淺談類比思想在高等數學中的應用

1 引言

人們在學習數學知識和傳授數學知識時都必須經歷探索，感知和發現的過程。研究數學的過程是我們不斷經歷再發現的過程。著名的法國數學家拉普拉斯曾說過這樣的一句話：類比和歸納一樣是探索數學真理，發現數學真理的主要工具之一。在數學中利用類比思想，可獲得以學生原有的認識結構為基礎，以學生為主體的探索實踐為核心，由此及彼，由淺入深使學生主動構建新知識，激發學生的學習熱情，增強他們的學習目的和學習效果；利用類比思想，可使學生通過對舊知識體系與待解決問題之間的聯系，以舊知識體系作為基礎，來發現和探究新問題，從而激發學生的思維，提高學生的數學思維能力。

“類比”一詞來源于希臘文“analogia”，愿意之一為比例。比如說 ，人們稱之為 比 與 比 可作類比，后來通過引申和泛化，把意思演化為類型相似。簡單來說，在某些方面形式相似的兩種對象之間的比較就是我們常說的類比。如上面提及的兩個比例一樣，它們具有相同的比值，人們就認為他們是可以做類比的，而相同的比值就是他們之間的相似性。我們把相似的兩種對象認為是可以做類比的。而現代認為，所謂的類比就是通過兩個研究對象某一方面的屬性（結構，地位，關系，特征，內容等）的相似或者相同之處比較多，從而猜測他們在其他方面的屬性也可能有相似或者相同的推理方法。即類比思想就是從當前的問題情形出發，通過分析找出類比情形中的相似點并以之為根據使新知識和舊知識之間形成合理的聯系，將已知對象的相關知識和經驗遷移到未知對象中，將原本熟悉的性質遷移到陌生的相似對象當中，通過這一方法，可以幫助我們發現新規律，得到新知識。

2 類比的一般模式與過程

由于類比往往是從一個已知事物的屬性推測另一個事物的屬性，所以類比的一般模式為：

若A事物具有性質a、b、c、d且它們之間的關系為R，B事物具有性質a'、b'、c'，此時如果a、b、c與a'、b'、c'相似，那么我們就可以推想B也具有性質d'且d'與d相似，同時a'、b'、c'、d'之間也存在與R相似的關系R'。

由于類比推理的結論具有或然性，若兩個對象的已知共同屬性越多，那么推理所得的結論就越可靠。進行類比的過程為：

步驟一：由被研究對象的某些特征聯想到具有相同或相似特征的另一對象。依據它們之間的相似性，合理選擇類比物；

步驟二： 明確類比物與研究對象之間的相似性；

步驟三：根據上一步明確的相似性規律對結論進行合理的假設和猜想。

特殊的，若使用類比思想方法進行建構，那么就無需遵從以上步驟，這時可以直接根據所給對象的某些顯著特征來確定類比的方向，從而進行與之相似的建構。如

3 類比思想在高等數學中的應用

在數學中，有時候會因為問題比較復雜，導致一時無法直接找到解決方法，這時就可以用類比思想方法，先尋找該問題的類比問題，該類比問題最好是已知知識或者比原問題容易求解，從而通過類比問題的解法類比出原問題的解法。

3.1 橫向類比

橫向類比是以兩種數學對象在一些方面具有相似的某些構造和性質為前提，推斷這兩種數學對象的構造和性質在其他一些方面也相似。

3.1.1 降維類比

在線性空間中，直線是一維空間，平面是二維空間，立體是三維空間，依次類推，我們有 線性空間。

3.1.2 減元類比

減元類比是指在解決所含元素較多的復雜問題時，可以通過類比與之相應的所含元素較少的問題。如我們在研究二元函數的微分定義時可類比一元函數的微分定義。

類似地學習二元函數微積分其他概念時可以通過減元類比一函數微積分的相關概念。詳見文章。

3.1.2 結構類比

結構類比就是通過對待解決問題的定義和性質進行分析，然后利用該問題在結構上的特點將問題進行適當的轉化。如 我們可以認為是矩陣 的秩，也可是向量組 的秩，所以求向量組 的秩，可以通過將向量組拼成矩陣來研究，將陌生問題化成熟悉的問題。

3.2 縱向類比

縱向類比是指把解決某個數學問題的有效經驗運用到與之該數學問題相似的其他問題中。

4總結

數學是門抽象的學科，尤其是在高等數學的學習中，經常會遇到眾多的概念、性質和定理要理解與記憶。教師應加強培養學生的數學思維能力。類比思想作為一種重要的思想方法，如在數學教學中得到合適的應用，可幫助學生在不同層次的數學知識中通過類比取得聯系，使學生通過自身的分析和內化可以更好地理解和運用知識，記憶也會更深刻。

（作者單位：1.南通大學理學院2.東莞市長安鎮廈崗小學）