提升探究意識，優化探究方法

程金元

摘 要：習題課教學強調解題能力的培養和提高，但并不是意味在課堂中或課下要進行題海戰術，而是要通過一些具有典型性、全面性的習題的探究，幫助學生形成一種學習方式，形成探究意識和方法，挖掘習題中隱藏的各種知識的網絡關系，加強對知識的理解和掌握.

關鍵詞：習題課；探究性學習；發散；化歸；引申；變式

習題課是我們日常教學中很常見的一種課型，它是根據學生近期學習中對于概念公式性質等數學知識模糊，或數學思維數學方法模糊的學情，特定安排的有針對性的解題教學課程，是數學學習中的重要環節. 問題是數學的心臟，習題教學就是教師根據學生的平時作業練習中暴露的問題引導學生探究解題的方法和技能，并形成數學意識和方法. 通過探究，激發學生的學習積極性和提高解題能力，優化學生的思維方式，提升學生的探究意識和合作意識，激活思維，啟迪智慧，增強學生的成功感和成就感. 它是新授課的補充和延續，以達到進一步鞏固數學基礎知識，形成解題技能、技巧和培養學生運用所學知識解決實際問題.

發散探究，一題多解

發散探究學習是教師在教學的過程中，指導學生以類似科學研究的方法去分析問題、解決問題，獲取知識，形成能力，要求學生對問題能從不同角度進行探索，開闊視野，激活思維，也即是對同一問題盡可能地鼓勵學生超越常規，提出多種設想和解答，一題多解的訓練.它不僅可以加深學生對所學知識的理解，達到熟練運用的目的，更重要的是擴大學生認識的空間，激發靈感，提高思維的創造性. 如在上完《圓錐曲線》中雙曲線一節的新課后，教師不妨在習題課中選擇以下例題學習，通過探究性學習以達到既復習鞏固舊知，又挑戰高考的目的.

例1 [2014·福建卷]已知雙曲線E：-=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=-2x.

（1）求雙曲線E的離心率.

（2）如圖1，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8. 試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由.

分析（1）：已知漸近線求雙曲線的離心率，一般學生會想到利用離心率公式直接解題，教師引導學生發散思維，聯想其變形公式，會自然產生另一種解法.發散思維，使學生既掌握知識，又形成常見的解題方法.

解：方法一：（1）雙曲線E的漸近線分別為y=2x，y=-2x，

故=2，所以=2，所以c=a，所以e==.

方法二：e=====.

第（2）問本身的高考要求就是探究，要求考生在有限的時間內，根據題意及所學知識探究發現結論，這種要求只有在平時的習題課中加強訓練，不斷提升學生探究意識，優化學生探究方法，才能達到.

（2）存在這樣的雙曲線E，使得總與l有且只有一個公共點. 理由如下：由（1）知，雙曲線E的方程為-=1. 探究方法，先特殊后一般. 先考慮特殊情況，即直線l與雙曲線E在右頂點相切.不妨設直線l與x軸相交于點C.

當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則

若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為-=1.

所以Δ=0，即l與雙曲線E有且只有一個公共點.

因此，存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為-=1.

以上教師對同一問題盡可能地鼓勵學生超越常規探究，提出不同的設想和解答，從而一題多解，不僅可以加深學生對所學知識的理解，達到熟練運用的目的，更重要的是擴大學生認識的空間，激發靈感，提高思維的創造性.

方法二：（1）同方法一.

（2） 當l⊥x軸時，S△OAB=8，可得l：x=2，且l與雙曲線E：-=1有且只有一個公共點.

當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=kx+m，與漸近線4x2-y2=0交于A（x1，y1），B（x2，y2），依題意得k>2或k<-2.

化歸轉化，多題一解

化歸與轉化是中學數學中重要的思想方法. 學生在探究學習中研究或解決問題的過程中，通過觀察、類比、聯想、分析、對比等手段，將待解決的問題歸結轉換成已經解決或比較容易解決的問題，其目的就是將數學中的問題由復雜轉化為簡單，陌生新鮮的轉化為熟悉成熟的. 運用化歸轉化探究時要遵循化繁為簡、化生為熟、等價轉換、正難則反、形象具體等原則. 如在學習完圓錐曲線一節后，習題中出現有多種不同類型曲線中點弦問題，教師不妨就這種問題設專題上習題課.

例2 已知雙曲線方程2x2-y2=2.

