用探索式思維打造趣味數學

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“新的課程理念還提倡動手實踐、自主探索、合作交流、閱讀自學等新的學習數學方式。”隨著高中數學新課程的深入實施，“自主探索”不僅作為新課程理念加以倡導，還作為一種重要的學習方式加以實施。本文將對數學自主探索學習做一點探索。

自主探索學習的目標定位

學習方式是指學生在完成學習任務時的行為方式和認知取向。因此，數學自主探索學習可以理解為：學生在數學學習實踐中，通過發現問題、分析問題、解決問題等探究活動，獲得知識、提高技能、體驗過程、掌握方法、培養情感、改變態度、確立價值觀等的一種學習方式。

自主探索學習的認知目標 自主探索學習的認知目標是通過自主探索，使學生掌握數學基礎知識和基本技能，同時掌握自主探索學習方法的有關知識。自主探索學習方法的知識有兩層含義：一是自主探索學習過程的知識，熟練掌握數學自主探索學習的具體步驟，即提出問題、自主探索、交流討論、總結升華；二是自主探索學習方法的知識，包括觀察、猜想、類比、推理、分析、歸納、演繹、綜合等每種方法的適用范圍、操作步驟、注意事項。

自主探索學習的能力目標 數學自主探索學習的能力目標主要有這三方面：一是強化問題意識，培養學生善于從生活實際和學習情境中發現問題的能力；二是喚醒研究意識，培養學生在自主探索過程中獨立思考問題和解決問題的能力；三是增強創新意識，培養學生在開放問題探索中的創新思維能力。

自主探索學習的價值觀目標 數學自主探索學習的情感、態度和價值觀目標主要有：學生在自主探索過程中求知欲、快樂感等得到極大的滿足，這將使學生增加探索興趣，形成穩定的學習內驅力，增加對數學學習的情感，端正學習態度；通過對數學知識的探索學習，使學生深刻領悟數學的過程與實質，認識到數學的價值，培養敢于批判、善于探索、追求真知的科學精神。

自主探索學習的引導策略

要引導學生進行數學自主探索學習活動就必須開放課堂，營造探索的氛圍，增強學生學習數學的興趣和信心，變“我怕學”為“我愛學”。其引導策略如下：

創建和諧的課堂 教師要創建適合探究的民主、寬松、和諧的課堂環境。在這種環境里學生才能無所顧忌、暢所欲言。為此，要努力做到這兩點：第一，贊賞每位學生。對學生的認識（即使十分膚淺），先要盡可能從研究問題的思路、方法或態度上給予贊賞，再誘導思維向縱深發展。第二，做好角色扮演。教師要放下架子、敞開心扉和學生平等溝通交流，扮演好引路人、組織者和評判者等角色。

創建自主的課堂 數學的未知領域十分廣闊，僅僅探索教師給定的問題是遠遠不夠的，應該放手讓學生自主探索。解放雙手，讓學生去體驗，從中發現問題；解放大腦，讓學生去聯想，從而解決問題；解放時間，讓學生對討論的問題做適當的延伸性探索；解放空間，讓學生在知識建構的過程中充滿探索的生命張力。

創建創新的課堂 學生作為自主探索學習的主人，要明確探索目標、制定探索計劃、選擇探索方法、交流探索心得、獲得探索結論。在探索過程中，教師要鼓勵學生不迷信課本、不畏懼權威，大膽猜測、小心求證；學生要親力親為，不斷質疑、展示觀點、探索發現、創新思維、合作交流。這樣自主探索課堂才能充滿生機與活力，學生才能領略探索的無限風光，在探索過程中有所創新。

教學案例：一次意外的探索

題目：求數列9，99，999，9999，…的前n項和。

師：請同學們思考，這種既不是等比，也不是等差的數列如何求和？

生1：應該先找到通項公式，從通項公式中發現問題，可能求解。

生2：通項公式為 an=99…9 ，如果能轉化一下，也許可以求解。

生2的話提醒了大家，學生紛紛尋找怎么轉化。一會兒，學生3站起來說，9與10接近，99與100接近，999與1000接近，如果將原數列轉化為等比數列10，100，1000，…，就可以求和了，即：

