分類討論思想在數學解題中的應用

[摘 要] 解數學問題往往可以用到眾多的思想方法，如轉化化歸、數形結合、分類討論、數學建模等等，而在這些思想方法中，分類討論是一種重要的數學思想，學習數學的過程經常會遇到分類問題，在研究數學問題時常常需要通過分類討論解決。從滲透在教材中的分類思想出發，結合例題闡述了分類討論的思想、分類的原則、分類討論的應用，從而體現分類討論思想在數學解題中的作用和地位。

[關 鍵 詞] 數學；分類討論思想；分類的原則；應用

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）08-0078-02

數學新課標明確提出了數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，數學教學中應該重視數學思想方法的教學。那么，教師如何挖掘課本中所蘊含的數學思想方法，如何有效地進行數學思想方法的教學，如何培養、發展、豐富學生的數學思想方法，已經成為現代數學教育工作者普遍關注和潛心探索的一項重要課題。在數學新課程中，分類思想在教材中的體現是豐富多彩的，在整個高中階段，很多問題都用到了分類的思想，甚至在高職考試題中也要用到分類討論思想。

一、分類討論的思想

所謂分類討論，就是分別歸類再進行討論的意思，數學中的分類過程就是對事物共性的抽象過程，解題時要使學生體會為什么要分類，如何正確分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識事物的屬性，如何區分不同事物的不同屬性，這些問題都是教師在教學中要特別重視的。學生只有通過多次反復的思考和長時間的訓練和積累，才能逐步感悟到分類思想的真諦以及它的重要性。分類體現了化整為零，化零為整與歸類整理的思想，它揭示著數學事物之間的內在聯系，學會分類有助于學生總結歸納所學的知識，使所學的知識條理化，提高思維的概括性和周密性，從而提高分析問題和解決問題的能力。

我們在運用分類討論思想解決數學問題時，首先要審清題意，然后根據題意再確定分類的標準，每一次分類只能按照一個標準來分，不能重復也不能遺漏，另外還要對每一情形逐一認真解答。我們經常碰到這樣的情況，當問題解答到某一步驟后，需要按一定的標準來分為若干個子問題進行討論，這樣常常可以使問題化繁為簡，從而使問題得以解決。

二、分類的原則

分類討論必須遵循一定的原則進行，在高中階段，我們經常用到以下幾個原則。

（一）同一性原則

分類應該按照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類標準，否則會出現重復的現象。舉個簡單例子，有些同學認為三角形可以分為等腰三角形，等邊三角形，銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形，這樣的分類是錯誤的，不但以邊來分類而且以角來分類，等腰三角形可以是銳角三角形，鈍角三角形或直角三角形，這樣的分類犯了標準不同的錯誤。

（二）互斥性原則

分類后的每一個子類應該具備互不相容的原則，即不能出現有一項既屬于這一類又屬于那一類，也就是沒有交集的情況。例如學校舉行運動會，規定每個學生只能參加一項比賽，10（2）班的6名同學報名參加100米和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目就要用到分類的互斥性原則。

（三）完整性原則

分類后的每一個子類合并起來應該等于總類，否則會出現遺漏的現象。例如，某人把實數分為正實數和負實數，這樣的分類是不完整的，因為零也是實數，但是零既不是正實數也不是負實數。

（四）多層性原則

分類后的子類還可以繼續進一步分類，直到不能再分為止。例如實數可以分為有理數和無理數，有理數可以分為整數和分數，整數可以分為正整數、零和負整數。

三、分類討論的應用

我們用分類討論思想解決問題的一般步驟是：

1.先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍。

2.正確選擇分類的標準，進行合理的分類。

3.逐類討論解決。

4.歸納并作出結論。

下面淺談一下分類討論思想在高職考試中的一些簡單的應用：

（一）分類討論在排列組合問題中的應用

解決排列組合問題的關鍵是“分類”或“分步”，也就是加法原理和乘法原理的理解和應用，學生能做到準確分類，不重不漏實屬不易。

例題1：由數字0，1，2，3，4可以組成多少個無重復數字的三位偶數？

【分析】首先，你得知道什么是偶數。決定偶數的關鍵是個位數為0，2，4，6，8，具體到本題個位數應為0，2，4。按個位數的不同，我們可以把符合條件的三位偶數分為三類。個位為數字“0”的三位偶數有12個，個位為數字“2”的三位偶數有9個，個位為數字“4”的三位偶數有9個，所以滿足條件的三位偶數一共有30個。

例題2：100件產品中有3件次品，現從100件產品中任意取5件，則取出的5件產品中至多有2件次品的取法有多少種？

【分析】根據題意，關鍵理解“至多”的含義，應分為三類，即“5件中全為正品”“5件中有1件次品4件正品”“5件中有2件次品3件正品”三類。

第一類有C597種抽法；

第二類有C13C497種抽法；

第三類有C23C397種抽法。

所以，滿足條件的抽法共有C597+C13C497+C23C397種。

（二）分類討論在解含有參數問題中的應用

例題3：不等式（a-3）x2+（a-3）x-1<0對任意實數x恒成立，求a的取值范圍。

【分析】要解此題，首先應正確理解“不等式（a-3）x2+（a-3）x-1<0對任意實數x恒成立”的含義，就是不等式的解集為實數集。然后構造一個二次函數，y=（a-3）x2+（a-3）x-1，再用數形結合，根據二次函數圖像來找出問題答案，我們非常容易得到，二次函數圖像開口向下，且與x軸無交點，于是得方程組：

a-3<0Δ<0，即a-3<0（a-3）2+4（a-3）<0

解得-1

此時你如果覺得此題已經解決，那就錯了，你恰恰忽略了a-3=0的情形，此題考查學生思維的完整性。完整的思路應該應用分類思想，把二次函數x2的系數a-3分成a-3-0和a-3≠0兩種情形。顯然，當a-3=0，即a=3時，代入得-1<0對任意實數成立，所以，a的取值范圍是-1

例題4：求滿足loga2<1的a的取值范圍。

【分析】我們用對數的性質把問題轉換成loga2

當0

當a>0時，解得a>2，

綜上兩種情形，滿足滿足loga2<1的a的取值范圍是02。