《直線的傾斜角與斜率練習課》教學實錄及其點評

張勇　江潤川

【教學內容】

人教版高中數學必修二第三章《直線與方程》的練習內容。

【教學過程】

一、知識整理

1. 直線傾斜角的取值范圍

師：同學們，前面我們已經學了直線的傾斜角和斜率的知識，現在我們回顧“所有的直線都有傾斜角嗎？”“它的取值在什么范圍？”

（教師用投影機將題目投影出來，學生用1分鐘的時間在練習，然后教師提問。）

生1：所有的直線都有傾斜角，而且它的取值范圍是[0°，180°）。

【點評】教師通過回顧舊知識，讓學生重新回憶直線的傾斜角和范圍的知識。

2. 直線的斜率與傾斜角的關系

師：答得好。那是否所有的直線都有斜率嗎？（讓學生思考2分鐘，然后教師提問）

生2：不是。

師：怎樣的直線沒有斜率？（傾斜角滿足什么條件的時候，直線沒有斜率？）

生2：直線的傾斜角為90°時，它的斜率不存在。

師：在斜率存在的情況下，直線的斜率k與傾斜角α有什么關系？

生2：k=tan α

師：上面的是通過直線的傾斜角求直線的斜率，還有其他方法求直線的斜率嗎？

生3：已知直線上的任意兩點可以求斜率。

師：若直線l上的兩個點A（x1，y1）、B（x2，y2），它的斜率k怎么求？

生3：k=。

師：以上求斜率的兩種方法要滿足什么條件？

生3：兩種方法都要斜率存在，也就是第一種要傾斜角α≠90°；第二種要x1≠x2。

【點評】通過教師的引導啟發，讓學生回顧直線的傾斜角的取值范圍及斜率的兩種計算方法和每種方法所需要滿足的條件。

二、基本練習

師：用上面的知識進行練習（用投影將下面的習題投影出來，讓學生去解答）

（學生練習10分鐘）

1. 判斷題

（1）直線x=1沒有傾斜角。（ ）

（2）若θ是直線l的傾斜角，則θ∈[0°，180°]。 （ ）

2. 選擇題

已知直線經過點A（1，4）和B（1，2），則直線AB的傾斜角（ ）

A. 0 ° B. 30° C. 60° D. 90°

3. 填空題

已知直線l的斜率為1，則它的傾斜角為 。

4. 解答題

已知直線l經過點A（2，3）、B（t，-1）且傾斜角為45°，求k的值。

（學生完成練習后，教師投影答案，經過學生練習后，學生總體上掌握得比較好，只是選擇題相對比較難，由于學生缺乏數形結合的數學思想，但經過教師的點撥后問題解決了。）

【點評】教師讓學生在具體的練習過程中體現知識的運用，同時通過練習檢測學生的課堂學習效率。

三、專題練習

師：同學們，以上的基礎題完成得很好，下面我們就進行有關的專題練習，看看怎樣？（用投影將下面的專題習題投影出來，讓學生思考并解答，最后教師提問。）

例：若直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是（ ）

A. [0°，90°] B. [90°，180°]

C. [90°，180°] D. [0°，180°]

學生思考5分鐘后，教師提問：這題如何解決？

生4：本題不知道直線的斜率，也不知道直線上的兩點的坐標，覺得很難求直線l的傾斜角范圍。

師：上面基本練習的選擇題，我們用了什么數學思想？

生4：數形結合的數學思想。

師：按照題目的條件畫出直線，能否看出這條直線的傾斜角是什么角？

生4：我畫出的直線的傾斜角是鈍角。

師：鈍角的范圍是什么？本題的答案是什么？

生4：故本題選 C。

變式訓練：求過點A（0，2）和點B（-2，a2）（a∈R）的直線的斜率的取值范圍。

【點評】學生通過畫出點B（-2，a2）所在的射線線x=-2且y≥0，然后用射線的點和點A連接，主要看所成的角的大小變化，而決定斜率的變化，這樣問題就會得到解決了。通過實踐，學生深深體會到數形結合的數學思想對于解答數學問題，有時候比較簡單。

