對一道“硬幣滾動”中考題的思考與探究

摘 要：中考題目中不管是小題目還是大題目，都是中考命題組專家經過潛心研究命制出來的，它在數學雙基、思想方法、能力素養、選拔甄別、教學導向等方面有著巨大的價值。對有一定內涵的中考題進行思考探究，有助于我們透過現象，看透本質，同時為今后的教學提供很多有益的啟示。下面就以一道“硬幣滾動”中考題為例，談談思考和探究過程。

關鍵詞：中考題目;硬幣滾動;思考探究

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）01-096-2

一、提出問題

將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一枚，而另一枚則沿著其邊緣滾動一周，這時滾動的硬幣滾動了（ ）

A.1圈 B.1.5圈

C.2圈 D.2.5圈

二、探究問題

解答本題首先要弄清楚自轉的意思。自轉原本指天體繞著自己的軸心轉動，硬幣自轉指硬幣繞著圓心旋轉，自轉1圈指硬幣轉360度。

不少人以為自轉了一圈，而事實上是兩圈。不信，可以拿兩枚硬幣動手實驗一下（硬幣我們都有，這個題不會做的時候，我們可以直接從口袋掏出2個硬幣自己轉一下，答案就出來了。沒有硬幣也不用沮喪，找兩個其他圓形物品，或者直接拿圓規畫兩個等圓，再剪切一下就可得出）。把其中一枚硬幣固定（用定圓O表示固定的硬幣），另一枚慢慢地沿定圓的圓周無滑動地滾動（用動圓O′表示滾動的硬幣），如圖2。點A、B、C分別表示動圓O′上位于最下端、最右端和最上端處的點，動圓O′從位置Ⅰ（定圓O的正上方）沿順時針方向滾動四分之一圓周時，滾動到位置Ⅱ（定圓O的正右方），利用對稱性可知此時點B滾動到動圓O′的最左端。再根據點A、B的相對位置可以確定此時點A位于動圓O′的最上端，根據點B、C的相對位置可以確定此時點C位于動圓O′的最下端，根據點A的位置變化（由位于動圓O′的最下端變為最上端）可知此時動圓已滾動半圈（從點C的位置變化也可以看出這點）。當動圓O′繼續滾動到位置Ⅲ（定圓O的正下方）時，點A又回到動圓O′的最下端，可知此時動圓已滾動一圈。當動圓繼續滾動，回到初始位置時，它已滾動了兩圈。

為什么是自轉兩圈而不是一圈呢？不少人即使面對實驗結果仍想不通。還是讓我們從河北省的數學中考試卷尋找答案吧。

如圖3至圖7，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的周長為c。

閱讀理解：（1）如圖3，⊙O從⊙O1的位置出發，沿AB滾動到⊙O2的位置，當AB=c時，⊙O恰好自轉1周。

（2）如圖4，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在∠ABC外部沿ABC滾動，在點B處，必須由⊙O1的位置旋轉到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋轉的角∠O1BO2=n°，⊙O在點B處自轉n360周。

實踐應用：（1）在閱讀理解的（1）中，若AB=2c，則⊙O自轉 周;若AB=l，則⊙O自轉 周。在閱讀理解的（2）中，若∠ABC=120°，則⊙O在點B處自轉 周;若∠ABC=60°，則⊙O在點B處自轉 周。

（2）如圖5，∠ABC=90°，AB=BC=12c。⊙O從⊙O1的位置出發，在∠ABC外部沿ABC滾動到⊙O4的位置，⊙O自轉 周。

拓展聯想：（1）如圖6，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點D的位置出發，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉了多少周？請說明理由。

（2）如圖7，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于點D的位置出發，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫出⊙O自轉的周數。

從上面的中考題我們能獲得什么啟示呢？一枚硬幣沿著另一枚硬幣的邊緣滾動屬于硬幣在曲線上滾動，解答時比較困難。如果我們將其轉化為硬幣在直線上滾動，問題就簡單多了，這是河北省中考題給我們的一個啟示。

如圖8，⊙O在直線l上滾動，設⊙O的半徑為r，當⊙O自轉1圈時，圓心O經過的路徑長是2πr;當⊙O自轉2圈時，圓心O經過的路徑長是4πr;當⊙O自轉3圈時，圓心O經過的路徑長是6πr;……;當⊙O自轉n圈時，圓心O經過的路徑長是2nπr;反之，當圓心O經過的路徑長是2πr時，⊙O自轉1圈;當圓心O經過的路徑長是4πr時，⊙O自轉2圈;當圓心O經過的路徑長是6πr時，⊙O自轉3圈;……;當圓心O經過的路徑長是2nπr時，⊙O自轉n圈。因此，當圓在直線上滾動時，圓心經過的路徑的長度等于圓滾動過的長度，圓滾動的圈數等于圓心O經過的路徑長除以圓O的周長。

設圖1中兩枚硬幣的半徑都為r，硬幣滾動時圓心經過的路徑長為2π·2r=4πr，而硬幣的周長為2πr，所以硬幣滾動的圈數為4πr2πr=2。

上面的解答過程實際也用到了一種“以靜制動”的解題策略：硬幣滾動時，雖然上面的每點都在運動，各個點的運動規律也不便把握，但硬幣的圓心始終在一個固定的圓上運動，這是解答本題的關鍵。抓住了這點，問題就迎刃而解了。

從圖4也可以看出，當把一條長為l的線段AB折過α度角，動圓（半徑為r）沿這條直線滾動時，動圓從折線一端A滾動到另一端B時，轉了l2πr圈多α360圈。從圖7可以看出，如果把長為l的線段AB折成多邊形時，動圓沿這多邊形的外周滾動時，從多邊形上的某點A開始，回到點A止，動圓轉了1圈加上外角和與360°之比這樣多的圈數。而多邊形的外角和為360°，所以動圓轉了l2πr圈多1圈。因此我們可以將圓沿著圓滾動問題轉化為圓沿著多邊形滾動問題解答，這是河北省中考題給我們的另一個啟示。

一個圓可以看成一個邊數無限增加的多邊形，所以，上面的多邊形換成周長為2πr的圓之后，結果也是一樣的（如圖9）。因此若設圖1中兩枚硬幣的半徑都為r，則硬幣滾動的圈數為2πr2πr+1=2圈。

上面的解答過程實際又用到了一種轉化和積分的思想，即圓在曲線上滾動問題轉化為圓在直線上滾動問題，把圓看成一個邊數無限增加的多邊形。

方法總結：從上面可以看出，解答硬幣沿硬幣滾動問題，既可以親自動手用實驗的方法進行解答，也可以將硬幣沿硬幣滾動問題轉化為硬幣沿直線滾動問題，根據硬幣圓心經過的路徑長進行解答，還可以將硬幣沿硬幣滾動問題轉化為硬幣沿多邊形滾動問題進行解答。其中將硬幣沿硬幣滾動問題轉化為硬幣沿直線滾動問題，解答方便快捷，一般情況下我們盡量使用這種方法解答此類問題。