螺旋上升式課堂實錄

當前基礎教育新課程中，教材編排和課程設計都采用了螺旋式上升的方式?！稊祵W課程標準》在中小學三個階段中都明確提出，重要的數學概念、數學方法宜體現螺旋式上升的原則。筆者借助新授課、復習課、習題課三種課型，闡述如何在課堂教學中實現學生知識和能力的螺旋上升。

新授課：溫故更要知新

中小學數學是一個整體，初中數學中有許多概念、性質在小學階段已經接觸到了。而把小學知識簡單地重復一遍，這是很多初中教師做法。下面以《軸對稱和軸對稱圖形》一課為例。

針對這堂課，很多初中教師的教案設計可以簡化為以下四步：①欣賞一組圖片，找出共性，引出軸對稱圖形的概念；②鞏固概念，包括識別軸對稱圖形、畫出對稱軸、說出對稱軸的數量；③學生自主設計軸對稱圖形，并沿對稱軸剪開，引出“軸對稱”概念；④區分“軸對稱圖形”和“軸對稱”之間的聯系與區別，再次進入練習階段。

這樣的教案設計與小學三年級的數學教師所寫的教案《軸對稱圖形》相差無幾?！遁S對稱和軸對稱圖形》被安排在八年級上冊，顯然這樣的教案不符合教材編排的用意，不符合學生的認知水平。所以，教師在教學中應注重：由感性到理性的升華，即判斷一個圖形是否是軸對稱圖形由經驗性的折疊方法上升到理性思維的推理方法；數學思想方法的滲透，即由特殊到一般，從找出特殊的對稱點拓展到找出一般的對稱點；數學知識框架的重構，即感悟軸對稱圖形、全等與新概念軸對稱之間的聯系。

螺旋式上升的教材編排體系使得數學教材中同一模塊的知識被安排在不同學時甚至不同學期去教學，這就要求教師全盤考慮知識結構和教學思路。也就是說，教師在備課時，既要備好現有教材的內容，還要備好之前教材的內容。

復習課：連點成線、串線成網

復習課從表面上看是知識的再現、要點的羅列和解題技巧的傳授。如果僅僅做到這些，那么學生的能力就無法得到提升。所以復習課例題的選題既要基于學生的認識起點，又要超越起點。

如圖1，△ABC，P是AB上一點，鏈接CP，要使△ACP∽△ABC，需添加的條件是什么？

這是“圖形的相似”復習課中的一道常見題，解決問題的過程是開放的，答案是不唯一的。學生看到這道題，最容易想到的答案是∠B=∠ACP。教師在肯定學生答案的同時，啟發學生思考是否有其他答案。對于學生沒有想到的方法，教師可以再設置幾個問題，從而將相似三角形的判定和性質一網打盡。

復習課要完成的重要任務之一是梳理一個單元的知識點，并將一個單元零散的知識點串聯起來。而這個梳理和串聯的過程必須由學生自己去完成，教師給出再完美的歸納也代替不了學生自己的整理。所以，在復習過程中，教師要充分發揮學生的自主性，讓學生積極主動參與復習的全過程，讓學生疏理知識、尋找規律、自己思考、分析并得出整個解題的過程及步驟。教師只需適時引導，關鍵時點拔。

習題課：化“有型”為“無型”

螺旋上升的教學理念不僅體現在新授課、復習課上，一道習題的講解同樣可以讓學生經歷螺旋上升的學習過程。

例如，基本模型“將軍飲馬”軸對稱最值模型。相傳，古希臘亞歷山大城有一位精通數學、物理的學者，名叫海倫。一天，一位將軍向他請教一個問題：如圖2所示，將軍準備從A點出發，想騎馬到一條筆直的河流邊去飲水，然后再去B地，那么走怎樣的路線最短呢？海倫稍加思索，建立以下數學模型，便解決了這個問題。把河岸看作直線L，先取A（或B）關于直線L的對稱點A'，連接A'B，并與直線交于一點P，則點P就是將軍飲馬的地點，即PA+PB即為最短路線。如圖3，在銳角△ABC中，BC=，∠ABC=45o，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值。

模型中就只有點P一個動點，應用中有兩個動點。解決此題的關鍵是將兩個動點轉化為一個動點、一個定點的問題。依據模型，最小值是C的對稱點C'與N點連線段的長度，結合“垂線段最短”這個知識點，點N就固定下來，問題就轉化成了基本模型。

本案例中，學生不僅進一步熟悉了這個模型，而且還鞏固了其他的相關知識。在具體解決問題時，還需要將問題進行轉化或者分解，需要模式的疊加和綜合運用、重組創新。所以在習題教學中，教師要抓住典型例題，利用典型例題及其變式，不斷引導學生對解題過程進行反思、聯想，總結、發散，學生對經典例題的認識層層深入，逐步化題為型，凝型成鏈，擴網于無形數學思想。

結束語

“螺旋式上升”的課程安排，表面上是一階段內只學習某一知識的一部分，是一個知識的階段教學。而實際上，要使學生在這一階段教學中得到上升，教師必須站到全局角度看待每一個知識、技能。不管是新授課、復習課，還是習題課，都不能就事論事，都要根據一定的邏輯關系，幫助學生合理地梳理和架構自己的知識、能力體系，內化數學思想，積累獨特的數學活動經驗。

（作者單位：江蘇省無錫市東湖塘中學）