一脈相承的兩道高考壓軸題

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一脈相承的兩道高考壓軸題

福建省龍巖第一中學(364000)胡寅年

由拋物線焦點弦生成的射影定理三角形引申出來的問題，是拋物線幾何性質中極為重要的內容，同時也是高考命制試題的源泉之一.對它們的深入探究，可極大地豐富我們對拋物線幾何性質內涵的認知.

圖1

性質1如圖1，設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線l交拋物線于P、Q兩點，P、Q在準線上的射影分別為P1、Q1，則ΔP1FQ1是一個射影定理三角形．

性質2如圖2，設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線l交拋物線于P、Q兩點．以P、Q 為切點分別作拋物線的切線，則這兩切線的交點R在拋物線的準線上，且ΔPRQ是一個射影定理三角形，(SΔPQR)min=p2．

圖2

證明：設P(x1,y1)、Q(x2,y2)，經過點P(x1,y1)的切線方程是y-y1=k(x-x1)，則

容易看出，下面的題1就源自拋物線(焦點弦)的上述幾何性質. 事實上，將性質2中的拋物線y2=2px(p>0)繞原點O逆時針旋轉90°，再取p=2的情形，并進行適當的包裝，即為試題1．

(Ⅱ)設ΔABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達式，并求S的最小值.

題2(2014年山東卷壓軸題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|.當點A的橫坐標為3時，ΔADF為正三角形.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E， (ⅰ)證明直線AE過定點，并求出定點坐標；(ⅱ)ΔABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

題2與題1一脈相承，難度卻比題1大得多，其一：第(Ⅱ)問的第(ⅰ)小題，本質上是題1第(Ⅰ)小題的一個變式，證明方法貌似差不多，可實際情況不是這樣的；其二：第(Ⅱ)問的第(ⅱ)小題，若發現不了ΔPQS面積與ΔPQR面積之間的倍數關系，而是直接去求ΔPQS的面積，計算量將會非常之大. 題2的引申結果如下：

性質3設拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點為F，P為Γ上異于原點的任意一點，過點P的直線l交Γ于另一點S，交x軸正半軸于點K，且有|FP|=|FK|．若直線l1∥l，且l1和Γ有且只有一個公共點Q．證明：P、F、Q共線，且(SΔPQS)min=4p2．