師：很好，向生3表示祝賀！這類數列可能很多，請大家就生3的方法做一小結。

生4：這類既不是等比，也不是等差的數列求和問題，可以運用轉化的方法把它們轉化為等比或等差數列來求和。

問題順利解決，學生探索的結果也很好。當課堂正準備轉入下一個問題時，生5突然提出：“這個問題比較特殊，9很接近10，才能這樣求解。如果數字為3，即，求：3，33，333，3333，…的前n項和，怎么辦？”

生5的問題打破了教師原先預設的教學思路，但對于學生能提出這樣的問題，是十分值得肯定的。馬上決定將課堂開放，請同學們一起來研究這個問題。

思考一會兒后，生6要求發言：把3轉化為9就可以求解。現在這個數列的每一項都是先前數列的 ，因此前n項和也為其 ，所以： 對于生6的表現，同學們投以欽佩的目光。

師：很好！這個問題解決了，現在來學習下一個知識點吧。教師的話音未落，生7“嗖”地站起來，帶著不服氣的口吻說：數字3和9有倍數關系，所以能用此法求解。其他數字構成的數列怎么求和？比如：5，55，555，5555，…。課堂進入了和諧狀態，學生進入了探索境界，但離課前預設卻越來越遠了，教師只好做學生的同行者。

受到生7的感染，全班同學躍躍欲試，討論、爭論不絕于耳，最后生8發現：第二個數列是通過把3轉化為9而解決的，現在只要把5轉化為9也可以解決。一般地，數列a，aa，aaa，aaaa，…的前n項和為：

師：非常好！生8同學肯動腦筋，徹底解決了此類數列的前n項和問題。看到同學們探索成功后的喜悅，教師由衷地感到高興。這時，生9提出：前面解決的是重復數字是一位數的情況，如果重復數字是兩位數怎么辦？如數列12，1212，121212，，12…12的前n項怎么求和？

生9的問題完全出乎意料，使教師有些措手不及，但學生的探索則進入了創新的狀態。

仿照前面的方法，探索的結果是：

但是這怎么求和呢？同學們都在迷茫中沉思。生8猜測說，可能可以用錯位相消求和。生8的猜測將思維引到了一個新的方向，即：

課堂沸騰了，學生探索的欲望像打開了閘門的洪水，一發不可收拾。繼續探索，如果是三位數字構成的數列怎么辦？如求數列123，123123，123123123，…，123…123的前n項和？

在突破一個又一個難關的過程中，同學們體驗了探索的美妙，收獲了豐碩的果實。

自主探索學習實踐的反思

教學案例中的自主探索學習給課堂帶來了勃勃生機，形成了生態課堂，但冷靜思考還有值得反思之處。

備課要周密 自主探索學習課堂的教與學必須交流碰撞，碰撞就會產生智慧的火花，就會有新情況、新發現，因此備課要盡可能地周密，要預測所有可能發生的情況，這樣才能較好地對學生進行引，才能完成教學任務。

課堂要放開 自主探索學習不能按教案機械地演繹，要根據探索進程順應探索軌跡，適時調節教學行為，給學生一份屬于自己的空間，去觀察、去思考、去發現、去創造。對于課前沒有預設的新問題，不能以“不屬于本節課討論問題” 忽略而過。

點撥要到位 在探索過程中，對學生點撥要恰到好處，太直白等于講解，太隱蔽沒有效果。要在問題的連接處、發散處、空白處、模糊處、創新處進行點撥，為學生修暗道，加引橋，建平臺，調動他們探索的潛能，這樣課堂就變成了學生思考、探索和創造的新天地。

（作者單位：福建省三明市第一中學）