（1）過定點P（2，1）作直線交雙曲線于P1，P2，當點P（2，1）是P1，P2中點時，求此直線方程.

（2）過定點Q（1，1）能否作直線l，使l與此雙曲線交于Q1，Q2，且Q是Q1Q2的中點？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.

此類題有很多解法，其中比較優化的方法是“設點作差法”，即設弦與二次曲線的交點為（x1，y1），（x2，y2）代入二次曲線方程，通過作差，結合斜率公式、中點坐標公式，“設而不求”求直線方程的一種方法. 但也可以用“對稱變換”法求解，具體如下：

解：（1）若直線斜率不存在，即P1，P2垂直于x軸，根據雙曲線的對稱性，知弦P1，P2的中點應該在x軸上，而點P（2，1）不在x軸上，故直線的斜率存在.

設雙曲線方程2x2-y2=2①上一動點為（x，y），則該點關于點P（2，1）的對稱曲線為

2（4-x）2-（2-y）2=2②，①-②得，2x-y-7=0，此為所求曲線方程.

“對稱變換”解法轉化策略為：若以點P（a，b）為中點的二次曲線分f（x，y）=0①的弦存在，則它關于P（a，b）的中心對稱曲線為f（2a-x，2b-y）=0②，①-②得到的方程即是以點P（a，b）為中點的弦所在的直線的方程.

這種轉化化歸的思想方法，使學生不難發現解決第二問的辦法.

中點弦問題（含中點弦所在直線方程，弦中點軌跡問題）都可以轉化這種方法解決，當然，除此之外，還可以用“待定系數法”、“設點作差法”.

以下題目均為多題一解：

例3 已知拋物線y2=8x，過點P（4，1）作一直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點恰為點P的AB所在直線方程.

例4 求過橢圓+=1內一點P（2，-1）且被點P平分的弦AB的所在的直線方程.

引申推廣，發現規律

這一環節可設計與本節知識有密切聯系的綜合應用題，使學生通過練習明確本節知識點在整個單元數學中的作用，為拓展學生智能進行教學擴充、知識延伸. 教師要在課前精心設計教學過程，從學生的學習興趣出發，使學生在教師創設好的問題情境下，帶有激勵性和挑戰性地進行自主學習，達到認知過程和情感過程的統一，達到夯實基礎、學會方法、訓練能力、培養素質的目的. 還是以中點弦問題為例.

例5 橢圓+=1（a>b>0）弦AB的中點P（x0，y0），則弦AB與OP斜率之積為e2-1（斜率存在且不為0）.

運用“設點作差法”，學生不難探究出以下結論：

通過探究，師生發現優美的公式定理. 然后，教師再利用以上結論，解決例4. 達到舉一反三，回避題海戰術的目的.

變式遷移，訓練求同

學生對知識和技能的掌握，有時要經過反復訓練才能熟練應用. 教學中，應引導學生對知識的變式訓練，達到對本節練習知識熟練理解并形成正確遷移的功效. 只有在變式比較中，學生才能學會求同存異，才能學會一分為二地認識問題、分析問題、解決問題. 在變式中比較，從而突出教學重點，突破破教學難點，避免新舊知識間的混淆，提高學生知識的遷移能力，培養學生的反思能力. 變式訓練探究，還應該通過對原題目的變化延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，從而深刻挖掘例題、習題的教育功能，培養學生的創新能力.

例2變式拓展1

已知斜率為3的直線與等軸雙曲線x2-y2=6相交于P1，P2，求PP的中點P的軌跡方程.

例2變式拓展2

已知橢圓+=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓上存在兩個不同的點關于該直線對稱.

例3的變式1

已知拋物線y2=2x，過點P（2，1）作一直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點的軌跡方程.

例3的變式2

已知拋物線y2=4x上恒有兩點關于直線y=kx+3對稱，試求k的取值范圍.

限于篇幅，部分例題及變式解法省略.總之，習題課探究中離不開發散、轉化、引申、變式訓練，由此促進學生遷移. 建構主義認為，遷移是認知結構在新條件下的重新建構，當一種學習對另一種遷移起促進作用就是正遷移，否則就是負遷移，這種習題教學中探究就是要充分使學生實現思維從模仿向創造的轉移，由單向思維向多元思維的過度，形成正遷移，同時使學生不僅掌握知識，形成技能，而且提升數學思維水平，優化思維方法.