四、綜合練習

師：同學們，前面我們已經練習了一些基本的和有關專題的練習，下面我們進行一些綜合性的練習，不知大家對知識掌握得怎樣？能從中找出一般的解題規律？（用投影將下面的習題投影出來，讓學生去解答，學生練習15分鐘）

例1：直線l過點（k+1，2）和（k+2，tanα），則（ ）

A. 一定不是直線 的傾斜角

B. 一定是直線 的傾斜角

C. 一定不是直線 的傾斜角

D. 直線l的傾斜角是180 °±α

例2：已知三點的坐標分別是A（3，-1）、B（5，1）、C（2，t），若A、B、C三點共線，求t的值。

（先個人做，后小組討論）

例3：已知點M（1，1）、N（2，-1），問x軸上是否存在點P，使得∠MPN=90°？

（學生練習后，第1、2題還是做得不錯，但是第3題覺得難以入手，教師啟發解題）

師：同學們，當∠MPN=90°時，你們按照題目要求畫圖后，會發現直線MP和直線NP的傾斜角有什么關系？

生5：兩條直線的傾斜角之差的絕對值是90°。

師：那么直線的斜率有什么關系？

生5：根據類比可知，斜率之積為 （在斜率存在且不為0時），通過這樣的關系，可求得點P的橫坐標，從而求得P點的坐標。

師：學生的解題規律是怎樣？

生5：一般情況下，我們計算直線的斜率都通過直線的兩個點或者是直線的傾斜角都可以，但是有部分的題目我們通過數形結合的思想相對比較簡單。

【點評】通過訓練后，讓學生體會知識的靈活性和遷移性。

五、延伸練習

師：現在我們對知識掌握得比較好，把一些的高考試題或者難度比較大的題作為我們挑戰的試刀石，如何？

（教師把題目投影出來，讓學生思考后小組討論，教師再進行提問，最后是學生寫作答過程）

例1：已知點A（2，3），B（-5，2），若直線l過點P（-1，6），且與線段AB相交，求該直線l傾斜角的取值范圍。

例2：若有關于x的方程|x-2|-kx=0只有一個負的實數根，求實數k的取值范圍。

學生通過練習后，第1題，沒問題，而第2題學生覺得無從下手，這時教師提點：

師：通過這個方程，我們通過移項得到|x-2|=kx，求方程的根，也就是要求我們求哪兩個函數的交點？

生6：那兩個函數分別是f（x）=|x-2|和g（x） =kx。

師：你們能畫出它們的圖象嗎？有一個負數根，也就是兩個函數的圖象的交點要落在第幾象限？同時k要滿足什么條件？

這時學生通過畫出圖象，可以看出k只有滿足-1

生6：對于一些比較難的方程，我們通過變形，變成是兩個函數的圖像間的關系，也就是透過圖象去找出解題的相應規律。

【點評】教師通過引導學生構造兩個函數，再利用動直線的傾斜角控制動直線與定直線指定的象限有交點，從而達到求出動直線的斜率的取值范圍的目的。

【總評】教師通過這節課，簡單回顧和直線傾斜角與斜率求法。然后又通過基本練習和專題練習，將學生的基礎打扎實以及培養學生一定的解題的能力。再通過綜合練習，讓學生有綜合解決綜合性問題的能力，最后在延伸練習中，用部分相應的高考試題作為學生解題能力的“試刀石”，檢驗學生是否具備這種綜合性運用和解決有關高考試題的能力。而整個過程中，幾乎都是灌輸著數形結合的數學解題的思想。

在這個過程中，學生不但深深體會到數形結合的解題思想的優異性，也印證了學生通過這種模式的練習課，對知識掌握得還是比較好，學習效率也提高了。與此同時驗證了練習課的“五環節”的教學模式（知識整理——基本練習——專題練習——綜合練習——延伸練習）的教學效率是非常高，是值得我們同行的教學工作者借鑒的。

（作者單位：張 勇 廣東省廣州市增城區新塘中學；江潤川 廣東省廣州市花都區花東中學）