把握數學本質讓思考改變課堂

（莆田市秀嶼區笏石中心小學，福建莆田351146）

把握數學本質讓思考改變課堂

徐志鋒

（莆田市秀嶼區笏石中心小學，福建莆田351146）

數學課堂教學的核心是數學問題，數學問題決定數學思考的質量，影響學生對數學本質的掌握。有效的數學思考是把握數學本質的關鍵。本文就從數學思考如何改變課堂的角度進行闡述，以數學問題引領思考，以數學思想影響思維，把握數學的本質，讓數學思考改變課堂教學。

本質；思考；思想；素養

數學的本質是數學思維的符號語言。在課堂中，師生用對話的形式演繹數學問題的走向，這其中，有效的數學思考是把握數學本質的關鍵。不難看出，設置富有層次及邏輯推理的問題架構，是觸發學生獨立思考的核心。

思考的價值，是數學問題能否觸動學生的多維思索，能否激發學生的思維張力，能否激蕩學生的思考方向，從這個意義上說，重視有效問題的設置就是引發數學思考的關鍵。如何在有限的時間跨度里引領學生通過數學思考，進而把握數學本質，提高學生的數學素養，是每一位數學教師需要不斷思索的問題。

一、“分”層遞進，“數”概念本質——讓數學思考全面發生

康托爾說：數學的本質在于它的自由。要做到自由，教師的理念及教學定位至關重要。畢竟，開放的課堂要求教師要有極高的駕馭能力及掌控全局的視野，通常來說，這是不容易做到的。

通常而言，我們的數學課堂在學生的思考點上的設置還是重視不夠，在常態教學中，學生的思維空間比較逼仄。原因在于，教師在課堂上沒有提供清晰有力的架構。試以阮志強老師對傳統的《分數的意義》一課的演繹為例，咀嚼其中幾個片斷。

阮老師對分數概念的建構分為四大模塊：“說一不二”“心有靈犀”“巧思妙創”和“超級變變變”，使學生以多梯次的思維活動方式進行不斷的追思，經歷概念的形成過程，讓分數煥發真正的味道。

思考點一：請你寫上一個分數，同桌交換這個分數，想想看，這個分數表示什么？現在，請你用簡單的草圖表示同桌的這個分數。看看，哪些同桌“心有靈犀”？在學生匯報時，追問：在你畫圖之前，是怎么理解這個九分之四的？畫的圖和寫的分數對上了嗎？“數”與“形”的契合，正是學生對分數概念的抽象內涵與直觀模型的有效統一，體現了在開放包容的空間里主動學習的智慧。

思考點二：從下面九個正方形中任選幾個圈成一個整體，創造一個分數，并想一想你創造的分數表示什么？這是開放的數形結合題。一個學生經過思考，拋出：9個正方形，表示四分之一。教師問：這個圖表示四分之一，你看懂了嗎？看懂的舉手。舉手的寥寥無幾。全班學生陷入掙扎中：這個分數可以么？創造者闡述自己的思維成果：先把8個正方形均分成4份，2個一份，再把剩下的一個正方形均分成4份，把2個正方形和現在的小的正方形加在一起，就是9個正方形的四分之一。這確實是一個創新性的思維！

思考點三：兩本筆記本，占全部的五分之一，問：一共有幾本？怎么想？再取出兩本，占現在全部的幾分之幾？同樣都是兩本？為什么一個是五分之一，一個是四分之一？……一本的活頁，取其中的二分之一，多少？再拿二分之一？再拿二分之一？……說得完嗎？教師很自然地引出莊子的一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。問：讀懂這句話了嗎？學生：你有一根一尺的木棍，你每天取它的一半，你永遠取不完。多么深刻的領悟！

教學，往往需要教師有前跨的思維，又要有后退讓出空間的從容，提出引發深層次思考的問題，促進探究。

二、“面”向立體，“積”淀數學素養——讓數學思考經歷考驗

華羅庚說：新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要。隱性的學習目標總是容易被教師忽視，邏輯推理的方法、想象抽象的策略，建立在學生對數學的思考是否具有更為寬暢的空間。數學學習中，思考方向往往是難以捉摸的，過程是充滿曲折的，而這種經歷，對學生的數學學習來說，恰恰是最有價值的。羅鳴亮老師對“面積”的建構就是一波三折的過程。

羅老師以方格圖貫穿面積公式的建模過程，引導觀察、思考、辨析，摒棄了動手操作，注重學生的數學思考。方格圖分為三個層次：先出現完整的方格圖，讓學生猜6個面積1平方分米的正方形組成的圖形是什么形狀；接著是長方形長6、寬4中間沒有方格線的方格；最后是長9、寬8的長方形，層次中體現深度。而學生要從長9、寬8的一維中想象縱橫線上有幾個方格，求出小方格總個數，在一維與二維之間的切換，學生找到長方形面積的突破口，這里，方格圖起到了不可忽視的紐帶作用。

