讓思考成為常態

在小學高年級數學教學中，我們發現學生數學學習的差異較低年級時更為顯著。有的孩子在解決問題時沉著冷靜，不急不躁，即使遇到從未見過的題目，也能抽絲剝繭逐步將題目破解。與之相反，有些孩子卻連會做的題目也常常做錯。除去其中智力因素外，學生對于數學學習的差別主要是其思考問題方式和習慣的差異。記得數學特級教師孫維剛老師對數學學習有這樣一種見解：“老師教給你的東西，就是過了幾年，你把數學知識全部忘掉后，還剩在你腦子里的東西。”那么，剩下的是什么呢？就是思維，而這種思維與孩子后續解決問題的能力是緊密相關的。所以，在數學教學過程中，教師不能只是簡單化地傳授知識，更重要的是教會學生如何進行數學思考，如何運用數學的眼光和思維去發現問題、提出問題，直到最后能夠順利地解決問題。下面以教學實例為載體，對小學數學課堂教學中培養學生數學思考談幾點體會。

一、關注對數學問題的創設，喚起學生的數學思考

數學問題的產生源于人類實際生活的需要，這類問題可稱為現實數學問題。但是在數學教學中，尤其是引入新課時使用的大量問題情境，實際是由于數學學習的需要而編派出來的，這類問題可稱為學校數學問題。創設什么樣的數學問題，才有助于喚起學生的數學思考，并點燃學生思考的熱情之火，就顯得尤為關鍵。

如，教學《用方向和距離描述物體的位置》一課時，教師設計了如下問題情境。

師：有一艘護航艦巡航到貨輪附近，（見圖1）你能試著說一說這艘護航艦在貨輪的什么方向？

生：在貨輪的東北方向。

師：我們在描述物體位置時，通常以南、北方向為基準，再看偏東還是偏西。東北方向也就是北偏東方向，所以這艘護航艦在貨輪的……

生：北偏東方向。

師：這時，一艘海盜船逐漸接近，怎么辦？（見圖2）

生：讓護航艦打他們。

師：好，現在任命你們為護航艦艦長，下令射擊吧！

（護航艦開始向海盜船射擊，結果兩次開火都沒打中，一次在海盜船的西側，一次在海盜船的東側。）

師：剛才兩次都沒打中，那怎樣才能打中呢？

請艦長們討論一下，說說你的想法和理由。

討論交流時引導學生概括：1.要以護航艦為觀測點來觀察海盜船的位置；2.需要知道海盜船所在位置的角度和距離，才能精確地打擊海盜船。

師追問為什么，適時引導學生理解：知道角度才能明確打擊目標在南偏西40°的這條射線上，進一步知道了距離就能將打擊目標點鎖定。（見圖3）

在上面的案例中，教師精心設計了“護航艦打擊海盜船”這一情境，讓學生始終興趣盎然，置身其中，并在教師恰當引導下自主發現，要解決“瞄準海盜船并射擊成功”這個問題，就是要解決“如何準確描述海盜船的位置”這一數學問題，進而通過小組討論明確要達到更加精確描述物體的位置，就必須要知道角度和距離才行。這樣的教學設計讓學生充分體會到生活中的一些現實問題，在解決時都需要借助于數學知識來思考，而迫切希望通過數學思考來解決問題的態度是學生自主產生的，絕不是教師強加。其實很多數學知識都是人類在生產、生活中遇到急需解決的問題后，通過自己的智慧研究得來的。教學時教師如果能將生活問題與數學問題緊密聯系起來，學生數學思考的熱情就很容易被喚醒。

二、關注對解決過程的表達，完善學生的數學思考

在平時的教學中我們會發現有些孩子會解決問題，可是不能用語言簡潔清晰地表達自己的思維過程。可是語言是思維的載體，數學語言是數學思維的載體。新課程標準中明確指出，學生在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，要能夠發展合情推理和演繹推理能力，并能清晰地表達自己的想法。而“觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”等行為及思維形式都得由語言作為手段來進行，要依靠語言來顯示。所以教師必須要培養學生使用數學語言的能力，才能讓學生“清晰地表達自己的想法”，才能進一步提高學生分析與解決問題的能力。

如，教學《解決問題的策略——倒推》有如下片段。

出示：兩杯果汁原來一共有400毫升，如果從甲杯倒入乙杯40毫升，這時兩杯果汁就同樣多。兩杯果汁原來各有多少毫升？

師：從題目中你知道哪些信息？

生1：兩杯果汁共有400毫升，不管怎么倒總量都是400毫升，沒有變化。

生2：從甲杯中倒入乙杯40毫升，這時兩杯果汁同樣多，說明現在每杯都有200毫升的果汁。

師：你準備怎樣解決這個問題？

生：我想先求出兩個杯子現在的果汁，再將它們倒回去算出原有的果汁。

師：再倒回去是什么意思，你能具體說一說嗎？

生：現在兩杯果汁都是200毫升，從乙杯倒出40毫升，就是乙杯原有的果汁量，再在甲杯中倒入40毫升，就是甲杯原來有的果汁量。

師：你說得很清楚，讓我們看看你的想法是否可行。（課件演示：動態呈現倒果汁的過程）看來你的方法可以解決這個問題。

師：同桌互相說說倒果汁的過程，再試著自己解決這個問題。（學生自做，然后匯報）

師：誰來給大家展示一下自己的方法？

生1：我列的算式是400÷2=200（毫升），先求出現在每杯的果汁量，再用200-40=160（毫升），就是原來乙杯的果汁，200+40=240（毫升）就是原來甲杯的果汁量。

