

這個問題是學生此前幾乎沒有想過的，而這樣的問題又可以促使學生先在大腦中構思相應的圖形，待到橢圓的形狀出現之后，再回過頭來讓學生思考：生活中真正滿足這一要求的圖形一般出現在哪里？這個時候學生思維中就不再是模糊的橢圓認識，而是具有數量關系的認識了。他們不會輕易認為鴨蛋的外形就是橢圓，同時又會詢問哪里會有真正的橢圓。這個時候教師提供行星、衛星軌道計算的例子，提供天文學家對天體觀察后記錄的數據并計算出了行星軌道的例子，這樣學生心中就會生成自然界竟然還有這樣的規律的認識，從而激發橢圓概念學習的動機。

二、基于認知基礎理解本質

高中數學概念的學習是要追求本質理解的，也就是說概念學習不僅僅是概念定義的記憶，而應當是在豐富感性經驗支撐的基礎上去理解概念。這個過程，一定是學生基于原有認知基礎去構建概念理解的過程。

簡單如上面的橢圓概念：“平面內到定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的動點P的軌跡”所能夠構建出來的是一個想象表象，而讓學生動手做一下則是基于體驗構建出來的真實表象，其效果是不一樣的。

而對于一些更為抽象的數學概念，則需要教師做出更多的引導。如函數的單調性的教學，很多時候教師都在強調當自變量x進行“對稱取值”時，如果得到相同的函數值，那么這個函數就是偶函數，如果得到的函數值互為相反數，那么這個函數就是奇函數。這樣的理解是直接基于定義的，對于部分學生來說沒有問題，可以讓他們理解函數的單調性的本質，但對于另一部分數學基礎較弱，思維能力較弱的學生來說就存在著困難。這個時候如果能夠更好地調動這部分學生原有的認知經驗，則可以讓他們更好地理解概念本質。

筆者的做法是比較，讓學生回憶絕對值，這是這部分學生比較熟悉的一個知識點，學生容易發現絕對值可以將互為相反數的數變成同一個值，而這樣的特征與偶函數恰恰具有相似之處，于是學生能夠在形似的基礎上發現神似，從而實現從絕對值特征向偶函數特征的思維遷移。這只不過是在函數單調性教學中打個比方，但對于一部分學生來說卻是發現了偶函數的特征，從而促進了他們對函數單調性本質的理解，筆者以為這樣的教學是有效的。

從這個例子可以發現，高中數學概念教學中的本質理解，并不在于過多的花招，而在于發現學生在理解概念本質時所遇到的困難，并從他們的認知基礎中尋找到他們熟悉的知識點來促進這種數學特征的遷移。也就是說，只有基于學生認知基礎的概念理解，才能促進學生把握概念本質。

三、概念應用的有效性關注

利用概念的應用去促進學生對概念的理解，也是概念教學中常用的手段。只是這個概念的應用卻大有研究空間，因為概念應用本身就有有效與無效的可能，如果概念應用本身就是無效的，那么自然就無法促進學生的概念理解了。這一現象最基本的體現就是：讓學生直接根據概念的定義去對某些事例進行判斷，符合定義的則判定為對，不符合的則判定為錯。這種基于概念定義的描述而做出的判斷，其實構建的是學生的一種抽象理解，對促進概念理解來說其實作用不大，其最終能夠起作用，實際上是重復的結果，并不意味著學生真正懂了這個概念。關于這一點，不舉例贅述了。

真正有效的概念應用應當是遵循“變式”原則的，變式是數學教學的重要思想，是通過變換概念的非本質特征而凸顯概念的本質特征。關于變式教學在概念中的應用，研究者很多，暫不舉例說明。而概念應用還可以考慮情境原則，即給學生一個新的情境去運用概念，比如當我們提出如何證實鴨蛋的外形是或不是橢圓時，有學生就提出去尋找其焦點，然后看是否符合橢圓的定義。這樣的情境遷移有助于學生理解橢圓概念時有一個完整的形象思維過程，因而學生對概念的理解一般會比較完整。

綜上所述，高中數學教學中概念教學的有效性，需要從概念建立的緣起，需要從概念本質與概念應用等角度入手，從而建立起一個相對完整的概念理解過程，這樣才能有效的概念教學。

[1]張永杰.基于“反思”的高中數學概念教學策略分析[J].數學教學通訊，2016（24）.

[2]殷天文.新課標下高中數學概念教學探析[J].成才之路，2016（3）：30-30.