數(shù)學(xué)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的起點、是學(xué)生學(xué)習(xí)知識的基礎(chǔ)、也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的核心，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中概念教學(xué)很重要。數(shù)學(xué)概念教學(xué)能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，最終能順利完成教學(xué)目標(biāo)。

一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀

1.概念教學(xué)過程縮水

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，學(xué)生對概念學(xué)習(xí)不重視，忽視概念的形成過程和對概念本質(zhì)的理解，就急著去解題，這種無休止的題海戰(zhàn)術(shù)是不可取的。學(xué)生對概念一知半解，從而導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)把握不好，影響對后續(xù)知識的理解和掌握，阻礙了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和思維能力的提高。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“由于高中數(shù)學(xué)高度抽象的特點，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對數(shù)學(xué)概念和基本思想方法要貫穿整個數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生理清概念的來龍去脈，對概念逐步理解。”

2.概念理解不夠深入

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)為概念學(xué)習(xí)單調(diào)乏味而不重視，對概念的理解往往死記硬背只停留在表面，不能抓住概念的本質(zhì)。第一，學(xué)生在沒有深入理解概念的前提下記憶，記憶時間長并且知識點容易混淆，造成錯誤的思維，第二，沒有深入理解概念，使得他們只會模仿教師解決某些典型例題和特定的解法，對題目稍加變式，就束手無策，難以在具體的應(yīng)用中發(fā)揮作用。例如，在提到零點概念時，學(xué)生就認(rèn)為零點是點。其實零點不是點，而是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，方程的實數(shù)根。

3，思維定勢的影響

由于高中學(xué)生已經(jīng)有相當(dāng)長時間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對一些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法有一定的認(rèn)識和理解，因此，有些學(xué)生往往對自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的經(jīng)驗，思維陷入僵化狀態(tài)，不能根據(jù)新的問題的特點作出靈活的反應(yīng)，常常阻抑更合理有效的思維甚至造成歪曲的認(rèn)識。

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)概念是反映所考察的對象的本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特有的屬性（或本質(zhì)屬性）在思維中的反映。概念所反映的事物的范圍（或集合）稱為這個概念的外延。這些事物的本質(zhì)屬性的總和（或集合）稱為這個概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是分別對事物的量和質(zhì)的描述。學(xué)生獲得概念的方式有兩種：一種是學(xué)生從大量同類事物的不同例子中歸納概括出一類事物的本質(zhì)屬性，從而獲得概念的方式，叫做概念的形成；一種是以學(xué)生已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，向?qū)W生直接揭示，并與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念建立聯(lián)系，從而獲得新概念的方式，叫做概念的同化。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的任務(wù)就是準(zhǔn)確的揭示概念的內(nèi)涵與外延，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。數(shù)學(xué)概念教學(xué)讓學(xué)生在參與概念的形成、發(fā)展、鞏固、應(yīng)用和拓展過程中，把握概念的本質(zhì)特征、體會隱含在概念中的思想方法，從而完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在知識、能力、素養(yǎng)方面獲得全面的發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

1.建模教學(xué)策略

數(shù)學(xué)建模就是對實際問題進(jìn)行抽象、歸納、提煉出符合學(xué)生心理特征和認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)模型（例如方程、不等式等），然后讓學(xué)生進(jìn)行主動探索數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

例如：簡單的線性規(guī)劃問題，有關(guān)與生產(chǎn)安排的一個問題：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

（設(shè)計意圖：問題情境讓學(xué)生讀題后寫出線性數(shù)學(xué)關(guān)系，畫相應(yīng)的平面區(qū)域。學(xué)生已初步學(xué)會建立線性規(guī)劃模型的三個過程：列表、建立數(shù)學(xué)關(guān)系式、畫平面區(qū)域，讓學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析整理。）

從建立這道與生產(chǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)模型中引出線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃問可行解、可行域和最優(yōu)解等數(shù)學(xué)概念。

數(shù)學(xué)建模激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽猜想、分析和驗證，鼓勵學(xué)生從不同角度考慮問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散式思維和創(chuàng)新能力。

2.實例教學(xué)策略

在講枯燥的概念時，根據(jù)教材內(nèi)容，積極地引進(jìn)生活實例，從實例中引出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)課題，讓學(xué)生順利地完成知識的過渡。同時還可以將枯燥、單調(diào)、抽象的數(shù)學(xué)知識合理的進(jìn)行生活化改造，使其成為具體化、形象化、趣味化的知識，增強學(xué)生對概念學(xué)習(xí)的興趣，對概念的理解透徹。

例如，函數(shù)單調(diào)性“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)，通常是從現(xiàn)實生活入手———展示某地某天的氣溫變化圖、舉出生活中描述“升降”變化規(guī)律的成語（如蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏）并畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象等，然后讓學(xué)生觀察得到：函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，而在另一個區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢，此時教師指出：函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)———單調(diào)性，接下來引導(dǎo)學(xué)生用自然語言進(jìn)行描述，并體驗單調(diào)性是函數(shù)的局部特征（教師可在此處提前介紹“增函數(shù)”、“減函數(shù)”、“單調(diào)區(qū)間”等名詞）.

