Matlab在矩陣求逆中的應用

[摘 要] Matlab是當今國際上公認的最優秀的科技應用軟件之一。主要介紹了Matlab在矩陣求逆中的應用，旨在增強學生對線性代數的學習興趣，提高學生的學習積極性和數值計算能力。

[關 鍵 詞] Matlab；矩陣求逆；線性代數

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）18-0016-01

一、引言

線性代數是一門應用性極強但理論上又具有高度抽象性的基礎課程，其包含的數學原理和方法廣泛應用于控制、機械及信息工程等領域。瑞典數學家Lars Garding說：“如果不熟悉線性代數的概念，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多。”然而抽象的理論、繁瑣的計算往往讓學生感受不到線性代數理論體系存在的實際意義，難以調動學生的學習積極性，學生也很難體會到其在科學與工程應用領域中的重要地位。

Matlab是一種以矩陣計算為基礎的交互式程序語言，擁有強大的科學計算和可視化圖形處理功能。而線性代數的主角就是矩陣及其運算，因此將Matlab引入線性代數課堂教學，可以提高學生的數值計算能力，激發學生的學習興趣，有利于教學質量的提高。

本文主要結合線性代數中矩陣求逆這一知識點，深入探討如何借助Matlab軟件來求矩陣的逆。

二、矩陣求逆的方法

設矩陣A（aij）n×n是n階方陣，E是n階單位矩陣，并假方陣可逆。下面詳細介紹求解逆矩陣的方法：

方法一：借助逆矩陣的定義，利用待定系數法求矩陣A的逆。設B是由n2個未知數組成的n階方陣滿足，利用矩陣的乘法運算將其展開可得一個含n2個未知量的線性方程組，應用高斯消元法求解該線性方程組。如果該方程組有唯一解，此時即可得到矩陣A的逆矩陣。但當矩陣A的階數比較高時，利用該方法求逆運算量將非常大。

方法二：借助伴隨矩陣來求解矩陣A的逆：此時，A-1=A*A其中A*為A的伴隨矩陣；注意伴隨矩陣A*的第i行第j列的元素是aji的代數余子式。利用該方法求矩陣A的逆需要計算1個n階行列式和n2個n-1階行列式，因此應用該方法求解高階矩陣的逆時，計算量非常大。

方法三：借助初等變換來求解矩陣A的逆：該方法的基本思路是構造一個n×2n階矩陣A=A E，對A進行初等行變換，當子塊A所在部分化為單位矩陣E時，子塊E所在部分就被化為A-1；類似地也可以借助初等列變換來得到矩陣A的逆矩陣。

上述三種方法都可以用來求解矩陣的逆，但當矩陣的階數比較高時，計算將變得非常復雜。此時為激發學生的學習興趣，增強學生應用數學知識解決實際問題的能力，可以將Matlab引入課堂教學，使學生了解到數學不是枯燥乏味的，它具有很強的實用性。

下面通過一個具體的例子來詳細介紹如何利用Matlab來進行矩陣求逆運算。

①調用求逆命令inv

>>B=inv（A）

②調用左除命令或右除命令，其中表示階單位矩陣，運算符“＼”“/”分別表示左除和右除。眾所周知，在矩陣理論中沒有矩陣除法的概念，但在Matlab中可以把乘以逆矩陣看作除法。程序如下：

>>E=eye（5），B=A＼E（或B=E/A）

③調用求行列式命令det.首先定義伴隨矩陣函數adj，M函數文件編寫如下：

function adj=adj（A，n）

adj=zeros（n）；

for i=1：n

for j=1：n

adj（j，i）=（-1）^（i+j）*det（A（[1：i-1，i+1：n]，[1：i-1，i+1：n]））；

end

end

程序如下：

>>B=adj（A，5）/det（A）

④調用最簡行階梯形命令rref.程序如下：

>>R=rref（[A eye（5）]），B=R（：，6：10）

三、結束語

在線性代數教學中適當地引入Matlab，利用Matlab的強大計算功能，激發學生的學習興趣，提高課堂效率，讓學生在感覺到學有所用的同時，提高學生的數值計算能力，為學生日后應用該軟件進行科學與工程計算打下良好的基礎。

參考文獻：

[1]陳懷琛，龔杰民.線性代數實踐及MATLAB入門[M].北京：電子工業出版社，2009.

[2]李尚志.數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]王沫然.MATLAB與科學計算[M].北京：電子工業出版社，2003.