略談“三數”、“三差”教學的數學思想

當今時代迅猛發展，統計學已明顯體現其在現實中的重要價值。隨著新課程改革的不斷深入，統計學的知識越來越被重視。為了適應時代發展的需要，新課程專門編排了一章統計學內容，中高考必考統計學知識，因此，統計學中涉及到的平均數、中位數、眾數與極差、方差、標準差被分別稱為“三數”和“三差”。中高考對“三數”與“三差”的考查，也已由原來的單一計算演變為許多應用價值更高的新問題，解答這些問題，需要同學們站在數學思想方法的高度上來審視或探索。作為新課改的一線數學老師，更應高度重視“三數”與“三差”的教學，這并非為了同學們升學，而是為社會發展培養適用人才。為了同學們學好數學和同學們的終身發展，我認為有必須具備以下幾點數學思想。

一、數形結合思想

數形結合思想是中學數形教學的重要思想，用這種思想教學，便于學生理解，易于學生接受。如對于下面例一的教學：某校七年級200名女生的身高統計數據如下表一和圖一.

請你結合圖表，回答下列問題：

（1）、表中的p=_______ ， q=______ ；

（2）、請把圖（一）補充完整；

（3）、這組數據的中位數在第______組。

解析：根據頻數統計圖可以看出，身高在145cm～155cm的有60人，所以p=60，而身高在165cm～175cm的人數統計圖中沒有給出，我們根據總人數為200易知q=200-50-60-70=20，由q值可將圖（一）補充完整。再依據中位數定義可知，在排序的基礎上，中位數為第100位和第101位同學的身高的平均值，因為第一組同學有50人，第二組有60人，兩組共110人，所以第100位和第101位同學都在第二組內，于是，中位數也就在第二組。

“三數”是用來反應一組數據的集中程度，“三差”是用來反應一組數據的波動情況（離散程度），而集中程度以及波動情況都可以通過一些統計圖很形象、直觀地表現出來。

二、統計思想

現實生活和實際問題中，有些數字是無法獲得準確值的，只有根據實際需要，通過抽樣調查，從樣本中獲得“三數”、“三差”，再利用樣本中的“三數”“三差”估計總體所需要的近似值。用樣本來估計總體是統計思想的核心。如下面例二的教學：江蘇省（居住區供配電設施建設標準）規定，面積在120cm及以下的居民住宅，用電的基本配置容量（電表的最大功率）應為8kw。為了解某區該類住戶家用電器總功率情況，有關部 門從中隨機調查了50戶居民，所得數據（均取整數） 如表二。

（1）、這50戶居民的家用電器總功率的眾數是_____，中位數是_____；

（2）、 若該區這類居民約有2萬戶，請你估算這2萬戶居民家用電器總功率的平均值；

（3）、若這2萬戶居民原來用電的基本配置容量都為5kw，供電部門擬對家用電器總功率已超過5kw用戶的電表增容，改造為8kw，請計算該地區電表增容的用戶約有多少戶。

解析：（1）因為家用電器總功率為6kw的用戶最多，有16戶，所以眾數為6；又因家用電器總功率分別為2kw 、3kw 、4kw、 5kw 共有26戶，且5kw的有12戶，所以第25、26戶的家用電器總功率都為5kw（表中已排好序），即 中位數為5.

三、分類思想

解答“三數”與“三差”問題，往往存在數據大小關系的不確定性，這就需要分類思想對具體問題進行分類討論，值得注意的是：在具體討論時要做到不重復，不遺漏。如下面例三的教學：若一組數據1，2，4，ⅹ的極差為6，則x的值是（ ）

A、7 B、8 C、9 D、7或-2

解析：極差是指一組數據的最大值和最小值的差，在本題的已知數據中4最大、1最小，但x的具體值卻未知，所以4與x、1與x的大小關系無法確定，因此要分類來考慮：（1）當x<4時，這組數據的最大值為4，最小值為1，則極差是4-1=3，顯然不合題意，舍去；若最小值為x，則有4-x=6，解得x=-2.（2）當x=4時，這組數據的最大值還是4，最小值是1，已驗證不合題意，舍去。（3）當x>4時，這組數據的最大值是x，最小值是1，所以有x-1=6，解得x=7，因此選D。

四、方程思想

方程思想是中學數學教學最基本的思想，一般有關“三數”、“三差”問題，利用方程（組）容易解答。如下面例四的教學：某校九（1）班積極響應校團委的號召，每位同學都向“希望工程”捐獻圖書，全班40位同學共捐圖書320冊，特別值得一提的是，李明、王義兩位同學在父母的支持下，各捐獻了50冊圖書。班長統計了全班捐書的情況，如

（1）、分別求出該班捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數；

（2）、請算出捐書冊數的平均數、中位數和眾數，并判斷其中哪些統計量不能反映該班同學捐書冊數的一般狀況，說明理由。

所以該班捐獻7冊圖書的有6人，捐獻8冊圖書的有3人。平均數為320÷40=8，中位數為6，眾數為6，因為受到兩個50這一異常值的影響，所以平均數較大，它不能很好的反映該班同學捐書冊數的一般情況。

五、整體思想

整體思想既是數學思想，也是時下現實生活中解決矛盾問題的策略，現在講究和諧共處，合作共贏，通盤考慮，利用優勢。教學有關“三數”、“三差”問題，要有整體思想。

當一個問題中出現多個未知量時，可以利用整體思想來加以解決。

六、化歸思想

對于一些無從下手的問題，可利用化歸思想解決。如下面例六的教學：小聰在操場上做游戲，他發現地上有一個不規則的封閉圖形ABC，如圖二，為了知道它的面積，小聰在該封閉圖形的內部畫了一個半經為1m的圓o，且在不遠處向封閉圖形ABC投擲石子，記錄如表四，你能否求出封閉圖形ABC的面積嗎？試試看。

總之，新課改高喊素質教育，但應試教育的指揮棒仍在無形揮舞。盡管如此，我并非為追求升學率而教學，而為謀求學生的終身發展而孜孜不倦。我堅持從中高考試題中捕捉教改信息，了解教育動態。實際教學中，我立足學生終身可持續發展，以數學思想為導，以生生成人為主，以優生成才為重，極力推動素質教育，為真正全面實施素質教育搖旗吶喊！

（作者單位：安徽省肥東縣馬集學校）