師：這個“先……，再……”用得好，讓你把自己思考的過程說得很清楚。

生2：我是用列表加畫圖的方法來解決這個問題的。（展示下表）

師：他是用表格的方式來呈現的，你覺得怎樣？

生3：我覺得用表格的方法也很好，讓人一看就明白。

案例中學生所說的“再倒回去”其實就是倒推的策略，但如何將自己的思路說得明白，就需要教師的引導和訓練，如用好“先……，再……”這樣的語言，就是一個途徑。作為教師，我們知道運用數學語言來陳述觀點是數學學習的一個重要方面，學好數學語言是學好數學的關鍵之一。因而提高學生的數學思維能力，首先必須要訓練其數學語言的表達能力。在平時的課堂上，教師首先要鼓勵學生“敢說”，每節課上堅持讓學生說想法，說思路，說理由；然后再教學生“能說”，也就是盡可能將思路說得清楚，說得完整，說得有條理；最后讓學生達到“會說”，即能熟練運用數學語言邏輯清晰地闡述自己的觀點。當學生經歷“敢說”——“能說”——“會說”這一過程后，在數學課堂上就會表現得更加勤于思考，并且勇于表達，從而進一步促進學生思維能力的發展。endprint

三、關注對過程和結果的反思，提升學生的數學思考

對于反思自己的解題過程和結果，著名數學教育家波利亞在他的《怎樣解題》一書中對此進行了精彩論述：“你能檢驗這個結果嗎？你能檢驗這個論證嗎？你能以不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出它來嗎？”這些設問就是在逐步引導學生從多個角度去思考、體會自己探尋問題解法的途徑，促使學生在不斷反思中，加強數學知識和技能的相互溝通，提升數學思考的價值。

如，教學“圓柱的體積”后的一個練習片段：

師：圓柱的體積等于底面積乘高，要知道哪些條件，你就能求出圓柱的體積？

生1：知道圓柱的底面積和高。

生2：知道圓柱的底面半徑和高。

生3：知道圓柱的底面直徑或周長和高。

師：知道圓柱的側面積和底面半徑，你能求出圓柱體積嗎？

出示：一個圓柱的側面積是314平方厘米，底面半徑5厘米，它的體積是多少？

學生獨立思考，根據前面已有的學習經驗，通過側面積求出圓柱的高，314÷（5×2×3.14）=10（厘米），再計算出體積，52×3.14×10=785（立方厘米）。

師：如果把圓柱的側面積改為“200平方厘米”，你還能計算出它的體積嗎？

生（很自信地回答）：可以

可當學生繼續沿用之前的方法時，卻發現200÷（5×2×3.14）不好計算，這時不少學生感到了困難。

師：有些同學感到困難，放棄了對這個問題的思考，真的沒有辦法解決嗎？

引導學生觀察圓柱轉化成長方體的實物模型，改變其擺放的位置，有些學生在這一觀察中好像有了發現，皺起的眉頭慢慢舒展開來。

生：可以用側面積的一半乘半徑。

師：為什么？你能具體給大家介紹一下嗎？

生：（結合教具見圖5）將圓柱轉化成長方體后，我們可以這樣擺，將側面積的一半作為長方體的底面積，這時長方體的高就是圓柱的半徑，根據長方體的體積等于底面積乘高，就可以得出用側面積的一半乘半徑也是圓柱的體積。

在這位同學配合教具的演示下，臺下學生的思路豁然開朗，臉上一個個出現了恍然大悟的神情。

師：這個方法真巧妙，你們聽懂了嗎？那知道圓柱的側面積和半徑，怎樣算出體積？

生：我會算，用200÷2×5=500（立方厘米）就是這個圓柱的體積。

教學中，我們應有意識地培養學生在解決問題之后，回顧自己完整的解題過程，甚至是心理上的變化；分析其中遇到了哪些問題，是否走了彎路，以及為什么會走這些彎路，有沒有規律性的經驗可以總結；我的解題思路與老師或其他同學的思路有什么不同，其中的差異是什么，其原因又是什么；自己在遇到問題時有沒有進行調整。這些細致且個性化的反思，就是對學生數學思考能力的培養。在上面這個練習片段中，教師巧妙設置問題條件，讓第一次提供的數據方便計算，而第二次提供的數據計算起來卻很麻煩，這就促使學生主動反思自己解題的過程，重新調整思路，換個角度來思考。在這一過程中，學生的思維因為碰撞產生出智慧的火花，因為反思而觸及數學知識的實質，讓數學思考走向更深的層次。

總之，教給學生思考問題的方法，培養他們思考問題的能力，讓每一孩子都愛思考、會思考，將思考成為一種習慣和常態，學生必將受益終身。

（段薇薇，南京市瑯琊路小學，210024）

責任編輯：趙赟endprint