羅老師以不同的長方形素材進行多梯度的模型建構，讓長方形的形狀呈多重立體式，即長方形是以一定單位的小正方形組成的，溝通一維與二維的區別時，學生搞混了周長與面積的不同，認知出現了錯誤。羅老師不急不緩，引導觀察：長方形面積到底與什么有關？四個關鍵詞：每行個數、行數、總個數、面積之間存在的邏輯體系。學生在羅老師的巧妙牽引下，順利發現了一定數量的小正方形個數即面積的數量。花大力氣對面積模型進行層層建構，最后卻沒有總結出面積的公式，體現了教師對模型思想的重視。

本節課，“講道理”成為一大亮色。羅老師不斷追問：你是怎么想的？請你講道理好吧。就是讓學生從數學的角度思考，進行推理演繹，得出結論。整節課通過數形結合的表征，直觀呈現抽象的面積公式的本源：長方形面積為什么等于長×寬？這里的思維荒蕪地帶才是數學的本質：為什么要用長×寬？學生明白這樣的道理嗎？最后一個環節，還是以羅老師懸疑式的猜測結束：面積20平方分米的長方形，形狀是什么？5×4、10×2、20×1、40×0.5……閃爍著哲學中的變與不變思想及極限思想。

有深度思考的課堂，才能讓學生以理性的精神感知數學邏輯思維的奧妙！羅老師的面積模型建構過程，讓學生充分領略了“面積”就是“面之積累”，而不是所謂的公式記憶。這一模型思想深植在學生心中，其策略會遷移到長方體體積的演繹上：所謂“體積”，就是“體之積累”。從二維到三維的切換，正是知識及邏輯體系的一脈相承。換句話說，就是為學生設置一個動態的學習路徑。

三、“植”問題意識，“樹”模型思想——讓數學思考走向深刻

數學問題是課堂教學的價值支撐，問題引領的過程，就是體驗、感知、領悟的過程，有的經歷“輕舟已過萬重山”，有的經歷“山窮水盡疑無路”，固然沒有所謂的最好，但是，輕易接觸到的，學生的印象無法深刻，數學思想方法的滲透就無從談起。

以植樹問題為例。特級教師俞正強詮釋的《植樹問題》，切入點簡單明了，兩個問題：“20米，每5米分一段，共分幾段？”“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”學生通過對問題的思考，區分出平均分是一段一段的分，而種樹是種在段與段之間兩端的點上。

“點與段的差別在哪里？”問題的核心是讓學生抓住點與段的區別，借助線段圖這個直觀模型，明白植樹問題是一個怎樣的問題：植樹是植在點上的。俞老師所舉的例子有趣：“奧巴馬”是“樹”——美國選總統每5年選一個奧巴馬；“獎狀”是“樹”——每隔一學期一張獎狀。俞老師總結樸實：一個“正宗”，即兩端都栽；二個“方便”，即一端不栽、兩端都不栽。從有形的“樹”到無形的“樹”，歷經層層抽象，在多種復雜的問題中剝離非本質屬性，建構模型，完善除法的知識體系，幫助學生豐盈對數學知識的認知，感悟模型思想，培養學生具有獨立的、獨特的思維方式和思維品格。

會舉例，是證明學生思考成效的最好方式，它不是單純的模仿，而是通過各個不同方向、事物的表征，找到一般性的代表，為抽象出數學的模型揭示數學的本質打好基石。從這個意義上說，俞老師建構的課堂就有了思考數學本真的思想，他在教導學生做到：如何能夠超出生活經驗并學會數學地思維，特別是數學抽象。（鄭毓信語）而數學思想的蘊伏及體現，正如史寧中所說，數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的。這為我們的數學思考打下了思想的“底子”。

高效的數學課堂，應當看到學生成為“追問者”，追問問題的本源、尋找解決的途徑、參與流程的走向，經歷抽象建模的過程。這樣的課堂，才有真正的數學思考，我們期待。課堂中學生有獨立的思考，把握數學本質，提高數學素養。

［1］人民教育編輯部.教學大道——寫給小學數學教師［M］.北京：高等教育出版，2010.

［2］張丹.小學數學教學策略［M］.北京：北京師范大學出版社，2011.

［3］史寧中.數學思想概論——數量與數量關系的抽象［M］.長春：東北師范大學出版社，2008.

（責任編輯：陳志華）