在豐富的實例中，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，是學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、學(xué)生能夠積累認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的經(jīng)驗，從而達(dá)到理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的目的。

3.實驗教學(xué)策略

數(shù)學(xué)實驗幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的有效方法。在做實驗時，學(xué)生將課本知識與現(xiàn)實結(jié)合起來，學(xué)生通過實驗進(jìn)行觀察、分析、探索和歸納，將實驗中獲得的感性認(rèn)識，通過抽象思維來對概念、定理深入理解。

例如，橢圓定義的得出

（1）實驗準(zhǔn)備，準(zhǔn)備好細(xì)繩、鉛筆、圖釘、紙板

（2）分組實驗，將細(xì)繩兩端用圖釘固定在板上的兩點F1、F2 ，用鉛筆把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動觀察畫出的是什么圖形？（教師巡視指導(dǎo)，展示學(xué)生成果）

（3）分析實驗，在畫橢圓的過程中細(xì)繩兩端的距離變化嗎？繩子的長度變化嗎？繩子長度與兩定點間距離大小又怎樣的關(guān)系？（設(shè)計意圖：通過自己動手實驗，體會橢圓上點的運動規(guī)律，通過實踐思考，為上升到理論做準(zhǔn)備）

（4）進(jìn)一步分析實驗，當(dāng)F1、F2兩點重合時，畫出的圖形是什么？當(dāng)兩點F1、F2之間的距離等于細(xì)繩長度時，畫出的圖形是什么？當(dāng)兩點F1、F2之間的距離小于繩長時，畫出的圖形是什么？（設(shè)計意圖：讓學(xué)生深刻體會能構(gòu)成橢圓的條件是什么，不滿足條件的話是其他圖形。加深對概念的理解）

（5）由實驗歸納出橢圓的定義

通過實驗教學(xué)，學(xué)生不僅深刻的掌握了數(shù)學(xué)概念，而且提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、合作精神，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

4.類比建構(gòu)策略

類比推理是在教學(xué)過程中將新知識和學(xué)生記憶中結(jié)構(gòu)類似的原有知識相聯(lián)系，通過類比推理的教學(xué)方法來對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)和引導(dǎo)，從已知對象具有的某種屬性來推斷未知對象具有的相應(yīng)性質(zhì)，從而讓學(xué)生順利的完成從舊知識到新知識的類比遷移。

在講等比數(shù)列概念時，我們都知道，學(xué)生就已經(jīng)學(xué)習(xí)過等差數(shù)列，而教師在引入等差數(shù)列的概念時，就已經(jīng)讓學(xué)生經(jīng)過觀察來歸納出“自第二項起，后面一項與前面一項的差為常數(shù)”這個概念。同樣地，等比數(shù)列的概念也可以效仿等差數(shù)列的觀察方式來得出。釆用類比方法來引入等比數(shù)列，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”這兩個僅一詞之差的定義，來發(fā)掘自己的思維，想辦法用恰當(dāng)?shù)拿枋鰜硖鎿Q等差數(shù)列概念中的一些關(guān)鍵詞語，從而得到等比數(shù)列的概念。從類比中發(fā)現(xiàn)異同。在接下來學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì)也是類比等差數(shù)列的性質(zhì)得出結(jié)論。這種類比建構(gòu)策略分為類比前的準(zhǔn)備、類比的實施以及類比結(jié)論的驗證三個環(huán)節(jié)。

類比教學(xué)能將學(xué)生容易混淆的知識點變得容易理解并能區(qū)分清晰，能夠?qū)π轮R有全面的深刻的認(rèn)識。類比是從相似的事物出發(fā)，在求“同”中發(fā)現(xiàn)“異”，在“異”中推進(jìn)，在類比中發(fā)現(xiàn)新的意義，才能不斷鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新和創(chuàng)造能力。類比教學(xué)能增強教學(xué)效果，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，對今后的學(xué)習(xí)有很大幫助。

5.演繹建構(gòu)策略

數(shù)學(xué)概念之間有著密切的相關(guān)性。學(xué)生在學(xué)習(xí)新的概念時，與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)概念有邏輯關(guān)聯(lián)的，可以通過演繹建構(gòu)的方法，幫助學(xué)生理解新的概念。例如，我們在學(xué)習(xí)函數(shù)時，對函數(shù)概念，函數(shù)三要素（定義域，值域，解析式），函數(shù)圖像，函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性等）都做了深刻的理解。學(xué)生學(xué)習(xí)了這些后對以后學(xué)習(xí)新的函數(shù)，如，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)這些特殊的函數(shù)做了鋪墊。學(xué)習(xí)這些新的函數(shù)也都是從函數(shù)概念，三要素，圖像，性質(zhì)這些方面認(rèn)識和理解。這些特殊的函數(shù)不是孤立的知識，而是函數(shù)知識體系中一個特殊的節(jié)點。演繹建構(gòu)策略是從一般到具體的建構(gòu)過程。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的精髓所在。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是教學(xué)過程中的一個重要環(huán)節(jié)，也是教學(xué)過程中的難點。通過不同的概念教學(xué)策略，使概念得以最清晰的呈現(xiàn)，讓學(xué)生真正地理解、掌握概念，才能對數(shù)學(xué)的思維方法的學(xué)習(xí)更加清晰，才能更好地解決數(shù)學(xué)問題。

（作者單位：江蘇省錫東高級中學(xué)）